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1、第五章第五章平面向量平面向量第一教时第一教时教材：教材：向量目的：目的：要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与已知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等。过程：过程：一、开场白：课本 P93（略）实例：老鼠由 A 向西北逃窜，猫在 B 处向东追去，问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。AB二、提出课题：平面向量1意义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量等注意：1数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。2从 19 世纪末到 20 世纪初，向量
2、就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。2向量的表示方法：aB1几何表示法：点射线（终点）有向线段具有一定方向的线段A(起点)有向线段的三要素：起点、方向、长度记作（注意起讫）2字母表示法：AB可表示为a（印刷时用黑体字）B北P95例用 1cm 表示 5n mail（海里）3模的概念：向量AB的大小长度称为向量的模。A记作：|AB|模是可以比较大小的4两个特殊的向量：1零向量长度（模）为 0 的向量，记作0。0的方向是任意的。注意0与 0 的区别2单位向量长度（模）为 1 个单位长度的向量叫做单位向量。例：温度有零上零下之分，“温度”是否向量？答：不是。因为零上零下也只是大小之分。例：
3、AB与BA是否同一向量？答：不是同一向量。例：有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。三、向量间的关系：1平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。记作：abc规定：0与任一向量平行2相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。abc记作：a=b规定：0=0任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。3共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上，所以平行向量也叫共线向量。COBAOA=aOB=bOC=c例：（P95）略变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（1111个个）变式二：是否存在与向量长
4、度相等、方向相反的向量？（存在存在）变式三：与向量共线的向量有哪些？（CB,DO,FE）四、小结：五、作业：P96练习习题 5.1第二教时第二教时教材：教材：向量的加法目的：目的：要求学生掌握向量加法的意义，并能运用三角形法则和平行四边形法则作几个向量的和向量。能表述向量加法的交换律和结合律，并运用它进行向量计算。过程：过程：六、复习：向量的定义以及有关概念强调：1向量是既有大小又有方向的量。长度相等、方向相同的向量相等。2正因为如此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置。七、提出课题：向量是否能进行运算？5某人从 A 到 B，再从
5、B 按原方向到 C，ABC则两次的位移和：AB BC AC6若上题改为从 A 到 B，再从 B 按反方向到 C，则两次的位移和：AB BC AC7某车从 A 到 B，再从 B 改变方向到 C，则两次的位移和：AB BC AC8船速为AB，水速为BC，则两速度和：AB BC AC提出课题：向量的加法AB三、1定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。注意：；两个向量的和仍旧是向量（简称和向量）2三角形法则：a aa aa aCb bb ba a+b ba ab ba a+b ba a+b bAACCABB强调：B1“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点2可以推广到 n
6、个向量连加34a 0 0 a aABCCABC不共线向量都可以采用这种法则三角形法则3例一、已知向量a、b，求作向量a+b作法：在平面内取一点，作OA aAB b则OB a ba ab bOb ba aa aAb b4加法的交换律和平行四边形法则B上题中b+a的结果与a+b是否相同验证结果相同从而得到：12向量加法的平行四边形法则向量加法的交换律：a+b=b+aD9向量加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c)a a+b+cb+cb+cb+ca a+b bc cCA证：如图：使AB a,BC b,CD c则(a+b)+c=AC CD ADa+(b+c)=AB BD AD(a+b)+c=a+(
7、b+c)从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。四、例二（P9899）略五、小结：1向量加法的几何法则2交换律和结合律3注意：|a+b|a|+|b|不一定成立，因为共线向量不然。六、作业：P99100练习P102习题 5.213第三教时第三教时教材：教材：向量的减法目的：目的：要求学生掌握向量减法的意义与几何运算，并清楚向量减法与加法的关系。过程：过程：八、复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则向量加法的运算定律：DC例：在四边形中，CB BA BA CD解：CB BA BA CB BA AD CD九、提出课题：向量的减法AB1用“相反向量”定义向量的减法1“相
8、反向量”的定义：与a a 长度相同、方向相反的向量。记作a a2规定：零向量的相反向量仍是零向量。(a a)=a a任一向量与它的相反向量的和是零向量。a a+(a a)=0 0如果 a a、b b 互为相反向量，则 a a=b b,b b=a a,a a+b b=0 03向量减法的定义：向量 a a 加上的 b b 相反向量，叫做 a a 与 b b 的差。即：a ab b=a a+(b b)求两个向量差的运算叫做向量的减法。2用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若 b b+x x=a a，则 x x 叫做 a a 与 b b 的差，记作 a ab b3求作差向量：已
9、知向量 a a、b b，求作向量(a ab b)+b b=a a+(b b)+b b=a a+0 0=a aa a作法：在平面内取一点 O，a aO作OA=a a,AB=b bb bBb ba ab b则BA=a a即 a a量。注意：1b bb b 可以表示为从向量 b b 的终点指向向量 a a 的终点的向b b。强调：差向量“箭头”指向被减数AB表示 a a2用“相反向量”定义法作差向量，a ab=ab=a+(b b)显然，此法作图较繁，但最后作图可统一。BBa aa a+(b b)b ba aOAb bb b4a ab bc cBa ab=ab=a+(b b)a ab ba aa ab
10、 ba ab bOBAABOBb ba ab ba aa ab bAb bOb bABBO十、例题：例一、（P101例三）已知向量 a a、b b、c c、d d，求作向量 a ab b、c cd d。解：在平面上取一点 O，作OA=a a,OB=b b,OC=c c,OD=d d,作BA,DC,则BA=a ab b,DC=c cAa ab bd dc cOCDCd dBD例二、平行四边形中，用表示向量，解：由平行四边形法则得：AC=a a+b,b,DB=ABAD=a ab bAB变式一：当 a a,b b 满足什么条件时，a a+b b 与 a ab b 垂直？（|a a|=|b b|）变式
11、二：当 a a,b b 满足什么条件时，|a a+b b|=|a ab b|？（a a,b b 互相垂直）变式三：a a+b b 与 a ab b 可能是相当向量吗？（不可能，对角线方向不同）十一、小结：向量减法的定义、作图法|十二、作业：P102练习P103习题 5.248第四教时第四教时教材：教材：向量、向量的加法、向量的减法综合练习教学与测试64、65、66 课目的：目的：通过练习要求学生明确掌握向量的概念、几何表示、共线向量的概念，掌握向量的加法与减法的意义与几何运算。过程：过程：十三、复习：1向量的概念：定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量2向量的加法与减
12、法：定义、三角形法则、平行四边形法则、运算定律十四、1处理教学与测试P135136第 64 课（略）2处理教学与测试P137138第 65 课例一、设 a a 表示“向东走 3km”，b b 表示“向北走 3km”，则 a a+b b 表示向东北走3 2km解：OB=OA+ABOB 3232 3 2(km)Ba a+b bb bOa aA例二、试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。证：由向量加法法则：DCAB=AO+OB,DC=DO+OC由已知：AO=OC,DO=OBABOAB=DC即 AB 与 CD 平行且相等ABCD 为平行四边形例三、在正六边形中，若OA=a a,OE=b
13、 b，试用向量 a a、b b 将OB、OC、OD表示出来。OPC解：设正六边形中心为 P则OB OP PB (OAOE)OAa a+b b+a aEFABOC OP PC a a+b+b+a+ba+b由对称性：OD=b+b+b+ab+a3处理教学与测试P139140第 66 课（略）十五、有时间可处理“备用题”：例一、化简AB DF CD BC FA解：AB DF CD BC FA=AB BC CD DF FA=AC CD DF FA=AD DF FA=AF FA=0 0例二、在静水中划船的速度是每分钟 40，水流的速度是每分钟 20，如果船从岸边出发，径直沿垂直与水流的航线到达对岸，那么船
14、行进的方向应该指向何处？DC解：如图：船航行的方向是与河岸垂直方向成 30夹角，下游上游即指向河的上游。30十六、作业：上述三课中的练习部分（选）AB第五教时第五教时教材：教材：实数与向量的积目的：目的：要求学生掌握实数与向量的积的定义、运算律，理解向量共线的充要条件。过程：过程：一、复习：向量的加法、减法的定义、运算法则。二、1 引入新课：已知非零向量a作出a+a+a和(a)+(a)+(a)aaONaaAMaaBQaaCPOC=OA AB BC=a+a+a=3aPN=PQQM MN=(a)+(a)+(a)=3a讨论：13a与a方向相同且|3a|=3|a|23a与a方向相反且|3a|=3|a|
15、2从而提出课题：实数与向量的积实数 与向量a的积，记作：a定义：实数 与向量a的积是一个向量，记作：a1|a|=|a|0 时a与a方向相同；时 两边向量的方向都与a同向当 0 且A1由作法知：ABA1B1有|OA1|OA|A1B1|AB|OAB=OA1B1|AB|=|A1B1|OABOA1B1|OB1|OB|AOB=A1OB1因此，O，B，B1在同一直线上，|OB1|=|OB|OB1与OB方向也相同(a+b)=a+b当 0(内分)(外分)0(-1)(外分)0(-1 0 内分 0，(a a)b b=|a a|b b|cos，(a ab b)=|a a|b b|cos，a a(b b)=|a a|
16、b b|cos，若 0，(a a)b b=|a a|b b|cos()=cos)|a a|b b|(=|a a|b b|cos，(a ab b)=|a a|b b|cos，a a(b b)=|a a|b b|cos()=cos)|a a|b b|(=|a a|b b|cos。12(a a+b b)c c=a ac+b bc c在平面内取一点 O，作OA=a a,AB=b b，OC=c c，Aa a+b b（即OB）在 c c 方向上的投影等于 a a、b b 在 c c 方向上的投影和，即：|a a+b b|cos=|a a|cos1+|b b|cos2Ob ba aBAc cBC|c c|a
17、 a+b b|cos=|c c|a a|cos1+|c c|b b|cos2c c(a a+b b)=c ca a+c cb b即：(a a+b b)c c=a ac c+b bc c13 例题：P118119例二、例三、例四（从略）二十五、应用例题：（教学与测试第 27 课 P156例二、例三）例一、已知 a a、b b 都是非零向量，且 a a+3b b 与 7a a5b b 垂直，a a4b b 与 7a a2b b 垂直，求 a a 与 b b 的夹角。解：由(a a+3b b)(7a a5b b)=0 7a a2+16a ab b15b b2=0(a a4b b)(7a a2b b)
18、=0 7a a230a ab b+8b b2=0两式相减：2a ab b=b b2代入或得：a a2=b b2设 a a、b b 的夹角为，则 cos例二、求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。解：如图：ABCD 中：AB DC，AD BC，AC=AB AD|AC|=|AB AD|AB AD 2AB AD而BD=AB AD|BD|=|AB AD|AB AD 2AB AD|AC2222a a b bb b21=60|a a|b b|2|b b|222222DCAB|2+|BD|2=2AB 2AD22=|AB|2|BC|2|DC|2|AD|2二十六、小结：运算律二十七、作业：P119
19、习题 5.67、8教学与测试P152练习第十三教时第十三教时教材：教材：平面向量的数量积的坐标表示目的：目的：要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示，掌握向量垂直的坐标表示的充要条件。过程：过程：二十八、复习：1平面向量的坐标表示及加、减、实数与向量的乘积的坐标表示2平面向量数量积的运算3两平面向量垂直的充要条件4两向量共线的坐标表示：二十九、课题：平面两向量数量积的坐标表示14 设 a a=(x1,y1)，b b=(x2,y2)，x 轴上单位向量 i i，y 轴上单位向量 j j，则：i i i i=1，j jj j=1，i ij j=j ji i=015 推导坐标公式：a a=x1i i+y
20、1j j,b b=x2i i+y2j ja ab b=(x1i i+y1j j)(x2i i+y2j j)=x1x2i i2+x1y1i ij j+x2y1i ij j+y1y2j j2=x1x2+y1y2从而获得公式：a ab b=x1x2+y1y2例一、设 a a=(5,7)，b b=(6,4)，求 a ab b解：a ab b=5(6)+(7)(4)=30+28=216 长度、角度、垂直的坐标表示1a a=(x,y)|a|a|2=x2+y2|a a|=x2 y22若 A=(x1,y1)，B=(x2,y2)，则AB=(x1 x2)2(y1 y2)23 cos=a ab b|a a|b b|
21、x x1x x2 y y1y y2x x1 y y122x x2 y y2224a ab b a ab b=0 即 x1x2+y1y2=0（注意与向量共线的坐标表示原则）17 例二、已知A(1,2)，B(2,3)，C(2,5)，求证：ABC 是直角三角形。证：AB=(21,32)=(1,1),AC=(21,52)=(3,3)ABAC=1(3)+13=0ABACABC 是直角三角形三、补充例题：处理教学与测试P153第 73 课例三、已知 a a=(3,1)，b b=(1,2)，求满足 x x a a=9 与 x x b b=4 的向量 x x。解：设 x x=(t,s)，由 x x a a=9
22、 3t s=9t=2由 x x a a=9 3t s=9s=3x x=(2,3)例四、如图，以原点和 A(5,2)为顶点作等腰直角OAB，使B=90，求点 B 和向量AB的坐标。解：设 B 点坐标(x,y)，则OB=(x,y)，AB=(x5,y2)OOBABx(x5)+y(y2)=0 即：x2+y25x 2y=0又|OB|=|AB|x2+y2=(x5)2+(y2)2即：10 x+4y=2973x x x y 5x 2y 02212或由3710 x 4y 29y1 y22222BA733 7377 3B 点坐标(,)或(,)；AB=(,)或(,)222 2222 2例五、在ABC 中，AB=(2
23、,3)，AC=(1,k)，且ABC 的一个内角为直角，求 k 值。解：当 A=90时，ABAC=0，21+3k=0k=32当 B=90时，ABBC=0，BC=ACAB=(12,k3)=(1,k3)2(1)+3(k3)=0k=1133 132当 C=90时，ACBC=0，1+k(k3)=0k=四、小结：两向量数量积的坐标表示长度、夹角、垂直的坐标表示五、作业：P121练习及习题 5.7教学与测试P1545、6、7、8，思考题第十四教时第十四教时教材：教材：平移目的：目的：要求学生理解“平移”的概念和平移的几何意义，并掌握平移公式，能运用公式解决有关具体问题。过程：过程：三十、平移的概念：点的位置
24、、图形的位置改变，而形状、大小没有改变，从而导致函数的解析式也随着改变。这个过程称做图形的平移。（作图、讲解）三十一、平移公式的推导：18 设 P(x,y)是图形 F 上的任意一点，它在平移后的a aF图象 F上的对应点为 P(x,y)PPa a可以看出一个平移实质上是一个向量。F19 设PP=(h,k)，即：OP OP PPOa ax x h(x,y)=(x,y)+(h,k)平移公式y y k20 注意：1它反映了平移后的新坐标与原坐标间的关系2知二求一3这个公式是坐标系不动，点 P(x,y)按向量 a a=(h,k)平移到点P(x,y)。另一种平移是：点不动，把坐标系平移向量a a，x x
25、 h即：。这两种变换使点在坐标系中的相对位置是一y y k样的，这两个公式作用是一致的。三十二、应用：例一、（P121例一）1把点 A(2,1)按 a a=(3,2)平移，求对应点 A的坐标(x,y)。2点 M(8,10)按 a a 平移后对应点 M的坐标为(7,4)，求 a a。x 23 1解：1由平移公式：即对应点 A的坐标为(1,3)y1 2 37 8 hh 152由平移公式：即 a a 的坐标为(4 10 kk 1415,14)例二、将函数 y=2x 的图象 l 按 a a=(0,3)平移到 l，求 l的函数解析式。解：设 P(x,y)为 l 上任一点，它在 l上的对应点为 P(x,y
26、)x x 0 x x由平移公式：y y 3y y3a aP代入 y=2x 得：y3=2x即：y=2x+3按习惯，将 x、y写成 x、y 得 l的解析式：y=2x+3O（实际上是图象向上平移了 3 个单位）P例三、已知抛物线 y=x2+4x+7，1求抛物线顶点坐标。2求将这条抛物线平移到顶点与原点重合时的函数解析式。解：1设抛物线 y=x2+4x+7 的顶点 O坐标为(h,k)则 h=2,k=3顶点 O坐标为(2,3)3按题设，这种平移是使点 O(2,3)移到 O(0,0)，m 0(2)2OO设=(m,n)则n 03 3设 P(x,y)是抛物线 y=x2+4x+7 上任一点，对应点 P为(x,y
27、)x x 2x x2则代入 y=x2+4x+7 得：y=x2y y 3y y3即：y=x2三十三、小结：平移公式、应用三十四、作业：P123练习P124习题 5.8第十五教时第十五教时教材：教材：平面向量的数量积平移的综合练习课目的：目的：使学生对平面向量数量积的意义、运算有更深的理解，并能较熟练地处理有关长度、角度、垂直的问题。过程：过程：三十五、复习：1平面向量数量积的定义、运算、运算律2平面向量数量积的坐标表示，有关长度、角度、垂直的处理方法3平移的有关概念、公式三十六、例题例一、a a、b b 均为非零向量，则|a a+b b|=|a ab b|是 的（C）A充分不必要条件B必要不充分
28、条件C充要条件D既不充分也不必要条件解：若|a a+b b|=|a ab b|a a+b b|2=|a ab b|2|a a|2+2a ab b+|b b|2=|a a|2 2a ab b+|b|b|2 a ab b=0 a ab b例二、向量 a a 与 b b 夹角为，|a a|=2，|b b|=1，求|a a+b b|a ab b|的值。3解：|a a+b b|2=|a a|2+2a ab b+|b b|2=4+221cos+1=73|a a+b b|=7,同理：|a ab b|2=3,|a ab b|=3|a a+b b|a ab b|=21例三、ABCD 中，AB=a a，BC=b
29、b，CD=c c，DA=d d，且 a ab b=b bc c=c cd d=d da a，问 ABCD 是怎样的四边形？解：由题设：|a a|b b|cosB=|b b|c c|cosC=|c c|d d|cosD=|d d|a a|cosA|a a|=|c c|,|b b|=|d d|cosA=cosB=cosC=cosD=0ABCD 是矩形例四、如图ABC 中，AB=c c，BC=a a，CA=b b，b bCa a则下列推导不正确的是（D）A若 a a b b 0，则ABC 为钝角三角形。c cBAB若 a a b b=0，则ABC 为直角三角形。C若 a a b b=b bc c，则
30、ABC 为等腰三角形。D若 c c(a a+b b+c c)=0，则ABC 为正三角形。解：Aa ab b=|a a|b b|cos 0，则 cos 0 11851185或 66例六、i i、j j 是平面直角坐标系内 x 轴、y 轴正方向上的两个单位向量，且AB=4i i+2j j，AC=3i i+4j j，证明：ABC 是直角三角形，并求它的面积。解：AB=(4,2),AC=(3,4),则BC=(34,42)=(1,2),BA=(4,2),BABC=(1)(4)+(2)2=0BABC即ABC 是直角三角形|AB|=42 22 2 5,|BC|=(1)2(2)25,且B=90,12 55 5
31、2例七、用向量方法证明：菱形对角线互相垂直。SABC=证：设AB=DC=a a,AD=BC=b bABCD 为菱形|a a|=|b b|Aa aDCb bBACBD=(b b+a a)(b b a a)=b b2 a a2=|b b|2|a a|2=0ACBD例八、已知 a a、b b 都是非零向量，且 a a+3b b 与 7a a 5b b 垂直，a a 4b b 与 7a a 2b b 垂直，求 a a 与 b b 的夹角。解：由(a a+3b b)(7a a 5b b)=0 7a a2+16a ab b 15b b2=0(a a 4b b)(7a a 2b b)=0 7a a2 30a
32、 ab b+8b b2=0两式相减：2a ab b=b b2代入或得：a a2=b b2a a b bb b21设 a a、b b 的夹角为，则 cos=60 2|a a|b b|2|b b|2三十七、作业：P150复习参考五A 组1926B 组16第十六教时第十六教时教材：教材：续第十五教时教学与测试第 74、75 课目的：目的：同第十五教时过程：过程：三十八、处理教学与测试第 74、75 课（略）三十九、补充例题（视教学情况选用）：21 a a、b b 为非零向量，当 a a+tb b(tR)的模取最小值时，1求 t 的值2求证：b b 与 a a+tb b 垂直解：1|a a+tb b|
33、2=|a a|2+t2|b b|2+2t|a a|b b|当 t=2a ab ba ab b 时,|a a+tb b|最小2|b b|2|b b|2b b(a a+tb b)=a ab b|b b|2a ab b=0b b 与 a a+tb b 垂直|b b|AEFHC22 如图，AD、BE、CF 是ABC 的三条高，求证：AD、BE、CF 相交于一点。证：设 BE、CF 交于一点 H，AB=a a,AC=b b,AH=h h,则BH=h hBHa a,CH=h hABBb b,BC=b ba aDAC,CH(h ha a)b b 0(h ha a)b b (h hb b)a a h h(b
34、ba a)0(h ha a)a a 0BCAH又点 D 在 AH 的延长线上，AD、BE、CF 相交于一点23已知 O 为ABC 所在平面内一点，且满足|OA|+|BC|=|OB|+|CA|=|OC|+|AB|，求证：ABOCBOC222222A证：设OA=a a,OB=b b,OC=c c,则BC=c cb b,CA=a ac c,AB=b ba a由题设：OA2+BC2=OB2+CA2=OC2+AB2，化简：a a2+(c cb b)2=b b2+(a a得：c cb b=a ac c=b ba a从而ABOC=(b bABa a)c c=b bc cc c)2=c c2+(b ba ac
35、 c=0OBa a)2OC同理：BCOA,CA四十、作业：教学与测试P15649P15847第十七教时第十七教时教材：教材：正弦定理目的：目的：要求学生掌握正弦定理，并能应用解斜三角形，解决实际问题。过程：过程：一、引言：在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角。那么斜三角形怎么办？提出课题：正弦定理、余弦定理二、1特殊情况：直角三角形中的正弦定理：sinA=sinB=sinC=1即：c=abcabcc=c=sin Asin BsinCsin Asin BsinCacbcAbCcBa2能否推广到斜三角形？证明一（传统证法）在任意斜ABC 当
36、中：SABC=absin C acsin B bcsin A1abc两边同除以abc即得：=2121212sin Asin BsinCB3用向量证明：BjACjAC证二：过 A 作单位向量j垂直于ACAC+CB=AB两边同乘以单位向量jj(AC+CB)=jAB则：jAC+jCB=jAB|j|AC|cos90+|j|CB|cos(90ac=sin AsinCcbabc=sinCsin Bsin Asin BsinCC)=|j|AB|cos(90A)asinC csin A同理：若过 C 作j垂直于CB得：当ABC 为钝角三角形时，设ACA90过 A 作单位向量j垂直于向量4突出几点：1弦比相等，
37、即：正弦定理的叙述：在一个三角形中。各边和它所对角的正abc=它适合于任何三角形。sin Asin BsinC23可以证明abc=2R（R 为ABC 外接圆半径）sin Asin BsinC每个等式可视为一个方程：知三求一三、正弦定理的应用从理论上正弦定理可解决两类问题：1两角和任意一边，求其它两边和一角；2两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。例一、在ABC 中，已知c 10A=45字）解略见 P128注意强调“对”例二、在ABC 中，已知a 20b=28A=40（保留两个有效数字）解略见 P129注意由ab=求出 sinB=0.8999B 角有两解sin Asin BC
38、=30求 b（保留两个有效数求 B(精确到 1)和 c例三、在ABC 中，已知a 60b=50A=38（保留两个有效数字）求 B(精确到 1)和 c解略见 P129注意由 ba,得 BAB 必为锐角只有一解与例二比较四、小结：正弦定理，两种应用已知两边和其中一边对角解斜三角形有两解或一解（见图示）bCaAbB2aCaB1AbCaCbaBbsin A a bAABca bs in ABa ba b一 解两 解一解五、作业：P131 练习 1、2P1321、2、3第十八教时第十八教时教材：教材：余弦定理目的：目的：要求学生掌握余弦定理及其证明，并能应用余弦定理解斜三角形。过程：过程：一、复习正弦定
39、理及正弦定理能够解决的两类问题。提出问题：1已知两边和它们的夹角能否解三角形？2在 RtABC 中(若 C=90)有：c2 a2b2在Cba斜三角形中一边的平方与其余两边平方和及其夹角还有什么关系呢？二、提出课题：余弦定理1余弦定理的向量证明：设ABC 三边长分别为 a,b,cAC=AB+BCACAC=(AB+BC)(AB+BC)=AB2+2ABBC+BC2=|AB|2+2|AB|BC|cos(180-B)+|BC|2=c2 2accosB a2即：b2 a2 c2 2accosB同理可得：a2 b2 c2 2bccos Ac2 a2b2 2abcosC2语言叙述：三角形任何一边的平方等于其它
40、两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。3强调几个问题：1234当夹角为 90熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等时，即三角形为直角三角形时即为勾股定理（特例）a2 c2b2cosB 2ac知三求一b2 c2 a2变 形：cos A 2bca2b2c2cosC 2ac三、余弦定理的应用能解决的问题：1已知三边求角2已知三边和它们的夹角求第三边例一、(P130 例 4)在ABC 中，已知 a=7,b=10,c=6求 A,B,C（精确到期1解略例二、(P131 例 5)在ABC 中，已知 a=2.730,b=3.696,C=82角形（边长保留四个有效数字，角度精确到期 1）解略
41、例三、设a=(x1,y1)b=(x2,y2)a与b的夹角为（0），求证：）28解这个三x1x2+y1y2=|a|b|cos证：如图：设a,b起点在原点，终点为 A，B则 A=(x1,y1)B=(x2,y2)AB=baBA在ABC 中，由余弦定理222|ba|=|a|+|b|2|a|b|cos|bbOaa|2=|AB|2=|(x2-x1,y2-y1)|2=(x2-x1)2+(y2-y1)22222|a|=x1+y1|b|=x22+y22(x2-x1)+(y2-y1)22=x12+y12+x22+y222|a|b|cosx1x2+y1y2=|a|b|cosb即有a=x1x2+y1y2=|a|b|c
42、os四、小结：余弦定理及其应用五、作业：P131 练习P132 习题 5.9余下部分第十九教时第十九教时教材：教材：正弦定理和余弦定理的复习教学与测试76、77 课目的：目的：通过复习、小结要求学生对两个定理的掌握更加牢固，应用更自如。过程：过程：一、复习正弦定理、余弦定理及解斜三角形二、例一证明在ABC 中圆半径证略见 P159注意：1这是正弦定理的又一种证法(现在共用三种方法证明)2.正弦定理的三种表示方法(P159)例二在任一ABC中求证：abc=2R，其中 R 是三角形外接sin Asin BsinCa(sin B sinC)b(sinC sin A)c(sin Asin B)0证：左
43、边=2Rsin A(sin B sinC)2Rsin B(sinC sin A)2RsinC(sin Asin B)=2Rsin Asin B sin AsinC sin BsinC sin Bsin AsinCsin AsinCsin B=0=右边例三 在ABC 中，已知a 3，b 2，B=45求 A、C 及casinB3sin453解一：由正弦定理得：sin A b22B=45当 A=6090即b0090；a ab b=0=90即 a ab b；a ab b0901803性质 154运算律五十、例题：44 已知|a a|=5，|b b|=8，a a 与 b b 的夹角为 60，求|a a+
44、b b|1解：a ab b=|a a|b b|cos60=58=202|a a+b b|2=(a a+b b)2=|a a|2+|b b|2+2a ab b=129|a a+b b|=12945 求证：|a a+b b|a a|+|b b|证：|a a+b b|2=(a a+b b)2=|a a|2+|b b|2+2a ab b=|a a|2+|b b|2+2|a a|b b|cos222|a a|+|b b|+2|a a|b b|=(|a a|+|b b|)即：|a a+b b|a a|+|b b|46 设非零向量 a a、b b、c c、d d，满足 d d=(a ac c)b b(a a
45、b b)c c，求证：a ad d证：内积 a ac c 与 a ab b 均为实数，a ad d=a a(a ac c)b b(a ab b)c c=a a(a ac c)b ba a(a ab b)c c=(a ab b)(a ac c)(a ac c)(a ab b)=0a ad d47 已知非零向量 a a、b b，满足 a ab b，求证：b ba a 垂直于 a a+b b 的充要条件是|a a|=|b b|证：由题设：b ba a 与 a a+b b 均为非零向量必要性：设 b ba a 垂直于 a a+b b，则(b ba a)(a a+b b)=0又：(b ba a)(a a
46、+b b)=b b2a a2=|b b|2|a a|2|b b|2|a a|2=0即：|a a|=|b b|充分性：设|a a|=|b b|，则(b ba a)(a a+b b)=b b2a a2=|b b|2|a a|2=0即：(b ba a)(a a+b b)=0(b ba a)(a a+b b)5已知 a a、b b 都是非零向量，且 a a+3b b 与 7a a 5b b 垂直，a a 4b b 与 7a a 2b b 垂直，求 a a 与 b b 的夹角。解：由(a a+3b b)(7a a 5b b)=0 7a a2+16a ab b 15b b2=0(a a 4b b)(7a
47、a 2b b)=0 7a a2 30a ab b+8b b2=0两式相减：2a ab b=b b2代入或得：a a2=b b2a a b bb b21设 a a、b b 的夹角为，则 cos=2|a a|b b|2|b b|2=606用向量方法证明：菱形对角线互相垂直。证：设AB=DC=a a,AD=BC=b bABCD 为菱形|a a|=|b b|222DAa a2Cb bBACBD=(b b+a a)(b b a a)=b b a a =|b b|a a|=0ACBD7如图，AD、BE、CF 是ABC 的三条高，求证：AD、BE、CF 相交于一点。证：设 BE、CF 交于一点 H，AB=a
48、 a,AC=b b,AH=h h,AE则BH=h hBHa a,CH=h hABb b,BC=b bBFa aHCAC,CHD(h ha a)b b 0(h ha a)b b (h hb b)a a h h(b ba a)0(h ha a)a a 0BCAH又点 D 在 AH 的延长线上，AD、BE、CF 相交于一点五十一、作业：导学创新5.6第二十六教时第二十六教时教材：教材：复习五平面向量的数量积的坐标表示、平移目的：目的：让学生对平面向量的数量积的理解更深刻，尤其在两个非零向量垂直与平行的充要条件的平行上更熟练。过程：过程：五十二、复习：设向量 a a=(x1,y1)，b b=(x2,y
49、2)，1数量积的坐标表示：a ab b=x1x2+y1y22关于距离公式3a ab ba ab b存在唯一R x1x2+y1y2=0a ab b=0 x1x2+y1y2=0使 a a=b b 成立五十三、例题：48 已知|a a|=3，b b=(1,2)，且 a ab b，求 a a 的坐标。解：设 a a=(x,y)|a a|=3x2 y2 3又：a ab b1yx 解之：y 2x=0 3 53 5x 5或56 5y 6 555即：a a=(3 5 6 53 56 5,)或 a a=()555549 设 p p=(2,7)，q q=(x,3)，求 x 的取值范围使得：p p 与 q q 的夹
50、角为钝角p p 与 q q 的夹角为锐角。解：p p 与 q q 的夹角为钝角,p pq q02x2102x210Dp p 与 q q 的夹角为锐角(x 21即 x2C21,+)250 求证：菱形的对角线互相垂直。证：设 B(b1,0)，D(d1,d2)，则AB=(b1,0),AD=(d1,d2)O(A)B于是AC=AB+AD=(b1,0)+(d1,d2)=(b1+d1,d2)BD=ADAB=(d1b1,d2)ACBD=(b1+d1)(d1=|AD|2ACBDb1)+d2d2=(d12+d22)b12b12=b12DFb12=|AB|2b12=01C51 如图：ABCD 是正方形，M 是 BC