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1、高一数学竞赛试题及答案时间：时间：2016/3/18 2016/3/18注意：本试卷均为解答题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.总分 150 分,考试时间 120 分钟.1.（本小题满分（本小题满分 1515 分）分）设集合A x x23x2 0,B x x22a1xa25 0,aR，1）若AB 2求a的值；2）若AB A,求a的取值范围；3）若U R,ACUB A,求a的取值范围.2.2.（本小题满分（本小题满分 1515 分）分）设M x|f(x)x,N x|f f(x)x,（1）求证：M N;（2）f(x)为单调函数时，是否有M N？请说明理由.3 3（本小题满分（本小题满分 1
2、515 分）分）已知函数f(x)2(sin4x cos4x)m(sin x cos x)4在x0,2有最大值 5，求实数m的值4 4（本小题满分（本小题满分 1515 分）分）已知函数f(x)在 R 上满足f(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)且在闭区间0,7上，只有f(1)f(3)0，(1)试判断函数yf(x)的奇偶性；(2)试求方程f(x)0 在闭区间2 011,2 011上根的个数，并证明你的结论5 5（本小题满分（本小题满分 1515 分）分）已知二次函数已知二次函数f(x)ax2bx 1(a,b R,a 0)，设方程，设方程f(x)x的两个实数根为的两个实数根为x1和和x2.（1
3、 1）如果）如果x1 2 x2 4，设函数，设函数f(x)的对称轴为的对称轴为x x0，求证：，求证：x0 1；（2 2）如果）如果x1 2，x2 x1 2，求，求b的取值范围的取值范围.6 6（本小题满分（本小题满分 1515 分）分）如图，直三棱柱ABC A1B1C1中，AC BC 12AA1，D是棱AA1的中点，DC1 BD。C1B1第 1 页A1（1）证明：DC1 BC；（2）求二面角A1 BDC1的大小。7 7（本小题满分（本小题满分 1515 分）分）在平面直角坐标系xOy中，设二次函数 f(x)x22xb(xR)的图象及两坐标轴有三个交点经过三点的圆记为C.(1)求实数b的取值范
4、围；(2)求圆C的方程；(3)问圆C是否经过定点(其坐标及b无关)？请证明你的结论8 8（本小题满分（本小题满分 2020 分）分）设 f（x）是定义在 R 上的偶函数，其图象关于直线 x=1 对称，对任意 x1,x20，1都有f(x1 x2)f(x1)f(x2).且 f（1）=a02（）证明（）记anf(x)是周期函数；f(2n 1),求lim(lnan).n2n9 9（本小题满分（本小题满分 2020 分）分）设（1）若f(x)是 R 上的奇函数，且当x 0时，f(x)lg(x2 ax 10)，aR.f(1)lg5，求f(x)的解析式；（2）若a（3）若 0，不等式f(k 2x)f(4x
5、k 1)0恒成立，求实数k的取值范围；f(x)的值域为R，求a的取值范围.高一数学竞赛试题参考答案高一数学竞赛试题参考答案1、解：A 1,2（1）AB 22B2即，2 2（a 1)2 (a25)0，解得a 3或a 1当a 3时，B x|x 4x 4 0 22当a 1时，B x|x 4 0 2,22综上a（2）1,3AB A当B 时，则该一元二次方程无解，即0，2a 12 4(a25)0，即a 3当B 时，则该一元二次方程有解，即0，即a 31.当a 3时，B 2第 2 页 3时，该一元二次方程有两个不同实数根 1 和 251 2 2(a 1)，即a 212（3）U R,A2.当a a25，即a
6、 7（舍）,综上a,3CUB AA B 当0 时，即a 3，所以只需1B且2B将 1 代入方程中得a所以a 13;将 2 代入方程中得a 3或a 1 3、a 1和a 13综上，a的取值范围为2、证明：证明：（1 1）若）若M，显然有，显然有M N;3、解：令tf(x)2(sin2x cos2x)2 4sin2xcos2x m(sin x cos x)4 sin x cosx 2sin(x 4)1,2，则2sin xcosx令u t21，从而f(x)2(t21)2 mt4(m 1)t4 2t21 t21,2，由题意知g(u)(m 1)u2 2u 1在u1,2有最大值 5.当m1 0时，g(u)2
7、u 1在u 2时有最大值 5，故m 1符合条件；g(2)22 1 5，矛盾！当m1 0时，g(u)max当m1 0时，g(u)2u 1 5，矛盾！综上所述，所求的实数m 14、解解(1)(1)若若y yf f(x x)为偶函数，为偶函数，则则f f(x x)f f(2(2(x x2)2)f f(2(2(x x2)2)f f(4(4x x)f f(x x)，f f(7)(7)f f(3)(3)0 0，这及，这及f f(x x)在闭区间在闭区间0,70,7上，上，只有只有f f(1)(1)f f(3)(3)0 0 矛盾；因此矛盾；因此f f(x x)不是偶函数不是偶函数若若y yf f(x x)为
8、奇函数，则为奇函数，则f f(0)(0)f f(0)0)f f(0)(0)，f f(0)(0)0 0，这些，这些f f(x x)在闭区间在闭区间0,70,7上，上，只有只有f f(1)(1)f f(3)(3)0 0 矛盾；因此矛盾；因此f f(x x)不是奇函数不是奇函数综上可知：函数综上可知：函数f f(x x)既不是奇函数也不是偶函数既不是奇函数也不是偶函数(2)(2)f f(x x)f f22(x x2)2)f f22(x x2)2)f f(4(4x x)，f f(x x)f f77(x x7)7)f f(7(7(x x7)7)f f(14(14x x)，第 3 页f f(14(14x
9、x)f f(4(4x x)，即，即f f1010(x x4)4)f f(4(4x x)f f(x x10)10)f f(x x)，即函数，即函数f f(x x)的周期为的周期为 10.10.又又f f(1)(1)f f(3)(3)0 0，f f(1)(1)f f(1(11010n n)0(0(n nZ)，Z)，f f(3)(3)f f(3(31010n n)0(0(n nZ)，Z)，即即x x1 11010n n和和x x3 31010n n(n nZ)均是方程Z)均是方程f f(x x)0 0 的根的根由2 0111由2 01111010n n2 0112 011 及及n nZ Z 可得可得
10、n n0 0，1，2，3，201，共，1，2，3，201，共 403403 个；个；由2 0113由2 01131010n n2 0112 011 及及n nZZ 可得可得n n0 0，1，2，3，200，1，2，3，200，201201，共，共 402402个；所以方程个；所以方程f f(x x)0 0 在闭区间在闭区间 2 011,2 0112 011,2 011上的根共有上的根共有 805805 个个5、解：设解：设g(x)f(x)x ax2(b 1)x 1，则，则g(x)0的二根为的二根为x1和和x2.g(2)04a 2b1 0（1 1）由）由a 0及及x1 2 x2 4，可得，可得，
11、即，即，即，即g(4)016a 4b3 0b1，所以，所以，x0 1;2ab 1242（2 2）由）由(x1 x2)(),可得可得2a 1(b 1)21.aa1又又x1x2 0，所以，所以x1,x2同号同号.a0 x1 2 x2x2 2 x1 0 x1 2，x2 x1 2等价于等价于或或,222a 1(b 1)12a 1(b 1)1两式相加得两式相加得g(2)0g(2)0即即g(0)0或或g(0)0222a 1(b 1)12a 1(b 1)117或或b.446、【解析】（1）在RtDAC中，AD AC解之得解之得b 得：ADC 45 45 CDC1 90同理：A1DC1得：DC1（2）DC1
12、DC,DC1 BD DC1面BCD DC1 BC BC,CC1 BC BC 面ACC1A1 BC AC取A1B1的中点O，过点O作OH BD于点H，连接C1O,C1HAC1B1C1面A11 B1C1 C1O A1B1，面A1BD C1O 面A1BD BD C1H BD得：点H及点D重合第 4 页OH且C1DO是二面角A1 BD C1的平面角2a，C1D 2a 2C1OC1DO302设AC a，则C1O 既二面角A12 2 BDC1的大小为307、【解答】【解答】(1)(1)令令x x0 0，得抛物线及，得抛物线及y y轴交点是轴交点是(0(0，b b)；令令f f(x x)x x2 2x xb
13、 b0 0，由题意，由题意b b0 0 且且0 0，解得，解得b b1 1 且且b b0.0.(2)(2)设所求圆的一般方程为设所求圆的一般方程为x xy yDxDxEyEyF F0.0.2 22 2令令y y0 0 得得x xDxDxF F0 0，这及，这及x x2 2x xb b0 0 是同一个方程，是同一个方程，2 22 2故故D D2 2，F Fb b.令令x x0 0 得得y yEyEyb b0 0，此方程有一个根为，此方程有一个根为b b，2 2代入得出代入得出E Eb b1.1.所以圆所以圆C C的方程为的方程为x xy y2 2x x(b b1)1)y yb b0.0.2 22
14、 2(3)(3)圆圆C C必过定点，证明如下：必过定点，证明如下：假设圆假设圆C C过定点过定点(x x0 0，y y0 0)()(x x0 0，y y0 0不依赖于不依赖于b b)，将该点的坐标代入圆，将该点的坐标代入圆C C的方程，的方程，并变形为并变形为x x0 0y y0 02 2x x0 0y y0 0b b(1(1y y0 0)0.(*)0.(*)2 22 2为使为使(*)(*)式对所有满足式对所有满足b b1(1(b b0)0)的的b b都成立，必须有都成立，必须有 1 1y y0 00 0，结合，结合(*)(*)式得式得x x0 0y y0 02 2x x0 0y y0 00
15、0，x x0 00 0，解得解得 y y0 01 12 22 2 x x0 02 2，或或 y y0 01 1，经检验知，点经检验知，点(0,1)(0,1)，(2,1)2,1)均在圆均在圆C C上，因此，圆上，因此，圆C C过定点过定点 9、解：（1）因为f(1)lg5,则f(x)lg(11a)lg5,所以a 6(x)f(x)lg(x26x10),又f(0)0,故所以当x 0时，f (2)若a 0，则f(x)在R上单调递增，故f(k 2x)f(4xk 1)0等价于（1）0时，解得：2 2 2 k 2 2 2；k 0（2）0时，2，解的k 0g(0)0综上，k（3）设h(x)2 2 2 x2ax 10,由题意知，若函数f(x)的值域为 R，只需第 5 页