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1、12018 年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5 月 13 日上午 8：3011：00）2018 年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5 月 13 日上午 8：3011：00）一、选择题（每小题 6 分，共 36 分）一、选择题（每小题 6 分，共 36 分）1已知集合1327xAx，22log ()1Bxxx，则AB （）A(1 2)，B1 3 ，C0 2，D(1)(0 2) ，【答案】【答案】A【解答】【解答】由1327x，得03x。因此，0 3A ，。由22log ()1xx，得2202xxxx，解得，10 x 或12x。因此，( 1 0)(1 2)
2、B ，。所以，AB (1 2)，。2若直线l与两直线1l ：70 xy，2l：133110 xy分别交于A，B两点，且线段AB中点为(1 2)P，则直线l的斜率为（）A2B3C2D3【答案】【答案】B【解答】【解答】由点A在直线1l ：70 xy上，设(7)A t t ，。由AB中点为(1 2)P，知(211)Btt，。点B在直线2l：133110 xy上，13(2)3(11) 110tt。解得，3t 。(34)A，2( 4)31 3lPAkk 。23如图，在正方体1111ABCDABC D中，M、E分别为棱BC、1BB 的中点，N为正方形11B BCC的中心。l为1AMN平面与1D BE平面
3、的交线，则直线l与正方体ABCD底面所成角的大小为（）A30B45C60D90【答案】【答案】D【解答】【解答】如图，由正方体的性质与条件，易得MNABCD 面，BEABCD 面。1AMNABCD面面，1D BEABCD面面。lABCD 面，l与ABCD面所成角的大小为90。4如图，在三棱锥SABC中，6SASBABBCCA，且ASBABC侧面底面，则三棱锥SABC外接球的表面积为（）A60B56C52D48【答案】【答案】 A【解答】【解答】如图，设D为AB中点，1O为ABC的外心，2O为SAB的外心，O为三棱锥SABC外接球的球心，球O的半径为R。由6SASBABBCCA，知SAB、ABC
4、是边长为 6 的正三角形。SDAB，CDAB，3 3CDSD，1O在CD上，2O 在SD上，且213O DO D，12 3CO 。ASBABC侧面底面，1OOABC 面，SDABC 面，21O DO D，1SDOO。四边形21O DOO为正方形，123OOO D。22113 1215ROCOOOC。三棱锥SABC外接球的表面积为2460R。（第（第 4 题图）题图）（第（第 4 题答题图）题答题图）（第（第 3 题图）题图）35已知定义在R上的函数( )f x满足：2221 0( )20 1xxf xxx ， ， 。且(2)( )f xf x，52( )2xg xx，则方程( )( )f xg
5、 x在区间3 7 ，上的所有实根之和为（）A14B12C11D7【答案】【答案】C【解答】【解答】 如图， 作出函数( )yf x与( )yg x的图像。由图像可知，两函数的图像在区间3 7 ，上有 5 个不同的交点。设它们的横坐标从小到大依次为1x ，2x，3x，4x，5x。由于函数( )yf x与( )yg x的图像均关于点(22)，对称。所以，154xx，244xx，33x 。所以，方程( )( )f xg x在区间3 7 ，上的所有实根之和1234511xxxxx。（第（第 5 题答题图）题答题图）46已知点( 2 0)A ，(2 0)B，(0 2)C，直线ykxb（0k ）交线段CA
6、于点D，交线段CB于点E。若CDE的面积为2，则b的取值范围为（）A( 21 1) ，B2223，C3224，D2213，【答案】【答案】B【解答】【解答】如图，设CDm，CEn。由 条 件 知 ，ABC为 等 腰 直 角 三 角 形 ，2 2CACB,CACB。由CDE的面积为2，得122mn ，4mn 。由0k ，得mn。因此，22 2m。设DE交y轴于点F，点F到CA、CB的距离相等，设为t。则11222CDESmtnt，4tmn。4 22222bOFCFtmn。由4mn ，22 2m，知4mnmm的取值范围为4 3 2，。4 22bmn的取值范围为2223，。（第（第 6 题答题图）题
7、答题图）5二、填空题（每小题 6 分，共 36 分）二、填空题（每小题 6 分，共 36 分）7函数2331( )log ()log(3)3f xxx 的最小值为。【答案】【答案】258【解答】【解答】设3log xt，则311log ()132xt ，22333log (3)log(3)2(12 )log3xxt。221325( )( )( 1) 2(12 )2322()248f xg tttttt 。当34t ，33log4x ，343x 时，( )f x取最小值258。8如图，在四棱锥PABCD中，PAABCD 平面，底面ABCD为正方形，PAAB。E、F分别为PD、BC的中点，则二面角
8、EFDA的正切值为。【答案】【答案】52【解答】【解答】如图，作EHAD于H，连HF。由PAABCD 面，知PAAD，EHPA，EHABCD 面。作HGDF于G，连EG，则EGFD，EGH为二面角EFDA的平面角。ABCD为正方形，E、F分别为PD、BC的中点，H为AD中点，FHAD。设2PAAB，则112EHPA，2FH ，1HD ，25FHHDHGFD。15tan225EHEGHHG。二面角EFDA的正切值为52。（第（第 8 题图）题图）（第（第 8 题答题图）题答题图）69若函数22( )24f xxaxa在区间22aa，（0a ）上的值域为4 0 ，则实数a的取值范围为。【答案】【答
9、案】1 2，【解答】【解答】 222( )24()4f xxaxaxa，( )4f a ，(2)0f a，( )f x在区间22aa，上的值域为4 0 ，( )f x的图像为开口向上的抛物线。22222aaaaaa，解得10a 或12a。结合0a ，得12a。a的取值范围为1 2，。10已知集合1 3 5 7 9A ，集合aBaA bAabb， 且，则集合B中元素的个数为。【答案】【答案】18【解答】【解答】依题意，a有 5 种取法；当a取定后，b有 4 种取法；故，得到5 420种取法。由于1339，3913。因此，共可得到20218个不同的值。集合B中元素的个数为18。711使16178n
10、n为有理数的所有正整数n的和为。【答案】【答案】205【解答】【解答】设21617( )8nbna（a，b为互质的正整数） ，则222216178naanbb，222222281711181616baanabab。由a，b为互质，知2a，2b互质，于是，2a与2216ab互质，且22160ab。22(16) 111ab，且2216(4)(4)5ababab。又1111 1113 37 ，2216(4)(4)37ababab，或2216(4)(4)111ababab。41437abab，或414111abab，或43437abab。解得，19418ab（舍去） ，或1455ab，或517ab。1
11、455ab时，2111111 19688188(4)(4)1 111anabab（此时，1617302555819614nn） 。517ab时，2111111 258817(4)(4)3 37anabab（此时，1617289178255nn） 。188n 或17n 。符合条件的正整数n为188和17。符合条件的所有正整数n的和为205。812给出下列 10 个数：1，2，4，8，16，32，64，a，b，c，其中a，b，c为整数，且64cba。若对每个正整数753n ，都可以表示成上述 10 个数中某些数的和（可以是 1 个数的和， 也可以是 10 个数的和， 每个数至多出现 1 次） ，
12、则b的最小值为。【答案】【答案】125【解答】【解答】显然，用这 10 个数能够表示的最大数是1248 163264127abcabc ，127753abc。 又用1，2，4，8，16，32，64，a，b这 9 个数能够表示的最大的数是1248 163264127abab 。因此，若1272cab，则数1271ab无法用这 10 个数中某些数的和表示。1271cab 由 、 ， 可 得753127127(1271)abcabab，2()498ab，249ab。结合a，b为整数，且ba，得125b 。下面说明当124a ，125b ，377c 时，这 10 个数符合要求。结合二进制数的特征，对每
13、个正整数1248 163264127n ，都可以用1，2，4，8，16，32，64这 7 个数中的某些数的和来表示。当127n 时，n可以用1，2，4，8，16，32，64这 7 个数中某些数的和表示；当127124251n 时，n可以用1，2，4，8，16，32，64，124这 8 个数中某些数的和表示；当251 125376n 时，n可以用1，2，4，8，16，32，64，124，125这 9 个数中某些数的和表示；当376377753n 时，n可以用1，2，4，8，16，32，64，124，125，377这 10个数中某些数的和表示。124a ，125b ，377c 符合要求。b的最小值
14、为125。9三、解答题（第 13、14、15、16 题每题 16 分，第 17 题 14 分，满分 78 分）三、解答题（第 13、14、15、16 题每题 16 分，第 17 题 14 分，满分 78 分）13 已知DEF三边所在的直线分别为1l ：2x ，2l：340 xy，3l：340 xy，C为DEF的内切圆。（1）求C的方程；（2）设C与x轴交于A、B两点，点P在C内，且满足2PCPAPB。记直线PA、PB的斜率分别为1k 、2k，求12k k 的取值范围。【解答】【解答】 （1）解法一解法一：设()C a b，C半径为r，则3434222ababar，4 分4 分结合点()C a
15、b，在DEF内，可得(34)(34)222ababar。解得0ab，2r 。C的方程为224xy。8 分解法二：8 分解法二：设()C a b，C半径为r。如图， 由条件知，2l、3l的倾斜角分别为150和30， 且它们关于x轴对称， 同时1lx轴。因此，DEF为正三角形。4 分4 分点C在x轴上，且2ar ，0b 。由2l、3l交x轴于点(4 0)D，知DEF的高为6。1623r ，0a 。C的方程为224xy。8 分8 分（2）由（1）知，(0 0)C，( 2 0)A ，(2 0)B，。设()P x y，则224xy。2PCPAPB，222222(2)(2)xyxyxy，化简得，222xy
16、。12 分12 分221222222122444yyyxk kxxxxx 。由224xy，以及222xy，20y ，得223x。121 0k k ，。12k k 的取值范围为1 0 ，。16 分16 分（第（第13题答题图）题答题图）1014函数是数学中重要的概念之一，同学们在初三、高一分别学习过，也知晓其发展过程。1692 年，德国数学家莱布尼茨首次使用function这个词，1734 年瑞士数学家欧拉首次使用符号( )f x表示函数。1859 年我国清代数学家李善兰将function译作函数， “函”意味着信件，巧妙地揭示了对应关系。密码学中的加密和解密其实就是函数与反函数。对自变量恰当地
17、赋值是处理函数问题，尤其是处理抽象函数问题的常用方法之一。请你解答下列问题。已知函数( )f x满足：对任意的整数a，b均有()( )( )2f abf af bab，且( 2)3f 。求(96)f的值。【解答】【解答】在()( )( )2f abf af bab中，令0ab，得(0)(0)(0)02fff，于是(0)2f 。4 分4 分在()( )( )2f abf af bab中，令2a ，2b ，得(0)(2)( 2)42fff。2(2)342f ，(2)3f。8 分8 分在()( )( )2f abf af bab中，令2an，2b ，得( )(2)(2)2(2)2(2)32(2)2(
18、2)21f nf nfnf nnf nn 。12 分12 分( )(2)21f nf nn。(96)(94)2 96 1ff，(94)(92)2 94 1ff，(4)(2)2 4 1ff 。上述等式左右两边分别相加，得(96)(2)2(96944)47ff。(964)(96)24747347502f。16 分16 分1115如图，PA、PBC分别为O的切线和割线，切点A是B D 的中点，AC、BD相交于点E，AB、PE相交于点F，直线CF交O于另一点G、交PA于点K。证明： （1）K是PA的中点；（2）2AGBG PG。【解答】【解答】 （1）在APC中，由塞瓦定理，知1AKPB CEKP B
19、C EA。 4 分 4 分A是B D 的中点，PA是O的切线，PABADBABD 。EBAP，PBAEBCEC。 由、，得AKKP。K是PA的中点。8 分另解：8 分另解：A是B D 的中点，PA是O的切线，PABADBABD ，EBAP。 4 分 4 分如图，过点F作MNAP，交AE于点M，交PB于点N。则MFEMAPEA，FNBNAPBP。 且EBAPMN，EMBNEABP。 由、，得MFEMBNFNAPEABPAP。FMFN。又由MNAP，得MFCFFNAKCKKP，AKKP，K是PA的中点。8 分8 分（2）由（1）及切线长定理，得22KPKAKG KC。因此，KPKGKCKP。又PK
20、GCKP ，PKGCKP。APGKPGKCPGCBBAG 。 12 分12 分又PAGABG ，GPAGAB，AGPGBGAG。2AGBG PG。16 分16 分（第（第 15 题图）题图）（第（第15题答题图）题答题图）1216已知a，b，cR，且22233460abc。（1）求abc的最大值；（2）若a，(0 4)b，(0 6)c，求3446abcabc的最小值。【解答】【解答】 （1）由柯西不等式，知22111()(332 )233abcabc2222222111()()( )( 3 )( 3 )(2 )233abc22211121()(334)() 6040 155533434abc。
21、4 分4 分55abc。当且仅当3320111233abc，即4 511ab，3 511c 时，等号成立。abc的最大值为 55 。8 分8 分（2）由a，(0 4)b，(0 6)c，知a，4a，b，4b，c，6c均为正数，24(4)()42aaaa，24(4)()42bbbb，26(6)()92cccc。12 分12 分22233446(4)(4)(6)abcabcabcaabbcc22222233346054491212abcabc。又当2ab，3c 时，满足a，(0 4)b，(0 6)c，22233460abc，且35446abcabc。3446abcabc的最小值为5。16 分16 分
22、1317设集合2018Mm mZm， 且，M的子集S满足：对S中任意 3 个元素a，b，c（不必不同） ，都有0abc。求集合S的元素个数的最大值。【解答】【解答】集合S的元素个数的最大值为2018。令12018SsssZ，显然集合S符合要求，且2018S 。5 分5 分另一方面，设S是满足题设条件的集合，显然0S（否则0000） 。设S中的所有正整数构成集合A，S中的所有负整数构成集合B。若A ，则2018SB；若B ，则2018SA。下面考虑A、B非空的情形。对于集合X，Y，记XYxyxXyY，XxxX。由题设可知，()()ABS （否则，设0()()xABS，则存在aA，bB，cS ，使
23、得0abx，0cx 。于是，存在aS，bS，cS，使得0abc） 。且2017ABx xZx， 且（事实上，A中元素2018，B中元素1 ，于是AB中元素2017；同理，AB中元素1027 。 ） 。设集合A中元素为1a ，2a，ka，集合B中元素为1b，2b ，lb，且12kaaa，12lbbb。112131123kkkklababababababab。AB中至少有1kl 个元素，即11ABklS 。结合2017ABx xZxM， 且，SM，且()()ABS ，可得()()ABSM，40371MABSABSSS 。2019S 。10 分10 分若2019S ，则4037ABSM 。()()ABSM。又由2018AB，2018AB，知2018S，2018S。对于1k ，2，3，1009，k与2018k中至少有一个不属于S，k与2018k中也至少有一个不属于S。因此，1009A ，1009B 。20191009 10092018SAB，矛盾。因此，2018S 。综上可得，2018S 。综上所述，集合S的元素个数的最大值为 2018。14 分14 分