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1、此文档下载后即可编辑此文档下载后即可编辑专升本高等数学测试题专升本高等数学测试题1.函数y 1sin x是（D）（A）奇函数；（B）偶函数；（C）单调增加函数；（D）有界函数解析解析因为1 sin x 1，即0 1sin x 2,所以函数y 1sin x为有界函数2.若f(u)可导，且y f(ex)，则有（B）；（A）dyf(ex)dx；（B）dy f(ex)exdx；（C）dyf(ex)exdx；（D）dy f(ex)exdx解析解析y f(ex)可以看作由y f(u)和u ex复合而成的复合函数由复合函数求导法y f(u)ex f(u)ex，所以dyydxf(ex)exdx3.0exdx=
2、(B);(A)不收敛;(B)1;(C);(D)0.解析解析0e dx exx0 0114.y2y y(x1)ex的特解形式可设为（A）；(A)x2(ax b)ex；(B)(C)(axb)ex；x(axb)ex；(ax b)x2(D)解析解析特征方程为r22r 10，特征根为r1=r2=1=1 是特征方程的特征重根，于是有yp x2(axb)ex5.Dx2y2dxdy(C)，其中D：1x2 y24；(A)(C)2020dr2dr；14(B)(D)20drdr；14dr dr；21220drdr12解析解析此题考察直角坐标系下的二重积分转化为极坐标形式当故Dx rcos时，dxdy rdrd，由于
3、1x2 y24，D表示为1 r 2，0 2，y rsinx2y2dxdyrrdrdD20dr2dr126.函数y=x arcsin(1)的定义域23 x21解解由所给函数知，要使函数有定义，必须分母不为零且偶次根式的被开方式非负；反正弦函数符号内的式子绝对值小于等于 1.可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即即3 x 0,3 x 0,x1 1,223 x 3,推得0 x 4,0,3).0 x 3,因此，所给函数的定义域为7.求极限limx22 x 2=2 x(2 x 2)(2 x 2)解：解：原式=limx2(2 x)(2 x 2)1=limx22 x 21=.（恒等变换恒等变换之后“能代
4、就代能代就代”）4x18.求极限limx1x1sin tdt1cos x0解：解：此极限是“”型未定型，由洛必达法则，得0=limx1sin tdt1cos x=limx1(sin tdt)1x(1cos x)=limx1sin x11 lim()x1 sin x9.曲线 x t,在点（1，1）处切线的斜率3y t,1 t,t 1,31 t,dydxt1解：由题意知：(t3)(t)t1 3t2t1 3,310.方程y2yy 0,的通解为解：解：特征方程r22r 10,特征根r1 r21,通解为y (C1C2x)ex.11.交错级数(1)n1n1曲线在点（1，1）处切线的斜率为1的敛散性为n(n
5、 1)（4）(1)n1n11n(n1)=1,n1n(n 1)而级数12.lim(1x1收敛，故原级数绝对收敛.n1n(n 1)1x).x2（第二个重要极限第二个重要极限）xxx11(x2)(x)(12)=e01解二解二原式=limxx1113.lim2ln(1 x)x0 xx1111解一解一原式=lim(1)x(1)x lim(1)xlim(1)x1=ee11，xx0 xx解 所求极限为 型，不能直接用洛必达法则，通分后可变成或型.0011x ln(1 x)lim2ln(1 x)lim limx0 xx0 x0 xx21 x 111 lim.limx02x(1 x)x02(1 x)2xx111
6、 x2x14.设f(x)xe，求f(x).解：解：令y xe,两边取对数得：ln y exln x,两边关于x求导数得：1exx y e ln x yxx即exy y(e ln x)xexexxy x(e ln x).x15.求f(x)x3+3x2在闭区间5,5上的极大值与极小值，最大值与最小值.解：解：f(x)3x26x,令f(x)0,得x1 0,x2 2,f(x)6x 6,f(0)6 0,f(2)6 0,f(x)的极大值为f(2)4，极小值为f(0)0.f(5)50,f(5)200.比较f(5),f(2),f(0),f(5)的大小可知：f(x)最大值为 200，最小值为50.16.求不定积
7、分解：解：令原式=11 1 xdx.1 x t,则x t21,dx 2tdt,于是2tt 11dtdt=2dt=2dt=2t 2ln1t C1t1t1t=2 1 x 2ln1 1 x C.417.求定积分01xdx.1x解解:（1）利用换元积分法，注意在换元时必须同时换限令t x，x t2，dx 2tdt，当x 0时，t 0，当x 4时，t 2，于是1041xxdx=21t42tdt=4 2t dt01t01t22 4t t 4ln1t 4 4ln3.02ex(ey1)dx ey(ex1)dy，18.求方程(exyex)dx(exyey)dy 0的通解；解解整理得用分离变量法，得两边求不定积分
8、，得eyexdy xdx，ey1e 1ln(ey1)ln(ex1)lnC，于是所求方程的通解为ey1即19.u exsinxy,求解：解：因ux,(0,1)C，xe 1eyC1xe 1uy.(1,0)uexsin xyexcosxyyex(sin xyycosxy),xu excosxy x,yu e0(sin0cos0)1,x(0,1)uy e(cos01)e.(1,0)220.画出二次积分0dy224y24y2fx,ydx的积分区域D并交换积分次序.解：解：D：0 y 2,2224 y x 24 y2y0 x 4,的图形如右图，由图可知，D也可表为4dx04xxfx,ydy.所以交换积分次
9、序后，得020 y 4x x,O24x21.求平行于y轴，且过点A(1,5,1)与B(3,2,3)的平面方程.解一解一利用向量运算的方法。关键是求出平面的法向量n n.因为平面平行于y轴，所以n n j j.又因为平面过点A与B，所以必有n n AB.于是，取n n=j AB,i ij j1k k0而AB=2，7，4，所以n n=0=4i i 2k k，27 4因此，由平面的点法式方程，得 4(x 1)0(y 5)2(z 1)0，即2x z 3 0.解二解二利用平面的一般式方程。设所求的平面方程为Ax By Cz D 0,由于平面平行于y轴，所以B 0，原方程变为AxCz D 0，又所求平面过点A(1,5,1)与B(3,2,3)，将A,B的坐标代入上述方程，得 AC D 0,3A3C D 0,解之得A 2C,D 3C,代入所设方程，故所求平面方程为2x z 3 0.