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1、高一数学竞赛试题第 1 页 共 15 页高一数学竞赛试题及答案时间： 2016/3/18 注意：本试卷均为解答题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 总分 150 分,考试时间120 分钟 . 1.本小题总分值15 分设集合222320 ,2150,Ax xxBx xaxaaR，1假设2AB求a的值；2假设ABA, 求a的取值范围；3假设,UUR AC BA, 求a的取值范围 .2.本小题总分值15 分设,)(|,)(|xxffxNxxfxM（1）求证：;NM（2）)(xf为单调函数时，是否有NM？请说明理由.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - -
2、 - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - 高一数学竞赛试题第 2 页 共 15 页3本小题总分值15 分已知函数444)cos(sin)cos(sin2)(xxmxxxf在2, 0 x有最大值5，求实数m的值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - 高一数学竞赛试题第 3 页 共 15 页4本小题总分值15 分已知函数 f
3、(x)在 R 上满足 f(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)且在闭区间 0,7上，只有 f(1)f(3)0，(1)试判断函数yf(x)的奇偶性；(2)试求方程f(x) 0 在闭区间 2 011,2 011上根的个数，并证明你的结论名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - 高一数学竞赛试题第 4 页 共 15 页5本小题总分值15 分已知二次函数)0,(1)(2aRbabxaxxf，设方程xxf)(的两个实数根为1x和
4、2x. 1如果4221xx，设函数)(xf的对称轴为0 xx，求证：10 x；2如果21x，212xx，求b的取值范围 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - 高一数学竞赛试题第 5 页 共 15 页6本小题总分值15 分如 图， 直 三 棱 柱111CBAABC中，121AABCAC， D 是 棱1AA的 中 点 ，BDDC1。（1） 证明：BCDC1；（2） 求二面角11CBDA的大小。ABCD1A1B1C名师
5、资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - 高一数学竞赛试题第 6 页 共 15 页7本小题总分值15 分在平面直角坐标系xOy中，设二次函数 f(x) x22xb(x R)的图象与两坐标轴有三个交点经过三点的圆记为C. (1) 求实数b的取值范围；(2) 求圆C的方程；(3) 问圆C是否经过定点 ( 其坐标与b无关 ) ？请证明你的结论名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - -
6、- - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - 高一数学竞赛试题第 7 页 共 15 页8本小题总分值20 分设 fx是定义在 R上的偶函数， 其图象关于直线x=1 对称，对任意 x1,x20 ，21 都有).()()(2121xfxfxxf且 f1=a0);41(),21(ff求证明)(xf是周期函数；记),212(nnfan求).(lnlimnna名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页
7、，共 15 页 - - - - - - - - - 高一数学竞赛试题第 8 页 共 15 页9 本 小 题 总 分 值20 分 设)(xf是R上 的 奇 函 数 ， 且 当0 x时 ，)10lg()(2axxxf，Ra. 1假设5lg)1 (f，求)(xf的解析式；2假设0a，不等式0)14()2(kfkfxx恒成立，求实数k的取值范围；3假设)(xf的值域为R，求a的取值范围 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 15 页 - - - - - - - -
8、- 高一数学竞赛试题第 9 页 共 15 页高一数学竞赛试题参考答案1、解：2, 1A12ABB2即，0)5(2)12222aa（，解得13aa或当3a时，2044|2xxxB当1a时，2,204|2xxB综上3, 1a2ABAAB当B时，则该一元二次方程无解，即0，0)5(41222aa，即3a当B时，则该一元二次方程有解，即0，即3a1. 当3a时，2B2. 当3a时，该一元二次方程有两个不同实数根1 和 2 )1(221a，即25a5212a，即7a舍 ,综上3,a3,UUR AC BABA当 0 时，即3a，所以只需BB21且将 1 代入方程中得31a; 将 2 代入方程中得13aa或
9、所以3113aaa和、综上，a的取值范围为,3131, 11,3131,33，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - 高一数学竞赛试题第 10 页 共 15 页2、3、解：422222)cos(sincossin4)cos(sin2)(xxmxxxxxf42)cos(sin)cossin2(2xxmxx令2, 1 )4sin(2cossinxxxt，则1cossin22txx，从而12)1()1(2)(24422ttm
10、mttxf令2, 12tu，由题意知12) 1()(2uumug在2,1 u有最大值 5. 当01m时，12)(uug在2u时有最大值5，故1m符合条件；当01m时，5122)2()(maxgug，矛盾！当01m时，512)(uug，矛盾！综上所述，所求的实数1m4、解(1)假设 yf(x)为偶函数，则 f(x)f(2(x2)f(2(x2)f(4x)f(x)，证明：（1）若M，显然有;MN若M，则存在0 xM，满足00fxx，所以000ffxfxx，故0 xN，所以;MN（2）.MN用反证法证明假设MN，由于MN，必存在1,xN但1xM，因此11fxx，若11f xx，由于f x为单调增函数，
11、所以11ff xf x，即11xf x，矛盾；若11f xx，由于f x为单调增函数，所以11ff xf x，即11xf x，矛盾。综合、可知11fxx，因此1,xM与假设矛盾，所以假设不能成立，即.MN名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - 高一数学竞赛试题第 11 页 共 15 页f(7)f(3)0，这与 f(x)在闭区间 0,7上，只有 f(1)f(3)0 矛盾；因此f(x)不是偶函数假设 yf(x)为奇函数，
12、则f(0)f(0) f(0)，f(0)0，这些 f(x)在闭区间 0,7上，只有 f(1)f(3)0 矛盾；因此f(x)不是奇函数综上可知：函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数(2)f(x)f2(x2)f2(x2)f(4x)，f(x)f7(x7)f(7(x7)f(14x)，f(14x)f(4x)，即 f10(x4)f(4x) f(x10)f(x)，即函数 f(x)的周期为10. 又f(1)f(3)0， f(1)f(110n)0(nZ)，f(3)f(310n)0(nZ)，即 x110n 和 x310n(nZ)均是方程 f(x)0 的根由 2 011110n2 011 及 nZ 可得 n0， 1，
13、 2， 3， 201，共 403 个；由 2 011310n2 011 及 nZ 可得 n0， 1， 2， 3， 200，201，共 402 个；所以方程f(x) 0 在闭区间 2 011,2 011上的根共有805 个5、解：设1)1()()(2xbaxxxfxg，则0)(xg的二根为1x和2x. 1由0a及4221xx，可得0)4(0)2(gg，即034160124baba，即,043224, 043233aabaab两式相加得12ab，所以，10 x; 2由aabxx4)1()(2221, 可得1) 1(122ba. 又0121axx，所以21, xx同号 . 名师资料总结 - - -精
14、品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - 高一数学竞赛试题第 12 页 共 15 页21x，212xx等价于1) 1(1220221baxx或1) 1(1202212baxx, 即1) 1(120)0(0)2(2bagg或1)1(120)0(0)2(2bagg解之得41b或47b. 6、 【解析】 1在Rt DAC中，ADAC得：45ADC同理：1114590A DCCDC得：111,DCDC DCBDDC面1BCDDCBC211,DCBC C
15、CBCBC面11ACC ABCAC取11A B的中点O，过点O作OHBD于点H，连接11,C O C H1111111ACB CC OA B，面111A B C面1A BD1C O面1A BD1OHBDC HBD得：点H与点D重合且1C DO是二面角11CBDA的平面角设ACa，则122aC O，1112230C DaC OC DO既二面角11CBDA的大小为307、【解答】(1)令 x0，得抛物线与y 轴交点是 (0，b)；令 f(x)x22xb0，由题意 b0 且 0，解得 b1 且 b0. (2)设所求圆的一般方程为x2y2DxEyF0. 令 y0 得 x2DxF0，这与 x22xb0
16、是同一个方程，故 D2，Fb. 令 x0 得 y2Eyb0，此方程有一个根为b，代入得出 E b1. 所以圆 C 的方程为 x2y22x(b1)yb0. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - 高一数学竞赛试题第 13 页 共 15 页(3)圆 C 必过定点，证明如下：假设圆 C 过定点 (x0，y0)(x0，y0不依赖于 b)，将该点的坐标代入圆C 的方程，并变形为 x20y202x0y0b(1y0)0.(*) 为
17、使 (*) 式对所有满足b1(b0)的 b 都成立，必须有1y00，结合 (*) 式得 x20y202x0y00，解得x0 0，y0 1或x02，y01，经检验知，点 (0,1)，(2,1)均在圆 C 上，因此，圆C 过定点名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - 高一数学竞赛试题第 14 页 共 15 页 9、解： 16, 5lg)11lg()(,5lg)1(aaxff所以则因为所以故又时，当,0)0(),106lg
18、()()(02fxxxfxfx0),106lg(0,00),106lg()(22xxxxxxxxf (2)0)14()2()(0?kfkfRxfaxx上单调递增，故在，则若等价于恒成立，在于是，另), 0(01),0(201422kkttttkkxxx1)(2kktttg设10时，解得：222222k；2时0，0)0(02gk，解的0k综上，222k3设10)(2axxxh, 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - 高一数学竞赛试题第 15 页 共 15 页由题意知，假设函数)(xf的值域为 R，只需1026,1)(00minaxhx解得：时，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - -