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1、关于线性代数行列式展开9/6/2022第一章 行列式1现在学习的是第1页，共25页1.3 行列式的展开定理ijnDa设一、行列式按某行(列)展开 1.两个概念(1)元素aij的余子式：在 中划去元素aij所在的第i行和第j列元素，得到的n-1阶行列式。记MijijnDa(2)元素aij的代数余子式：111214313234414244aaaaaaaaa111314212324414344aaaaaaaaa4:ija例M32Aij(1)i+jMijA23=(-1)2+3M23=现在学习的是第2页，共25页2.行列式按某行(列)展开定理 按 第行展开iD 1(1,2,)nijijja Ain按 第
2、列展开j1(1,2,)nijijia Ajn证明思路:先证特殊情形再证一般情形；一般情形的证明通过转化为特殊情形完成.证先证111211121222121112111000nnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaDa Aaaaaa ai1Ai1+ai2Ai2+ainAina1jA1j+a2jA2j+anjAnj现在学习的是第3页，共25页1 211211 211 211211 21定义()121()121(1)(1)nnnnnnj jjnjjnjnnj jjnj jjnnjjnjnnnnnnnnj jjDa aaaaa aaa Ma A次证 11121112000jnijijnnnjn
3、nijaaaaDa Aaaaaai行逐一向下交换经ni次至末行j列逐一向右交换经nj次至末列D现在学习的是第4页，共25页9/6/2022第一章 行列式5111111111111111111111111111000(1)0njjnjiijijinijiijijinijnnjnjnnnjiji njaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa (1)ij aij MijaijAij(1)ij aij Mnn由现在学习的是第5页，共25页6最后11121122121000000niiinnniiinnnaaaDaaaaaaaaa 12000000iiinaaa证毕ai1Ai1+ai2Ai2+ainA
4、in由现在学习的是第6页，共25页典型例题:例1.计算1112114124611242D解:法1(化上三角形法)计算方法111200530243015021312rrrr24rr1112015002430053322rr1112015000143005343514rr11120151001435700014D57化上(下)三角形法;降阶法.41rr现在学习的是第7页，共25页法2(降阶法)1112005302430150053243150232rr 0530143150 53143 12rr 190143 1112114124611242D D21312rrrr41rr57=(-1)1+1=(
5、-1)3+1现在学习的是第8页，共25页914142143423113092D 123242rrrr 70178214300553092 725311利用行列式按行(列)展开定理计算行列式时,一般利用有较多0的行(列)展开,对一般的数字行列式,可将某行(列)化到只剩一非零元时降阶处理.例：=10=(-1)2+27178055392=5(-1)2+372580053112 现在学习的是第9页，共25页9/6/2022第一章 行列式1012341123111221131211nnxnDxxnxxxxxx例2 计算行列式 首列元素全是1,第一行乘以(1)加到下面各行只能使下面元素变为0,其它元素却没
6、有规律分析利用相邻两行元素较接近的特点:从首行起,每行加其下行的(1)倍,按首列展开后再使用该手法现在学习的是第10页，共25页1223,211,01111101111100111100001111nnnnrr rrrrrrxxDxxxxx111111111111(1)0111100011nnxxx 解：现在学习的是第11页，共25页1223,21,1,100001000(1)010000011nnrr rrnrrnxxxxxx 123422221234333312341111xxxxDxxxxxxxx例3 计算4阶范德蒙 (Vandermonde)行列式 分析相邻两行元素较接近!末行始,后一
7、行加上其前行的(-x1)倍,a11下面元素都变为0,按首列展开=(1)n+1x n-2现在学习的是第12页，共25页9/6/2022第一章 行列式13213141234222232111()()()xxxxxxxxxxxx123422221234333312341111xxxxDxxxxxxxx213141221331441222221331441111100()()()0()()()xxxxxxDxxxxxxxxxxxxxxxxxx按首列展开后提取各列公因子得3阶范德蒙行列式。再从末行始,后一行加上其前行的(x2)倍,解：现在学习的是第13页，共25页14213141324233244211
8、1()()()00()()xxxxxxxxxxxxxxxx123422221234333312341111xxxxDxxxxxxxx213141234222232111()()()xxxxxxxxxxxx21314132423411()()()()()xxxxxxxxxxxx14()jiijxx =(x2x1)(x3x1)(x4x1)(x3x2)(x4x2)(x4x3)现在学习的是第14页，共25页9/6/2022第一章 行列式15123222212311111231111nnnnnnnnxxxxDxxxxxxxx可以证明n阶“范德蒙行列式”123422221234333312341111xx
9、xxDxxxxxxxx14()jiijxx 1()jiij nxx 现在学习的是第15页，共25页3.推论:行列式某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即1122sssssnsnDa Aa Aa A1 11111niinssnnn naaaaaaaa1122isisinsna Aa Aa A1 11111niiniinnn naaaaaaaa第s行理解：第s行0ai1As1+ai2As2+ainAsn=0 (is)a1jA1t+a2jA2t+anjAnt=0 (jt)现在学习的是第16页，共25页9/6/2022第一章 行列式17综合定理及推论得“代数余子式的
10、重要性质 ”:1nkikjka A1nikjkka A0Dijij0Dijij例4 设1513113411112234D0，计算A41+A42+A43+A44=a31A41+a32A42+a33A43+a34 A44现在学习的是第17页，共25页1234522211312451112243150D 分析注意到第二、四行元素的特点,利用行列式按某行展开定理的推论,将A31+A32+A33与A34+A35分别看成整体，列方程组求解。解:，求(1)A31+A32+A33(2)A34+A35例5 设a21A31+a22A32+a23A33+a24 A34+a25A350a41A31+a42A32+a4
11、3A33+a44 A34+a45A3502(A31+A32+A33)+(A34+A35)0(A31+A32+A33)+2(A34+A35)0A31+A32+A33=0A34+A35=0现在学习的是第18页，共25页1513113411232234D解:D=例6 设，计算A41+A42+A43+A44a31A41+a32A42+a33A43+a34 A440a41A41+a42A42+a43A43+a44 A44D0610001111230012610011012(1)6A41+A42+2A43+3 A4402A41+2A42+3A43+4 A44D两式相减得A41+A42+A43+A44D(6
12、)现在学习的是第19页，共25页二、行列式按某k行(列)展开(k=1的特例即是一)1.几个概念(1)k阶子式：任选k行k列 k阶行列式，记M(aij是行列式的一阶子式)(2)k阶子式的余子式：划去k阶子式所在的k行k列 nk阶行列式，记M(3)k阶子式的代数余子式:11(1)kkiijjAM 2.行列式按某k行(列)展开定理(拉普拉斯定理)：的所有k阶子式(共 个)与各自的代数余子式的乘积之和等于D.kntC即：行列式D中任意选定k行(1kn),这k行元素组成DM1 A1M2 A2Mt At ()kntC现在学习的是第20页，共25页9/6/2022第一章 行列式21例7 用拉普拉斯定理 计算
13、行列式 2130323031251111D按 第 1、2行1 2 1 21 2 1 3展开21252315(1)(1)32113311D 1 2 2 31335(1)2311 解：1(3)(15)(1)(4)(9)(8)9 现在学习的是第21页，共25页5312017252023100414002350D例8 计算行列式 解：法二.按第五列展开后再法一.按末三行展开(3 4 5)(2 3 4)23150414(1)12235D 首 列展开72206620(54)108023110 072066 按第一列展开现在学习的是第22页，共25页9/6/2022第一章 行列式2311111111111111111111111100000000kkskkkkkkkksksssskssssssaaaaccaaaaccccbbbbccbbbb 应用拉普拉斯定理易得行列式计算中的常用结论:11111111kskkksssaabbaabb前一式按前k行展开后一式按前k列展开现在学习的是第23页，共25页作业P32:8(3)(6),9，15.预习1.4、1.5现在学习的是第24页，共25页9/6/2022感谢大家观看现在学习的是第25页，共25页