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1、高等数学第一章函数与极限试题一.选择题1.设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数，M N表示“M 的充分必要条件是 N”，则必有（A）F(x)是偶函数f(x)是奇函数.（B）F(x)是奇函数f(x)是偶函数.（C）F(x)是周期函数f(x)是周期函数.（D）F(x)是单调函数f(x)是单调函数2设函数f(x)1exx1,则1（A）x=0,x=1 都是 f(x)的第一类间断点.（B）x=0,x=1 都是 f(x)的第二类间断点（C）x=0 是 f(x)的第一类间断点，x=1 是 f(x)的第二类间断点.（D）x=0 是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点.x 13设
2、f(x)=x1，x0,1,则ff(x)=()1X1A）1xB）1 x4下列各式正确的是()C）D）xA）limx0(1+1)xx=1B）xlimx0(1+1)xxx=eC）limx(1x ax)9，则a()。xx aA.1；B.；C.ln3；D.2ln3。x 1x)()6极限：lim(xx 15已知lim(A.1；B.；C.e；D.e21)x=-e D）limx(1+1)x=e27极限：limxx32=（）x3A.1；B.；C.0；D.28极限：limx 1 1=（）x0 xA.0；B.；C1；D.229.极限：lim(x2 x x)=（）xA.0；B.；C.2；D.12lim10极限:x0t
3、anx sin x=（）sin32x16A.0；B.；C.1；D.16二.填空题11极限lim xsinx2x=.2x 1=_.12.arctanxlimxx013.若y f(x)在点x0连续，则lim f(x)f(x)=_；xxsin5x_；xx0 x2n15.lim(1)_；nn14.limx2116.若函数y 2，则它的间断点是_x 3x 217.绝对值函数绝对值函数f(x)x x,x 0;x x0,x 0;x,x 0.其定义域是,值域是 1,x 018.符号函数符号函数f(x)sgn x 0,x 01,x 0.其定义域是，值域是三个点的集合19.无穷小量无穷小量是20.函数y y f
4、f(x x)在点 x0 连续，要求函数 y f(x)满足的三个条件是三.计算题21.求lim(x01 x1).xx1e)=3x-2,求 f(x)(其中 x0);x5x222.设 f(ex123.求(3x)limx2;24.求limx(x 1x);x 125.求limx0sin x22tan2x(x 3x)x ax)9，求a的值；x ann1n26.已知lim(x27.计算极限lim(1 2 3)n28.求它的定义域。x 2fx lg5 2xx 129.判断下列函数是否为同一函数：f(x)sin xcos x g(x)122x2 1f(x)g(x)x 1x 1f(x)fx2x 1g(x)x 12
5、x 12g(x)x 12 yax sat230.已知函数 f(x)x-1，求 f(x+1)、f(f(x)、f(f(3)+2)31.求3n2 5n 1limn6n2 4n 7lim1 2 n32.求nn233.求nlim(n 1 n)34.求2n 3nlimn2n 3n35.判断下列函数在指定点的是否存在极限sin x,x 0 x 1,x 2y x 2y 1x 0 x,x 0 x,x 231x3x 3x 337.lim2x3x 936.lim38.limx01 x 1x2x3 x2139.求当 x时，下列函数的极限y x3 x 12x2 x 140.求当 x时，下列函数的极限y 341.x x
6、1sin3xx0 x1cos x42.lim2x0 x41.lim143.lim1nnn3144.lim1nn45.lim(1x2n1x)kxx146.lim1xx47.lim1kxx01x48.研究函数在指定点的连续性sin x,x 0f(x)x x001,x 049.指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。f(x)50.指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。1,x1x 11,x 0，xf(x)x0,x 051.指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。x2,x 0，xf(x)1,x 052.证明 f(x)x2是连续函数53.limx0l
7、n(1 x)x54.x21limlnxx1x1tanx sin xsin32x55.试证方程 2x33x22x30 在区间1,2至少有一根lim56.x057.试证正弦函数y=sin x 在(-,+)内连续。x，x 0；58.函数 f(x)=x=x，x 0在点 x=0 处是否连续？xsin1，x 0；x59.函数f(x)=是否在点x 0连续？0，x 0ax1.60.求极限limx0 x答案：答案：一.选择题1.A【分析分析】本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解详解】方法一：任一原函数可表示为F(x)x0f(t)dt C，且F(x)f(x).当 F(x)为偶函数时，
8、有F(x)F(x)，于是F(x)(1)F(x)，即 f(x)f(x)，也即f(x)f(x)，可见 f(x)为奇函数；反过来，若 f(x)为奇函数，则数，从而F(x)x0f(t)dt为偶函x0f(t)dt C为偶函数，可见(A)为正确选项.12x,排除(D);2方法二：令 f(x)=1,则取 F(x)=x+1,排除(B)、(C);令 f(x)=x,则取 F(x)=故应选(A).【评注评注】函数 f(x)与其原函数 F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过.请读者思考f(x)与其原函数F(x)的有界性之间有何关系?2.D【分析分析】显然 x=0,x=1 为间断点，其分类主要考虑左右极限.【详解
9、详解】由于函数 f(x)在 x=0,x=1 点处无定义，因此是间断点.且lim f(x)，所以 x=0 为第二类间断点；x0f(x)0，lim f(x)1，所以 x=1 为第一类间断点，故应选(D).limx1x1xx lim.从而lim ex1，【评评 注注】应特别注意：lim，x1x 1x1x 1x1xx1lim exx1 0.3 C4A5C6C7A8Cx时，分母极限为令，不能直接用商的极限法则。先恒等变形，将函数“有理化”：1原式=lim(x 1 1)(x 1 1)lim1.（有理化法有理化法）x0 x0 x(x 1 1)x 1 129D10Cx1x2tan x(1cos x)12解解原
10、式 lim lim.33x0 x0(2x)8x16注注等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极限，不能在代数和的情形中使用。如上例中若对分子的每项作等价替换，则错误错误！原式 limx0 x x 0.(2x)3二.填空题11.212.113.0 014.515.e16.x 1,217.(,)0,)18.(,)1,0,119.在某一极限过程中，以0 为极限的变量，称为该极限过程中的无穷小量无穷小量20.函数 y f(x)在点 x0 有定义；xx0 时极限x xx x0 02limlimf f(x x)存在；x xx x0 0极限值与函数值相等，即limlim f f(x x)f f(x x0 0)三
11、.计算题21.【分析分析】型未定式，一般先通分，再用罗必塔法则.x x21 ex1 x1x x21ex【详解】lim(=lim)lim2xx0 x01exx0 xxx(1e)1 2x ex2 ex3.=lim=limx0 x02x2222.f(x)=3lnx+1 x023.24.25.3ee21626.ln3;27.328.解：由 x2解得 x-2由 x解得 x由 5x解得 x2.5函数的定义域为x2.5x-2 且 x1或表示为（2.5,1）（1,-2）29.、是同一函数，因为定义域和对应法则都相同，表示变量的字母可以不同。不是同一函数，因为它们的定义域不相同。不是同一函数，因为它们对应的函数
12、值不相同，即对应法则不同。22 30.解：f(x+1)(x+1)-1x+2x，22242f(f(x)f(x-1)(x-1)-1x-2x2f(f(3)+2)f(3-1+2)f(10)993n2 5n 153 23n2 5n 1nnlim lim lim31.解：n 6n2 4n 7n 6n2 4n 7n 6 4nn21n27n211 lim23 0 01nnnnn11lim 6 4 lim 7 lim26 0 02nnnnnlim 3 5 limn(n 1)1 2 nn2 n12 lim lim32.解：lim222nnnnn2n233.解：nlim(n 1 n)lim(n 1 n)(n 1 n
13、)nn 1 n limn1 limn1nn1nn11n1nn 0n1lim lim1nnnlim22()n1lim()n lim 12 30 1n3n3lim lim 134.解：nnnn222 3()n1lim()n lim 10 1n3n3nn35.解：因为x2lim y 2,lim y 3，lim y lim yx2x2x2所以 函数在指定点的极限不存在。1y lim yy sin0 0,lim y 0 0，lim 因为limx0 x0 x0 x03所以 函数在指定点的极限limx0y 036.lim1111x3limx3x 3limx lim3336x3x3x 3x 311 lim l
14、imx3x29x3x 3x 3x3x 3637.lim38.limx0(1x 1)(1x 1)1x 1x11limlimlimx0 x0 x2x(1x 1)x(1x 1)x01x 1321132 x x 1xx39.lim limx x 11x3 x 11 23xx11lim2 lim lim3xxxxx20 0 21110 0lim1 lim2 lim3xxxxx2112322 x x 1xx40.lim limx3x x x 1x 111 23xx1112limlim2 lim3xxxxxx000 011100lim1lim2 lim3xxxxx2 41.limsin3xsin3x lim
15、3 3x0 x0 x3x22xx 2sinsin1cosx1122 limlim42.limx0 x0 x22x0 x2x24()221lim(1)nnne e43.=11lim(1)3nn1n1n244.lim1 lim1 ennnn1 45.lim1xkxkx221 1limxkx11kkx1 ek1kx1 46.lim1x xx1 lim1x x1 e11kkx47.lim1kx ex0k48.解lim f(x)limx x0 x0sin x 1x而 f(x0)f(0)1lim f(x)f(0)x0函数 在x 0处连续。49.间断，函数在 x1 处无定义且左右极限不存在，第二类间断点50
16、.间断，函数在 x0 处左右极限不存在，第二类间断点51.间断，lim f(x)0但 f(0)1，两者不相等，第一类间断点x052.证明：x0(,)因为limxx0f(x)lim x2(lim x)2 x0 xx0 xx02，f(x0)=x02所以limxx0f(x)f(x0)2因此，函数 f(x)x 是连续函数。53.解:解:ln(1 x)lim limln(1 x)x lnlim(1 x)x lne 1x0 x0 x0 x x21x1lnx 200limlnxlimx1x1x1321154.55.证明：设 f(x)2x 3x 2x3，则 f(x)在1,2上连续，f(1)20根据零点定理，必
17、存在一点(1,2)使 f()0，则 x就是方程的根。1x2xtan x(1cos x)1256.原式 lim lim33x0 x0(2x)8x1657.证证x(-,+)，任给 x 一个增量x，对应的有函数 y 的增量y=sin(x+x)-sin x=2sinxcos(x x).220 y 2 sinx 22x，再由 x 的任意性知 x，由夹逼准则知，y 0（x0）2正弦函数 y=sin x 在其定义域(-,+)上处处连续，即它是连续函数。58.解解注意 f(x)是分段函数，且点x0两侧 f 表达式不一致。(x)0，解法解法 1 1f(0-0)=limx0 x 0，lim f(x)0.f(0+0
18、)=xlim0 x0又 f(0)=0，函数 f(x)=x在点 x=0 处连续（图 119）。解法解法 2 2lim f(x)lim(x)0 f(0)，函数在点x 0左连续；x0 x0f(x)lim x 0 f(0)，函数在点x 0右连续，所以函数在点x 0连续。又xlim0 x059.证证虽然 f 是分段函数，但点 x=0 两侧函数表达式一致。M0lim f(x)lim xsin1xx 0 f(0)，x00f(x)在点 x=0 处连续60.解解令 ax 1=t，则 x=loga(1+t)，当 x0 时，t0,原式 limt1t1lim lna.10loga(t 1)t0log ealoga(t 1)tex11，这表明 x0 时，x ex-1.特别地，limx0 x