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1、线性代数课件行列式按行列展开第1页，本讲稿共18页例 四阶行列式 D 中，我们选定第一、二两行和第二、四两列，则得二阶子式 N。再从D中划去第一、二两行和第二、四两列得余子式M，进一步，N的代数余子式第2页，本讲稿共18页例：计算下面三阶行列式第二列元素的代数余子式例：计算下面三阶行列式第二列元素的代数余子式第3页，本讲稿共18页第4页，本讲稿共18页下面我们首先观测三阶行列式的展开式与代数余子式的关系 3223113321123122133221133123123322113332312322211312113aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD-+=)()()(3122
2、32211331233321123223332211aaaaaaaaaaaaaaa-+-=323122211343331232112333322322112)1()1()1(aaaaaaaaaaaaaaa-+-+-=131312121111AaAaAa+=容易看出行列式的值等于第一行元素与它们对应的代数余子式乘积之和，于是我们可以得到下面的定理。第5页，本讲稿共18页定理2：n阶行列式 D 等于它的任意一行（列）所有元素与它们对应的代数余子式的乘积之和，或即第6页，本讲稿共18页例例1 1：计算四阶行列式：计算四阶行列式解：可以选任意一行或一列展开，注意到第二行有两解：可以选任意一行或一列展开
3、，注意到第二行有两个元素为零，所以展开计算时只需要计算两个三阶个元素为零，所以展开计算时只需要计算两个三阶代数余子式，因此选第二行进行展开，得代数余子式，因此选第二行进行展开，得第7页，本讲稿共18页第8页，本讲稿共18页第第 i i 行乘以行乘以 加到第加到第 i i+1 +1 行行每列依次提出公因子，得到第9页，本讲稿共18页以此类推，可以得到行列式的值以此类推，可以得到行列式的值第10页，本讲稿共18页定理3：行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即第11页，本讲稿共18页推论：如果n阶行列式的某两行（第i行与第j行）对应元素相同，则行列式的值等于
4、零。第12页，本讲稿共18页定理4（Laplace展开定理)：在行列式 D 中任意取k（1 k n1）行，则由这 k 行元素所组成的所有 k 阶子式与它们的代数余子式乘积之和等于行列式 D.第13页，本讲稿共18页例：计算行列式例：计算行列式求出它们对应的代数余子式选第一、二两行，则它们所组成的二阶子式共有10个，其中非零子式只有三个，第14页，本讲稿共18页于是，利用于是，利用LaplaceLaplace展开定理，得展开定理，得第15页，本讲稿共18页例：计算行列式例：计算行列式第16页，本讲稿共18页解：把行列式按第一行展开，得解：把行列式按第一行展开，得再将第二个行列式按第一行展开，可得：注意第一个行列式是n-1阶，第二个是n-2阶，有：第17页，本讲稿共18页注意这是一个递推公式，递推的首项，也就是一阶和二阶行列式的值分别为：第18页，本讲稿共18页