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1、平平 面面 向向 量量复复 习一习一【复【复习目标习目标】1 1 掌握向量的相关概念掌握向量的相关概念:2 2 会进行向量的根本运算会进行向量的根本运算3 3 理解平面向量之间关系及平面向量的根本定理理解平面向量之间关系及平面向量的根本定理【复【复习重点习重点】向量的根本运算向量的根本运算【复【复习难点习难点】理解平面向量之间关系及平面向量的根本定理理解平面向量之间关系及平面向量的根本定理复复习内容习内容一、向量的相关概念一、向量的相关概念:1)1)定义定义2)2)重要概念：重要概念：1 1零向量：零向量：2 2单位向量：单位向量：3 3平行向量：平行向量：4 4相等向量：相等向量：5 5相反
2、向量：相反向量：3)3)向量的表示向量的表示4)4)向量的模长度向量的模长度二、向量的运算二、向量的运算1 1）加法：两个法则）加法：两个法则 坐标表示坐标表示减法减法:法则法则 坐标表示坐标表示，运算律，运算律2)2)实数实数 与向量与向量 a a 的积的积3)3)平面向量的数量积：平面向量的数量积：(1)(1)两向量的夹角定义两向量的夹角定义(2)(2)平面向量数量积的定义平面向量数量积的定义(3)a(3)a 在在 b b 上的投影上的投影(4)(4)平面向量数量积的几何意义平面向量数量积的几何意义5 5平面向量数量积的运算律平面向量数量积的运算律三、平面向量之间关系三、平面向量之间关系1
3、 1向量平行向量平行(共线共线)条件的两种形式条件的两种形式:2 2向量垂直条件的两种形式向量垂直条件的两种形式:3 3两个向量相等的条件是两个向量的坐标相等两个向量相等的条件是两个向量的坐标相等.四、平面向量的根本定理四、平面向量的根本定理注注:满足什么条件的向量可作为基底满足什么条件的向量可作为基底?向量定义：既有大小又有方向的量叫向量。向量定义：既有大小又有方向的量叫向量。重要概念：重要概念：零向量：零向量：长度为长度为 0 0 的向量，记作的向量，记作 0.0.2 2单位向量：长度为单位向量：长度为 1 1 个单位长度的向量个单位长度的向量.3 3平行向量：也叫共线向量，方向相同或相反
4、的非零向量平行向量：也叫共线向量，方向相同或相反的非零向量.4 4相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量：长度相等且方向相同的向量.5 5相反向量：长度相等且方向相反的向量相反向量：长度相等且方向相反的向量.一、向量的相关概念一、向量的相关概念一、向量表示及运算：几何表示一、向量表示及运算：几何表示，字母表示，字母表示，坐标表示，坐标表示1 1、向量的模长度即向量的大小、向量的模长度即向量的大小,记作记作|a|a|；向量的表示方法；向量的表示方法:_:_2 2、向量的加法、向量的加法:平行四边形法则；三角形法则平行四边形法则；三角形法则(首尾相接首尾相接)，平行四边，平行四边形法则形法则，
5、坐标表示坐标表示:a a+b=b=(x x1 1+x+x2 2，y y1 1+y+y2 2)运算律：交换律；结合律。运算律：交换律；结合律。3 3、向量的减法、向量的减法:三角形法则三角形法则(指向被减数指向被减数)坐标表示坐标表示:a a-b=b=(x x1 1-x x2 2，y y1 1-y y2 2)4 4、(1)(1)实数与向量的积:实数与向量的积:a a规定规定:1)|:1)|a a|=|=|a a|;|;2)2)0 0 时与时与 a a 同向同向;0 0 时与时与 a a 反向反向;=0=0 时时,a=a=0;0;坐标表示坐标表示:a=a=(x x，y y)运算律：运算律：(a a
6、)=()=()a a;(;(+)+)a a=a a+a a;(a+ba+b)=)=a a+b b.5 5、平面向量的数量积、平面向量的数量积1 1、（1 1）a a 与与 b b 的夹角：的夹角：共同的起点共同的起点（2 2）向量夹角的范围：）向量夹角的范围：000 0，1801800 0 3 3向量垂直：向量垂直：4 4 两个非零向量的数量积：两个非零向量的数量积：规定：零向量与任一向量的数量积为规定：零向量与任一向量的数量积为 0 0几何意义：数量积几何意义：数量积 a a b b 等于：等于：2 2、数量积的运算律：、数量积的运算律：交换律：交换律：a a b b b b a a对数乘的
7、结合律：对数乘的结合律：(a a)b b (a a b b)a a (b b)分配律：分配律：(a a b b)c c a a c c b b c c数量积不满足结合律数量积不满足结合律即即:(:(a a b b)c c a a (b b c c)3 3、平面向量数量积的重要性质、平面向量数量积的重要性质a,ba,b 为非零向量，为非零向量，e e 为单位向量为单位向量(3)(3)当当 a a 与与 b b 同向时，同向时，a a b b=|=|a|b|;a|b|;当当 a a 与与 b b 反向时，反向时，a a b b=-|a|ba|b特别地：特别地：a a a=|a|a=|a|2 2或或
8、|a|=_|a|=_4 4coscos=二、平面向量之间关系二、平面向量之间关系向量平行向量平行(共线共线)条件的两种形式条件的两种形式:(1)(1)a a/b b(b b 0)0)a a b b;(2)(2)a a/b b(a a (x x1 1,y y1 1),),b b (x x2 2,y y2 2),),b b 0)0)x x1 1 y y2 2 x x2 2 y y1 1 0 0向量垂直条件的两种形式向量垂直条件的两种形式:5 5|a abb|a|b|a|b|1 1e ae a=a a e e=|=|a|a|coscos 2 2a a b b 的条件是的条件是 a a b b=0=0
9、(1)(1)a a b b a a b b 0 0(2)(2)a a b b a a b b x x1 1x x2 2 y y1 1y y2 2 0 03 3两个向量相等的条件是两个向量的坐标相等两个向量相等的条件是两个向量的坐标相等.那么那么 a a b b x x1 1 x x2 2且且 y y1 1 y y2 2三、平面向量的根本定理三、平面向量的根本定理如果如果e e 1 1,e2e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量量a a，则，则_例例 1.1.a a=(1,2),b b=(3,2),当k 为何值时,(
10、1)ka+ba+b与a a3b b垂直;(2)ka+ba+b与a a3b b 平行,平行时它们是同向还是反向?例2.向量 a a,b b 不共线(1)假设A B=a ab,b,B BC=2 a a8b,Cb,C B=(a+ba+b),求证A、B、D共线;(2)假设ka ab b 与a akb b 共线,求实数k 的值。练习练习 1.1.1.1.假设假设a a 0 0，b b 0 0，则，则a a b b 0 02.2.假设假设 a a b b 0 0，则，则 a a 0 0 或或 b b 0 03.3.假设假设 a a b b a a c c，且，且 a a 0 0，则，则b b c c练习练习 2 2.设设 AB=2(a+5b),BC=AB=2(a+5b),BC=-2a+8b,CD=3(a2a+8b,CD=3(a-b),b),求证：求证：A A、B B、D D 三点共线。三点共线。