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1、十字相乘法分解二次三项式因式十字相乘法分解二次三项式因式总结知识归纳总结知识归纳对于首项系数是 1 的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式x2(a b)x ab x ax b进行因式分解。掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。对于二次三项ax2bx c（a、b、c 都是整数，且a 0）来说，如果存在四个整数a1，c1，a2，c2满 足a1a2 a，c1c2 c，并 且a1c2 a2c1 b，那 么 二 次 三 项 式ax2bx c即a1a2x2a1c2 a2c1x c1c2可以分解为a1x c1a2x c2。这里要确定四个常数a1，c1，
2、a2，c2，分析和尝试都要比首项系数是 1 的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。1.1.在方程、不等式中的应用在方程、不等式中的应用例例 1.1.已知：x 11x 24 0，求 x 的取值范围。分析：分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。解：解：x211x 24 02x 3x 8 0 x 3 0 x 8 0 x 8或x 3432x 3 0或x 8 0例例 2.2.如果x x mx 2mx 2能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求 m 的值，并把这个多项式分解因式。分析：分析：应当把x分成x x，而对于常数项-2
3、，可能分解成1 2，或者分解成21，由此422分为两种情况进行讨论。解：解：（1）设原式分解为x ax 1 x bx 2，其中 a、b 为整数，去括号，得：432x a bx x 2a bx 222将它与原式的各项系数进行对比，得：a b 1，m 1，2a b 2m解得：a 1，b 0，m 1（2）设原式分解为x cx 2x222此时，原式 x 2 x x 12dx 1，其中 c、d 为整数，去括号，得：-1-432x c dx x c 2dx 2将它与原式的各项系数进行对比，得：c d 1，m 1，c 2d 2m解得：c 0，d 1，m 1此时，原式 x22 x2 x 1 2.2.在几何学中
4、的应用在几何学中的应用例例.已知：长方形的长、宽为 x、y，周长为 16cm，且满足x y x2 2xy y2 2 0，求长方形的面积。分析：分析：要求长方形的面积，需借助题目中的条件求出长方形的长和宽。解：解：x y x 2xy y 2 022x2 2xy y2x y 2 0(x y)2x y 2 0 x y 2x y 1 0 x y 2 0或x y 1 0又x y 8x y 2 0 x y 1 0或x y 8x y 8解得：.x 5x 35或y 3y 4.52长方形的面积为 15cm 或 4.4.在代数证明题中的应用在代数证明题中的应用632cm422例例.证明：若4x y是 7 的倍数，
5、其中 x，y 都是整数，则8x 10 xy 3y是 49 的倍数。分析：分析：要证明原式是 49 的倍数，必将原式分解成 49 与一个整数的乘积的形式。22证明一：证明一：8x 10 xy 3y2x 3y4x y22x 3y 4x 6y 4x y 7y4x y是 7 的倍数，7y 也是 7 的倍数（y 是整数）22x 3y是 7 的倍数而 2 与 7 互质，因此，2x 3y是 7 的倍数，所以8x 10 xy 3y是 49 的倍数。证明二：证明二：4x y是 7 的倍数，设4x y 7m（m 是整数）则y 4x 7m22-2-22又8x 10 xy 3y2x 3y4x y2x 12x 21m4
6、x 4x 7m 7m14x 21m 49m2x 3mx，m 是整数，m2x 3m也是整数所以，8x 10 xy 3y是 49 的倍数。22中考点拨中考点拨例例 1 1.（2000湖北）把4x y 5x y 9y分解因式的结果是_。解：解：4x y 5x y 9y4222242222 y24x45x2 9 y4x 9 x 12 y2x22212x 32x 3说明：多项式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，继续分解彻底。例例 2 2.（2000甘肃）因式分解：6x 7x 5 _2解：解：6x 7x 5 2x 13x 52说明说明：分解系数时一定要注意符号，否则由于不慎将造成错误。题型展示题型
7、展示例例 1.1.若x y mx 5y 6能分解为两个一次因式的积，则 m 的值为（）A.1B.-1C.1D.22222解：解：x y mx 5y 6 x yx y mx 5y 6 -6 可分解成2 3或3 2，因此，存在两种情况：（1）x+y-2（2）x+y-3x-y3x-y2由（1）可得：m 1，由（1）可得：m 1故选择 C。说明说明：对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法。-3-例例 2 2.已知：a、b、c 为互不相等的数，且满足a c 4bacb。求证：a b bc证明：证明：a c 4bacb22a c
8、4bacb 0a22acc24bc4ac4ab4b2 02 a c4b a c 4b 022a c2b 0a c2b 0a b bc说明说明：抓住已知条件，应用因式分解使命题得证。例例 3.3.若x35x2 7x a有一因式x 1。求 a，并将原式因式分解。解：解：x35x2 7x a有一因式x 1当x1 0，即x 1时，x35x27x a 0a 32x35x2 7x 3 x3 x2 4x2 4x 3x 3 x2x 1 4xx 1 3x 1x 1x2 4x 3x 1x 1x 3x 1 x 32说明说明：由条件知，x 1时多项式的值为零，代入求得 a，再利用原式有一个因式是x 1，分解时尽量出现
9、x 1，从而分解彻底。实战模拟实战模拟1.分解因式：（1）a b 16ab 39（2）15x（3）x 3x-4-222n 7xnyn1 4y2n222 22x2 3x 72 2.在 多 项 式x 1，x 2，x 3，x 2x 3，x 2x 1，x 2x 3，哪 些 是 多 项 式222x2 2x10 x2 2x 9的因式？42 3.已知多项式2x x 13x k有一个因式，求 k 的值，并把原式分解因式。4.分解因式：3x 5xy 2y x 9y 4；-5-2232.，x 3y 12.，求3x 12xy 9y的值。5.已知：x y 0522-6-试题答案试题答案1.（1）解：解：原式ab16a
10、b39ab3ab132（3）解：解：原式x2.解：解：x 2x（2）解：解：原式 3xn yn15xn4yn1223x 4x3x 18x 4x 1x 6x 322410 x2 2x 922222x 2x9x 2x1x22x3x22x3x22x1x22x1x22x3x3x1x1x22x1其中x 1，x 3，x 2x 3，x 2x 1是多项式22x2 2x10 x2 2x 9的因式。423.解：解：设2x x 13x k 2x 1x ax b3223232则2x x 13x k 2x 2a 1x a 2bx b2a 1 1a 1a 2b 13解得：b 6b kk 6k 6且2x3 x213x 6 2x 1x2 x 6 2x 1x 3x 24.解：解：简析：由于项数多，直接分解的难度较大，可利用待定系数法。设3x 5xy 2y x 9y 4223x y mx 2y n 3x 5xy 2y m 3nx 2m ny mn22m 3n 1m 4比较同类项系数，得：2m n 9解得：n 1mn 4223x 5xy 2y x 9y 4 3x y 4x 2y 15.解：解：3x 12xy 9y22 3x2 4xy 3y2 3x yx 3yx y 0.5，x 3y 12.原式 3 0.512.18.-7-