《工程数学-线性代数（第五版）（同济）释疑解难 (2).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《工程数学-线性代数（第五版）（同济）释疑解难 (2).pdf（19页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、释释 疑疑 解解 难难 1. 1. 一一个个矩矩阵阵的的行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵、行行最最简简形形矩矩一一个个矩矩阵阵的的行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵、行行最最简简形形矩矩阵、标准形矩阵有何异同阵、标准形矩阵有何异同阵、标准形矩阵有何异同阵、标准形矩阵有何异同? ? 答答答答 它它们们的的共共同同点点它它们们的的共共同同点点: : (1) 阶阶梯梯数数相相等等,且且等等于于矩矩阵阵的的秩秩; (2) 每每个个阶阶梯梯上上只只有有一一行行, 每每条条竖竖线线后后的的第第一一个个元元素素不不等等于于零零; (3) 阶阶梯梯线线以以下下的的所所有有元元素素都都是零是零. 它它们们的的不不同同点点它它们们
2、的的不不同同点点: : 行行最最简简形形矩矩阵阵要要求求每每个个阶阶梯梯上上的的第第一一个个非非零零元元为为 1 , 且且第第一一个个非非零零元元所所在在的的列列上上的的所所有有元元素素全全都都为为零零;标标准准形形要要求求所所有有的的非非零零元元都为都为1. 如如 行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵 特点：阶梯线以下的元特点：阶梯线以下的元素全是，台阶数即为非零素全是，台阶数即为非零行数行数, 竖线后面的第一个元素竖线后面的第一个元素为非零元为非零元 . 行最简形矩阵行最简形矩阵行最简形矩阵行最简形矩阵 特点：非零行的第一个特点：非零行的第一个非零元为，且这些非零元非零元为，且
3、这些非零元所在的列的其他元素都为所在的列的其他元素都为. 标准形矩阵标准形矩阵标准形矩阵标准形矩阵 特点：左上角为一个单特点：左上角为一个单位矩阵位矩阵,其他位置上的元素全其他位置上的元素全都为都为 0 . 2. 2. 一个矩阵的行阶梯形矩阵、行最简形矩一个矩阵的行阶梯形矩阵、行最简形矩一个矩阵的行阶梯形矩阵、行最简形矩一个矩阵的行阶梯形矩阵、行最简形矩阵、标准形矩阵唯一吗？举例说明阵、标准形矩阵唯一吗？举例说明阵、标准形矩阵唯一吗？举例说明阵、标准形矩阵唯一吗？举例说明. . 答答答答 矩阵的行阶梯形矩阵不唯一矩阵的行阶梯形矩阵不唯一, 而其行最而其行最简形矩阵和标准形矩阵是唯一的简形矩阵和
4、标准形矩阵是唯一的. 如如则则 A1, A2 都是都是 A 的行阶梯形矩阵的行阶梯形矩阵, A3 是是 A 的行最的行最简形矩阵简形矩阵, A4 是是 A 的标准形矩阵的标准形矩阵. 3. 3. 如如果果一一个个如如果果一一个个 m m n n 矩矩阵阵矩矩阵阵 A A 的的秩秩是是的的秩秩是是 r r , ,试试问问是是试试问问是是否有否有否有否有: : (1) (1) A A的的任任何何阶阶数数不不超超过过的的任任何何阶阶数数不不超超过过r r的的子子式式都都不不等等于于的的子子式式都都不不等等于于零零零零? ? (2) (2) A A的的任任何何阶阶数数大大于于的的任任何何阶阶数数大大于
5、于r r的的子子式式都都等等于于零零的的子子式式都都等等于于零零? ? 答答答答 (1) (1) 按按矩矩阵阵秩秩的的定定义义, 此此时时 A 中中存存在在一一个个不不为为零零的的 r 阶阶子子式式, 再再注注意意到到行行列列式式按按一一行行(列列)展展开开的的定定理理, 可可知知 A 中中必必有有不不为为零零的的 1, 2, , r- -1 阶阶子子式式存存在在,但但未未必必 A 中中一一切切 1, 2, , r 阶阶子子式式都不为零都不为零. 例如例如易知易知 R(A) = 3 , 而而 A 等于零的等于零的 1, 2, 3 阶子式都是阶子式都是存在的存在的. (2)(2) 结论是肯定的结
6、论是肯定的. 否则否则 R(A) r. 4. 4. 若若可可逆逆矩矩阵阵若若可可逆逆矩矩阵阵 A A 作作下下列列变变化化作作下下列列变变化化, , 则则则则 A A- - - -1 1 相相应应地地相相应应地地有怎样的变化有怎样的变化有怎样的变化有怎样的变化? ? (1) (1) A A 中第中第中第中第 i i 行与行与行与行与 第第第第 j j 行互换行互换行互换行互换; ; (2) (2) A A 中第中第中第中第 i i 行乘以非零数行乘以非零数行乘以非零数行乘以非零数 k k; ; (3) (3) A A 中第中第中第中第 i i 行乘以数行乘以数行乘以数行乘以数 k k 加到第加
7、到第加到第加到第 j j 行行行行. . 答答答答 (1) (1) 因因 为为 (P(i, j)A)- -1 = A- -1P(i, j)- -1 = A- -1P(i, j), 所所以以, A 交交换换 i, j 两两行行后后的的逆逆，等等于于 A- -1 交换交换 i, j 两列两列. (2)(2) 因为因为 P(i(k)A- -1 = A- -1P(i(1/k),所所以以 A 的的第第 i 行行乘乘以以 k 后后的的逆逆, 等等于于 A 的的逆逆的的第第 i 列乘以列乘以 1/k. (3)(3) 因为因为 P(ij(k)A- -1 = A- -1P(ji(- -k),所所以以 A 的的第
8、第 j 行行乘乘以以数数 k 加加到到第第 i 行行后后的的逆逆, 等等于于A- -1 的第的第 j 列乘以列乘以 (- -k) 加到第加到第 i 列列. 5. 5. 求矩阵求矩阵求矩阵求矩阵 A A 的秩时的秩时的秩时的秩时, , 是否可对是否可对是否可对是否可对 A A 同时施行同时施行同时施行同时施行初等行变换和初等列变换初等行变换和初等列变换初等行变换和初等列变换初等行变换和初等列变换? ? 答答答答 可以可以.因为初等变换不改变矩阵的秩因为初等变换不改变矩阵的秩. 6. 6. 能否用初等列变换求矩阵能否用初等列变换求矩阵能否用初等列变换求矩阵能否用初等列变换求矩阵 A A 的逆矩阵的
9、逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵? ? 答答答答 可以可以. 其方法如下其方法如下: 把把 A 和和 E 构成构成 2nn 矩阵然后对其进行初等列变换矩阵然后对其进行初等列变换, 使上面的使上面的 n 阶方阶方阵变成单位矩阵阵变成单位矩阵, 则下面的则下面的 n 阶方阵即为阶方阵即为 A 的逆的逆矩阵矩阵 A- -1, 即即初等列变换初等列变换. 7. 7. 用用初初等等行行变变换换法法求求矩矩阵阵用用初初等等行行变变换换法法求求矩矩阵阵 A A 的的逆逆矩矩阵阵时时的的逆逆矩矩阵阵时时, , 如如如如何判断何判断何判断何判断 A A 是否可逆是否可逆是否可逆是否可逆? ? 答答答答 若若 n2n 矩矩
10、阵阵 ( A , E) 经经有有限限次次初初等等行行变变换换后后, 左左边边的的 n 阶阶矩矩阵阵能能化化成成单单位位矩矩阵阵, 则则表表示示 A 可逆可逆, 否则表示否则表示 A 不可逆不可逆.但但在在求求逆逆时时, 不不能能同同时时使使用用两两种种初初等等变变换换, 即即不不能能交交叉叉使使用用初初等等行行变变换换和和初初等等列列变变换换.一一般般我我们们习习惯惯用初等行变换法求逆用初等行变换法求逆. 8. 8. 如如何何用用初初等等行行变变换换法法求求解解非非齐齐次次线线性性方方程程如如何何用用初初等等行行变变换换法法求求解解非非齐齐次次线线性性方方程程组组组组? 答答答答 用用初初等等
11、行行变变换换法法求求解解非非齐齐次次线线性性方方程程组组时时, 先先把把它它的的增增广广矩矩阵阵化化成成行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵. 由由行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵容容易易得得出出它它的的系系数数矩矩阵阵和和增增广广矩矩阵阵的的秩秩, 若若它它们们不不等等, 则则方方程程组组无无解解; 若若它它们们相相等等,则则方方程程组组有有解解,这这时时, 需需把把增增广广矩矩阵阵进进一一步步化化成成行行最最简简形形矩阵矩阵. 其其次次,写写出出行行最最简简形形矩矩阵阵所所对对应应的的方方程程组组,并并把把行行最最简简形形矩矩阵阵中中每每个个阶阶梯梯上上的的第第一一个个1所所对对应应的的变变量量保保留留在在左
12、左边边,其其余余变变量量移移到到右右边边作作为为自自由由变变量量; 最最后后令令自自由由变变量量等等于于任任意意常常数数,即即可可得得方方程组的解程组的解. 9. 9. 从从矩矩阵阵从从矩矩阵阵 A A 中中划划去去一一行行得得到到矩矩阵阵中中划划去去一一行行得得到到矩矩阵阵 B B, , 问问问问 A A、B B 的秩的关系怎样的秩的关系怎样的秩的关系怎样的秩的关系怎样? ? 答答答答 R(A) R(B) R(A) - - 1 . 当当划划掉掉的的这这一一行行可可由由其其他他行行通通过过运运算算得得到到时时, 不不改改变变矩矩阵阵的的秩秩, 即即 R(A) = R(B), 这这时时划划掉掉的
13、的这这一一行行为为矩矩阵阵 A 的的行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵中中的的零零行行; 否否则则秩秩会会改改变变, 且且 R(B) = R(A) - - 1. 这这时时划划掉掉的的这这一一行行为矩阵为矩阵A 的行阶梯形矩阵中的非零行的行阶梯形矩阵中的非零行. 如如划掉第划掉第 3 行行此时此时 R(A) = R(B) = 2. 因为因为r3 + r1 - - r2显显然然, R(A1) = R(B), 而而 R(A) = R(A1), 故故 R(A) = R(B). 又如又如划掉第划掉第 3 行行 行变换行变换因为因为 R(A) = 3, 而而 R(B) = 2, 故故 R(A) R(B) . 10.
14、 10. 如何利用矩阵的初等行变换解矩阵方程如何利用矩阵的初等行变换解矩阵方程如何利用矩阵的初等行变换解矩阵方程如何利用矩阵的初等行变换解矩阵方程 AX = BAX = B，其中其中其中其中 A A 为可逆矩阵为可逆矩阵为可逆矩阵为可逆矩阵. . 解解解解 因因 A 可逆可逆, 所以所以 X = A- -1B. 又由又由 A- -1(A，B) = (E，A- -1B)，而而 A- -1 为为可可逆逆矩矩阵阵, 故故有有 A- -1 = P1P2 Pl , 其其中中 Pi (i=1, 2, , l) 为初等矩阵为初等矩阵, 则则 A-1(A , B) = P1P2 Pl(A , B) = (E
15、, A- -1B) ,这说明若对矩阵这说明若对矩阵 (A , B) 施行初等行变换施行初等行变换, 当把当把 A 变为变为 E 时时, B 就变为就变为 A- -1B, 也即为所求的矩阵也即为所求的矩阵 X.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本
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17、束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回
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