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1、知知 识识 要要 点点 一、内容提要一、内容提要 1. 1. 矩阵的初等变换矩阵的初等变换矩阵的初等变换矩阵的初等变换 (1) (1) 定义定义定义定义 定义定义定义定义 1 1 下面三种变换称为矩阵的下面三种变换称为矩阵的初等行变初等行变初等行变初等行变换换换换 : : ( (i) i) 对调两行对调两行 ( 对调对调 i , j 两行两行, 记作记作 ri rj ); (ii)(ii) 以数以数 k 0 乘某一行中的所有元素乘某一行中的所有元素(第第 i 行乘行乘 k , 记作记作 ri k); (iii)(iii) 把某一行所有元素的把某一行所有元素的 k倍加到另一行对倍加到另一行对应应
2、元素上去元素上去(第第 j 行的行的 k倍加到第倍加到第 i 行上行上, 记作记作 ri + krj). 定义定义定义定义 2 2 下面三种变换称为矩阵的下面三种变换称为矩阵的初等列变初等列变初等列变初等列变换换换换 : : (i)(i) 对调两列对调两列 ( 对调对调 i , j 两列两列, 记作记作 ci cj ); (ii)(ii) 以数以数 k 0 乘某一列中的所有元素乘某一列中的所有元素(第第 i 列列乘乘 k , 记作记作 ci k); (iii)(iii) 把某一列所有元素的把某一列所有元素的 k倍加到另一列对应倍加到另一列对应元素上去元素上去(第第 j 列的列的 k倍加到第倍加
3、到第 i 列上列上, 记作记作 ci + kcj). 定义定义定义定义 3 3 矩阵的初等行变换与初等列变换矩阵的初等行变换与初等列变换,统统称为矩阵的称为矩阵的初等变换初等变换初等变换初等变换. . 定义定义定义定义 4 4 如果矩阵如果矩阵 A 经有限次初等变换变成经有限次初等变换变成矩阵矩阵 B , 则称则称矩阵矩阵矩阵矩阵 A A 与与与与 B B 等价等价等价等价, 记作记作 A B. 定定义义定定义义 5 5 满满足足下下面面两两个个条条件件的的矩矩阵阵称称为为行行阶阶行行阶阶梯形矩阵梯形矩阵梯形矩阵梯形矩阵: (i) 非非零零行行(元元素素不不全全为为零零的的行行)的的标标号号小
4、小于于零行零行(元素全为零的行元素全为零的行)的标号的标号; (ii) 设设矩矩阵阵有有 r 个个非非零零行行, 第第 i 个个非非零零行行的的第第一一个个非非零零元元素素所所在在的的列列号号为为 ti (i =1 , 2 , , r ), 则则 t1 t2 tr . 定义定义定义定义 6 6 若矩阵满足若矩阵满足 (i) 每个非零行的第一个非零元素为每个非零行的第一个非零元素为1; (ii) 每每个个非非零零行行的的第第一一个个非非零零元元素素所所在在的的列列的的其其他他元元素素全全为为零零, 则则称称该该矩矩阵阵为为行行最最简简形形矩矩阵阵行行最最简简形形矩矩阵阵. 定定义义定定义义 7
5、7 如如果果一一个个矩矩阵阵的的左左上上角角为为单单位位矩矩阵阵,其其他他位位置置的的元元素素都都为为零零, 则则称称这这个个矩矩阵阵为为标标准准形形标标准准形形矩阵矩阵矩阵矩阵. (2) 性质性质 定理定理定理定理 1 1 矩阵的等价关系有下列性质矩阵的等价关系有下列性质: ( (i) i) 反身性反身性反身性反身性 A A; (ii) (ii) 对称性对称性对称性对称性 若若 A B, 则则 B A; (iii) (iii) 传递性传递性传递性传递性 若若 A B, B C, 则则 A C. 定定理理定定理理 2 2 任任何何矩矩阵阵都都可可经经过过单单纯纯的的初初等等行行变变换换化化为为
6、行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵和和行行最最简简形形矩矩阵阵. 任任何何矩矩阵阵都可经过初等变换化为标准形矩阵都可经过初等变换化为标准形矩阵. 2. 2. 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩 (1) (1) 定义定义定义定义 定定义义定定义义 8 8 设设在在矩矩阵阵 A 中中有有一一个个不不等等于于零零的的 r阶阶子子式式 D, 且且所所有有 r + 1 阶阶子子式式(如如果果存存在在的的话话)全全等等于于零零, 那那么么 D 称称为为矩矩阵阵 A 的的最最高高阶阶非非零零子子式式最最高高阶阶非非零零子子式式, 数数r称称为为矩矩阵阵为为矩矩阵阵A A 的的秩秩的的秩秩, 记记作作 R(A),并并规规
7、定定零零矩矩阵阵的的秩秩等等于零于零. (2) (2) 定理定理定理定理 定理定理定理定理 3 3 若若 A B , 则则 R(A) = R(B). 3. 初等矩阵初等矩阵 (1) (1) 定义定义定义定义 定定义义定定义义 9 9 由由单单位位矩矩阵阵 E 经经过过一一次次初初等等变变换换得得到的矩阵称为到的矩阵称为初等矩阵初等矩阵初等矩阵初等矩阵. (2) (2) 三种初等矩阵三种初等矩阵三种初等矩阵三种初等矩阵 E E( (i i , , j j) :) : 对调对调 E 的第的第 i 行与第行与第 j 行行; E E( ( i i( (k k) ):) ): E 的第的第 i 行乘以数
8、行乘以数 k ; E E( ( ij ij( (k k) ):) ): E的第的第 j 行的行的 k 倍加到第倍加到第 i 行上去行上去. (3) (3) 性质性质性质性质 定理定理定理定理 4 4 初等矩阵都是可逆的初等矩阵都是可逆的, 且且(i) E( i, j )- -1 = E( i, j ); (ii)(iii) E( ij(k) )- -1 = E( ij(- -k) ). 定定理理定定理理 5 5 设设 A 是是一一个个 m n 矩矩阵阵, 对对 A 施施行行一一次次初初等等行行变变换换, 相相当当于于在在 A 的的左左边边乘乘以以相相应应的的 m 阶阶初初等等矩矩阵阵; 对对
9、A 施施行行一一次次初初等等列列变变换换, 相相当当于于在在 A 的右边乘以相应的的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵阶初等矩阵. 定理定理 6 设设 A 为可逆矩阵为可逆矩阵, 则存在有限个初则存在有限个初等矩阵等矩阵 P1 , P2 , , Pl , 使使 A = P1P2 Pl . 推推 论论 mn 矩矩 阵阵 A B 的的充充要要条条件件是是， 存存 在在 m 阶阶可可逆逆矩矩阵阵 P 及及 n 阶阶可可逆逆矩矩阵阵 Q , 使使 PAQ = B. 4. 线性方程组的解线性方程组的解 定定理理定定理理 7 7 n 元元齐齐次次线线性性方方程程组组 Ax = 0 有有非非零零解的充要条件是系
10、数矩阵的秩解的充要条件是系数矩阵的秩 R(A) n. 定定理理定定理理 8 8 n 元元非非齐齐次次线线性性方方程程组组 Ax = b 有有解解的的充充要要条条件件是是系系数数矩矩阵阵 A 的的秩秩等等于于增增广广矩矩阵阵 B 的秩的秩. 二、基本要求、重点与难点二、基本要求、重点与难点 基本要求基本要求基本要求基本要求 1. 掌握矩阵的秩、矩阵等价等概念掌握矩阵的秩、矩阵等价等概念, 会求矩会求矩阵的秩阵的秩. 2. 理理解解初初等等变变换换与与初初等等矩矩阵阵概概念念, 会会用用初初等等变变换换法法求求矩矩阵阵的的逆逆、矩矩阵阵的的秩秩; 求求矩矩阵阵的的标标准准形形; 解方程组等解方程组
11、等. 重点重点重点重点 用初等行变换法求矩阵的逆、秩，用初等行变换法求矩阵的逆、秩，解方程组解方程组. 难点难点难点难点 初等矩阵的性质初等矩阵的性质.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返
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