《工程数学-线性代数（第五版）（同济）释疑解难 (3).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《工程数学-线性代数（第五版）（同济）释疑解难 (3).pdf（19页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、释释 疑疑 解解 难难 1. 1. 若向量组若向量组若向量组若向量组 1 1, , 2 2 , , , , r r 线性相关线性相关线性相关线性相关, , 那么那么那么那么是否对于任意不全为零的数是否对于任意不全为零的数是否对于任意不全为零的数是否对于任意不全为零的数 k k1 1 , , k k2 2 , , , , k kr r , , 都有都有都有都有 k k1 1 1 1 + + k k2 2 2 2 + + + + k kr r r r = 0 ? = 0 ? 答答答答 结论是否定的结论是否定的.因为按定义因为按定义, 向量组向量组 1, 2, , r 线性相关是指线性相关是指存在存
2、在存在存在不全为零的不全为零的数数k1, k2 , , kr 使得使得 k k1 1 1 1 + + k k2 2 2 2 + + + + k kr r r r = 0 . = 0 .而而不不是是对对任任意意不不全全为为零零的的数数k1 , k2 , , kr 都都能能使使上上式式成成立立(否否则则必必有有 1 = 2 = = r =0). 我我们们也也可以用反例来说明该结论是否定的可以用反例来说明该结论是否定的. 取取 1 = (1,0,0) , 2 = (2, 0, 0), 则则 2 1 - - 2 = 0 , 因因而而 1 , 2 线性相关线性相关. 若取若取 k1 = 1, k2 =
3、2, 那么那么 k1 1 + k2 2 = 1 + 2 2 = (5,0,0) (0,0,0) , 这说明并非对任意不全为零的这说明并非对任意不全为零的 k1, k2 , 都能使都能使 k1 1 + k2 2 = 0 . 2. 2. 若向量组若向量组若向量组若向量组 1 1, , 2 2 , , , , r r 线性无关线性无关线性无关线性无关, , 那么是那么是那么是那么是否对于任意不全为零的数否对于任意不全为零的数否对于任意不全为零的数否对于任意不全为零的数 k k1 1 , , k k2 2 , , , , k kr r , , 使使使使得得得得 k k1 1 1 1 + + k k2
4、2 2 2 + + + + k kr r r r 0 ? 0 ? 答答答答 结论是肯定的结论是肯定的.因为若存在不全为零的数因为若存在不全为零的数k1 , k2 , , kr , 有有 k k1 1 1 1 + + k k2 2 2 2 + + + + k kr r r r = 0 , = 0 ,则按线性相关的定义则按线性相关的定义, 1, 2 , , r 线性相线性相关关. 3. 3. 如果向量组如果向量组如果向量组如果向量组 1 1, , 2 2 , , , , r r ( ( r r 2 ) 2 )中中中中任取任取任取任取 m m ( ( m m r r ) )个向量个向量个向量个向量
5、所组成的部分向量组都线性无所组成的部分向量组都线性无所组成的部分向量组都线性无所组成的部分向量组都线性无关关关关, ,那么这个向量组本身是否线性无关那么这个向量组本身是否线性无关那么这个向量组本身是否线性无关那么这个向量组本身是否线性无关? ? 答答答答 1, 2 , , r 未必是线性无关的未必是线性无关的. 例如例如, 取取 1 = (1,0) , 2 = (0,1) , 3 = (1,1) , 则则 1, 2 , 3 的任一部分组都是线性无关的的任一部分组都是线性无关的. 但由但由 1+ 2 - - 3 = 0 , 知知 1, 2 , 3 线性相关线性相关. 注意注意 当向量组当向量组当
6、向量组当向量组 1 1, , 2 2 , , , , r r 线性无线性无线性无线性无关关关关, , 则则则则其任何一部分向量组都线性无关其任何一部分向量组都线性无关其任何一部分向量组都线性无关其任何一部分向量组都线性无关. 4. 4. 若若若若 1 1, , 2 2 , , , , r r ( ( r r 2 ) 2 )是线性相是线性相是线性相是线性相关的关的关的关的, ,则则则则其中任何一个向量都可由其余向量线性表示吗其中任何一个向量都可由其余向量线性表示吗其中任何一个向量都可由其余向量线性表示吗其中任何一个向量都可由其余向量线性表示吗? ? 答答答答 结结论论是是否否定定的的. 我我们们
7、知知道道, 若若 1, 2 , , r (r 2 ) 是是线线性性相相关关的的, 则则其其中中至至少少有有一一个个向向量量能能由由其其余余向向量量线线性性表表示示, 但但并并非非其其中中任任一一向向量量都都能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示. 例如例如 1 = (0,0) , 2 = (1,1) , 1 , 2 很很显显然然是是线线性性相相关关的的, 但但 2 不不能能由由 1 线线性性表示表示. 5. 5. 向向量量组组的的线线性性相相关关性性能能否否用用线线性性方方程程组组向向量量组组的的线线性性相相关关性性能能否否用用线线性性方方程程组组的解来判定的解来判定的解来判定的解来判定?
8、? 答答答答 按按向向量量组组线线性性相相关关的的定定义义, 可可知知列列向向量量组组 1, 2 , , n 线线性性相相关关的的充充要要条条件件是是齐齐次次线线性性方方程组程组 x1 1 + x2 2 + + xn n = 0有非零解有非零解, 也就是齐次线性方程组也就是齐次线性方程组即即 Ax = 0有非零解有非零解,其中其中 A =( 1, 2 , , n), x = (x1 , x2 , , xn)T . 列向量列向量 b 能由列向量组能由列向量组 1, 2 , , n 线性表线性表示的充要条件是非齐次线性方程组示的充要条件是非齐次线性方程组 x1 1 + x2 2 + + xn n
9、= b, 即即 Ax = b 有解有解( 但不一定是唯一解但不一定是唯一解). 类似地类似地, 可以把行向量组线性相关、行向量能可以把行向量组线性相关、行向量能由行向量组线性表示与线性方程组的解联系起来由行向量组线性表示与线性方程组的解联系起来,从而可以利用线性方程组的解的情况来研究向量从而可以利用线性方程组的解的情况来研究向量组的线性相关性组的线性相关性. 6. 6. 如果向量组如果向量组如果向量组如果向量组 1 1, , 2 2 , , , , s s 的秩为的秩为的秩为的秩为 r r , , 那那那那么其中任意么其中任意么其中任意么其中任意 r r 个向量是否都可以构成它的一个最个向量是
10、否都可以构成它的一个最个向量是否都可以构成它的一个最个向量是否都可以构成它的一个最大线性无关组大线性无关组大线性无关组大线性无关组? ? 答答答答 未必如此未必如此. 按秩的定义按秩的定义, 在在 1, 2 , , s 的秩为的秩为 r 的条件下的条件下, 只能得到只能得到: 其中存在其中存在 r 个向量个向量构成它的一个最大线性无关组构成它的一个最大线性无关组, 而并不能得到其而并不能得到其中任意中任意 r 个向量都构成它的一个最大线性无关组个向量都构成它的一个最大线性无关组. 例如例如, 取取 1= (10,12,6) , 2 = (5,6,3) , 3 = (7,3,- -1) ,易知易
11、知, 向量组向量组 1, 2 , 3 的秩为的秩为 2 , 但但 1, 2 不不构成其最大线性无关组构成其最大线性无关组. 7. 7. 如何用矩阵的初等行变换求向量组的一个如何用矩阵的初等行变换求向量组的一个如何用矩阵的初等行变换求向量组的一个如何用矩阵的初等行变换求向量组的一个最大无关组最大无关组最大无关组最大无关组, , 并用该最大无关组表示其余向量并用该最大无关组表示其余向量并用该最大无关组表示其余向量并用该最大无关组表示其余向量? ? 答答答答 方方法法如如下下: 把把向向量量组组中中的的每每一一个个向向量量作作为为一一列列构构成成矩矩阵阵, 对对该该矩矩阵阵实实施施初初等等行行变变换
12、换, 使使之之成成为为行行最最简简形形矩矩阵阵. 则则在在该该行行最最简简形形矩矩阵阵中中,每每个个阶阶梯梯上上的的第第一一个个非非零零元元(这这个个非非零零元元为为1)所所在在的的列列向向量量构构成成该该向向量量组组的的一一个个最最大大无无关关组组. 而而其其他他列列上上的的位位于于阶阶梯梯线线上上方方的的元元素素即即为为用用这这个个最最大大无无关关组组表示该列向量时相应的系数表示该列向量时相应的系数. 例例例例 求向量组求向量组 1 = (1, 0, 2, - -1), 2 = (3, 0, 6, - -3), 3 = (- -2, 1, - -4, 4), 4 = (2, 2, 5, 0
13、), 5 = (- -1, - -1, 7, - -19)的一个最大无关组的一个最大无关组, 并用它表示其余向量并用它表示其余向量. 解解解解 构造矩阵构造矩阵 A = ( 1T , 2T , 3T , 4T , 5T )行变换行变换行变换行变换所以一个最大无关组为所以一个最大无关组为 1 , 3 , 4 , 且且 2 = 3 1 , 5 = - -57 1 - -19 3 + 9 4 . 8. 8. 研究向量空间的基和维数对掌握向量空研究向量空间的基和维数对掌握向量空研究向量空间的基和维数对掌握向量空研究向量空间的基和维数对掌握向量空间有什么作用间有什么作用间有什么作用间有什么作用? ? 答
14、答答答 一般而言一般而言, 一个向量空间中有无穷多个元一个向量空间中有无穷多个元素，如何掌握和表达它们呢素，如何掌握和表达它们呢? 亦即它们之间的关亦即它们之间的关系如何系如何? 通过向量空间的线性运算引入了基和维通过向量空间的线性运算引入了基和维数的概念数的概念, 使得对向量的表达和运算简单化了使得对向量的表达和运算简单化了. 向量空间的一组基向量空间的一组基, 可以说是它的一个最大可以说是它的一个最大无关组无关组, 掌握了向量组的一个最大无关组掌握了向量组的一个最大无关组, 就等就等于掌握了整个向量组于掌握了整个向量组. 掌握了向量空间的一组掌握了向量空间的一组基基, 就等于掌握了整个向量
15、空间就等于掌握了整个向量空间. 9. 9. 齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组 AxAx = 0 = 0 的解空间是几维的解空间是几维的解空间是几维的解空间是几维空间空间空间空间? ? 答答答答 设设方方程程组组 Ax = 0 有有 n 个个未未知知量量 m 个个方方程程, 且且 R(A) = r , 则则该该方方程程组组的的解解空空间间是是 n - - r 维维向向量量空空间间, 它它的的基基础础解解系系由由 n r 个个向向量量构构成成. 10. 10. 判断非齐次线性方程组有解的途径有哪判断非齐次线性方程组有解的途径有哪判断非齐次线性方程组有解的途径有哪判断非齐次线
16、性方程组有解的途径有哪几种几种几种几种? ? 答答答答 非齐次线性方程组非齐次线性方程组 Ax = b 的解分为三种的解分为三种情况情况: 无解、有唯一解、有无穷多解无解、有唯一解、有无穷多解 要判断要判断 Ax = b 有解有解, 只需证只需证 R(A) = R(B) , 或或者证向量者证向量 b 是列向量是列向量 1 , 2 , , n 的线性的线性组合组合. 当当 R(A) = R(B) = n 时时, Ax = b 有有唯唯一一解解. 当当方方程程的的个个数数与与未未知知量量的的个个数数相相等等时时,只只需需证证 |A| 0,则则 Ax = b 就就有有唯唯一一解解. 当当 R(A)
17、= R(B) n 时时, 则则方程有无穷多解方程有无穷多解.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击
18、返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结
19、束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若
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