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1、知知 识识 要要 点点 一、内容提要一、内容提要 1. 线性空间的定义、例、性质线性空间的定义、例、性质 知道线性空间的定义知道线性空间的定义. 线性空间的定义中有两个集合线性空间的定义中有两个集合, 一个是非空集一个是非空集合合 V, 一个是实数域一个是实数域 R . 有两种被称作线性运算的有两种被称作线性运算的运算运算, 一种是一种是 V 中元素中元素(统称为向量统称为向量)之间的运算之间的运算, 另一种是另一种是 V 中元素与实数中元素与实数 k 之间的运算之间的运算,要求要求 V 对对这两种运算都封闭这两种运算都封闭. 有八条运算法则有八条运算法则, 这两种运算这两种运算要满足八条运算
2、法则要满足八条运算法则. 线性空间是第三章中向量空间的推广线性空间是第三章中向量空间的推广, 也就也就是说是说 n 元有序数组是一种线性空间元有序数组是一种线性空间, 记为记为 Rn , 此此外常见的线性空间有外常见的线性空间有: 次数不超过次数不超过 n 的多项式的的多项式的全体全体, 记作记作 P x n ;元素皆为实数的元素皆为实数的 m 行行 n 列矩列矩阵的全体阵的全体, 记作记作 Rmn. 线性空间有如下性质线性空间有如下性质: (1) (1) 零元素是唯一的零元素是唯一的零元素是唯一的零元素是唯一的; ; (2) (2) 任一元素的负元素唯一任一元素的负元素唯一任一元素的负元素唯
3、一任一元素的负元素唯一; ; (3) (3) 0 0 = 0, ( = 0, (- - - -1 1) ) = = - - - - , , 0 = 0 , 0 = 0 , ( ( - - - - ) = ) = - - - - ; ; (4) (4) 如果如果如果如果 = 0 , = 0 , 则则则则 = = 0 0, , = 0 = 0 至少有一个至少有一个至少有一个至少有一个成立成立成立成立. . 2. 线性子空间的定义及判别定理线性子空间的定义及判别定理 设设 L 是线性空间是线性空间 V 的非空子集的非空子集, 如果如果 L 对对 V 中定义的两种线性运算也成线性空间中定义的两种线性运
4、算也成线性空间 , 则称则称 L 是是 V 的子空间的子空间. L 为为 V 的子空间的充要条件是的子空间的充要条件是 L 对对 V 中的线中的线性运算封闭性运算封闭. 3. 线性空间的基、维数、坐标、同构线性空间的基、维数、坐标、同构 线性空间线性空间 V 中的中的 n 个元素个元素 1 , 2 , , n ,如如果满足果满足(1) 1 , 2 , , n 线性无关线性无关, (2) V 中任中任一一元素可由元素可由 1 , 2 , , n 线性表示线性表示, 则称则称 1 , 2 , , n 为为 V 的一个的一个基基. V 中任一个基中的元素个数叫做中任一个基中的元素个数叫做 V 的的维
5、数维数维数维数. 如如: 我们已经学过的我们已经学过的 Rn, 它的一个基是它的有它的一个基是它的有序数组序数组:(1, 0, , 0), (0, 1, , 0), , (0, 0, , 1). 又如又如: 1, x, , xn 是是 P x n 的一个基的一个基, 因此因此P x n 的维数是的维数是 n + 1. 再如再如: 记记 aij = 1, 其他元素都是其他元素都是 0 的矩阵的矩阵 Eij , 则则 Eij , i 从从 1 到到 m , j 从从 1 到到 n 是是 Rmn 的一个基的一个基, Rmn 的维数是的维数是 mn. 设设 1 , 2 , , n 是线性空间是线性空间
6、 V 的一个基的一个基, 则则 V , 有唯一的等式有唯一的等式 = x1 1 + x2 2 + + xn n ,称称 x1, x2 , , xn 为向量为向量 在基在基 1 , 2 , , n 下下的坐标的坐标. 若在两个线性空间若在两个线性空间 V1 , V2 之间有保持线性之间有保持线性运算的一一对应运算的一一对应, 则称则称 V1 与与 V2 同构同构. 任何任何 n 维线性空间维线性空间 V 与与 Rn 同构同构,任何两个维任何两个维数相同的线性空间同构数相同的线性空间同构. 4. 基变换与坐标变换基变换与坐标变换 若若 1 , 2 , , n 与与 1, 2 , , n 是线是线性
7、空性空间间 V 的两组基的两组基, 且且记记称矩阵称矩阵 A 为基为基 1 , 2 , , n 到基到基 1, 2 , , n 的过渡矩阵的过渡矩阵. 过渡矩阵一定可逆过渡矩阵一定可逆, 且由基且由基 1, 2 , , n 到到基基 1 , 2 , , n 的过渡矩阵为的过渡矩阵为 A- -1 . 如果向量如果向量 在基在基 1 , 2 , , n 下的坐标下的坐标为为 (x1 , x2 , , xn)T , 在基在基 1, 2 , , n 下的下的坐坐标为标为(x1 , x2 , , xn )T , 则则 5. 线性变换线性变换 称线性空间称线性空间 V 到其自身的保持线性运算的变到其自身的
8、保持线性运算的变换叫线性变换换叫线性变换. 线性变换有如下性质线性变换有如下性质: T(0) = 0 , T(- - ) = - -T( ), T(k1 1 + k2 2 + + kn n) = k1T( 1) + k2T( 2) + + knT( n) . 若若 1 , 2 , , n 线性无关线性无关, 则则 T( 1) ,T( 2), , T( n)线性无关线性无关(注意反之不真注意反之不真). 线性变换线性变换 T 把把 V 的子的子空间空间 V1 映射成映射成 V 的子空间的子空间, 即即 T(V1) 是是 V 的子的子空间空间. 称称 T(V ) 是线性变换是线性变换 T 的像集的
9、像集, 使使 T( ) = 0( V ) 的全体叫线性变换的全体叫线性变换 T 的核的核, 核也是核也是 V 的的子空间子空间. 6. 6. 线性变换与矩阵线性变换与矩阵 设设 T 是线性空间是线性空间 V 的线性变换的线性变换, 1 , 2 , , n 是是 V 的一组基的一组基, 且且记记则则且称矩阵且称矩阵 A 为线性变换为线性变换 T 在基在基 1 , 2 , , n 下下的矩阵的矩阵. 在线性空间基给定的前提下在线性空间基给定的前提下, 有一个线性变有一个线性变换就有一个矩阵换就有一个矩阵; 反之反之, 有一个矩阵就确定了一有一个矩阵就确定了一个线性变换个线性变换. 现给出线性空间的
10、两个基现给出线性空间的两个基: 基基、基基, 从基从基到基到基的过渡矩阵为的过渡矩阵为 P , 线性变换线性变换 T 在基在基、基基下的矩阵分别为下的矩阵分别为 A, B , 则有则有 B = P- -1AP . 二、基本要求与重点、难点二、基本要求与重点、难点 基本要求基本要求 1 1. 了解线性空间的定义了解线性空间的定义, 了解了解 Rn , P x n , Rmn 是线性空间是线性空间. 2. 2. 掌握线性子空间的判别定理掌握线性子空间的判别定理, 并能用来并能用来判定判定 Rn , P x n , Rmn 的子集是否是线性空间的子集是否是线性空间. 3. 3. 掌握基变换公式、坐标
11、变换公式掌握基变换公式、坐标变换公式, 并能并能求求向量在基下的坐标、向量在基下的坐标、 基之间的过渡矩阵基之间的过渡矩阵. 4. 4. 清楚清楚 Rn 是是 n 维的维的, P x n 是是 n + 1 维的维的, Rmn 是是 mn 维的线性空间维的线性空间,并能举出各自的基并能举出各自的基. 5. 5. 会判定线性空间的变换是否是线性变换会判定线性空间的变换是否是线性变换, 会求线性变换在给定基下的矩阵会求线性变换在给定基下的矩阵. 掌握线性变换掌握线性变换在不同基下的矩阵之间的关系在不同基下的矩阵之间的关系.重点重点 线性变换与线性空间的定义与性质线性变换与线性空间的定义与性质.难点难
12、点 线性变换与线性空间的判别法线性变换与线性空间的判别法.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返
13、回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束
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