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1、 主 要 内 容 第一章第一章 函数与极限函数与极限 1 1、函数函数 2 2、初等函数、初等函数 3 3、数列的极限、数列的极限 4 4、函数的极限、函数的极限 5、无穷大与无穷小 6 6、极限运算法则极限运算法则 7、极限存在准则、两个重要极限、极限存在准则、两个重要极限 8、无穷小的比较 9、函数的连续性与间断点、函数的连续性与间断点 10、连续函数的运算与初等函数的连续性、连续函数的运算与初等函数的连续性 11 11、闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质1 第一章第一章 函数与极限函数与极限 1、理解一元函数、反函数、复合函数的定义；、理解一元函数、反函数、复合函数的定义；2、
2、了了解解函函数数的的表表示示和和函函数数的的简简单单性性态态有有界界性性、单单调调性性、奇偶性、周期性；奇偶性、周期性；3、熟熟悉悉基基本本初初等等函函数数与与初初等等函函数数（包包含含其其定定义义区区间间、简简单单性态和图形）；性态和图形）；4、理解数列极限的概念（对、理解数列极限的概念（对 定义不作过高要求）；定义不作过高要求）；5、熟悉收敛数列的性质熟悉收敛数列的性质有界性、唯一性；有界性、唯一性；6、了解数列极限的存在准则、了解数列极限的存在准则单调有界准则、夹逼准则；单调有界准则、夹逼准则；7、理理解解函函数数的的极极限限的的定定义义（包包括括当当 和和 时时，函函数数极极限的定义及
3、左、右极限的定义）限的定义及左、右极限的定义）;8、了解函数极限的性质、了解函数极限的性质唯一性、保号性、局部有界性；唯一性、保号性、局部有界性；9 9、熟练掌握极限的四则运算法则（包括数列极限与函数极、熟练掌握极限的四则运算法则（包括数列极限与函数极限）限）基基 本本 要要 求求210、掌握两个重要极限：、掌握两个重要极限：11、熟悉无穷小量的概念及其运算性质、无穷小量的比较；、熟悉无穷小量的概念及其运算性质、无穷小量的比较；12、了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系；、了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系；13、函数极限与无穷小量的关系；、函数极限与无穷小量的关系；14、理解函数的连续
4、性的概念、了解函数的间断点的分类；、理解函数的连续性的概念、了解函数的间断点的分类；15、熟悉连续函数的和、差、积、商及复合函数的连续性；、熟悉连续函数的和、差、积、商及复合函数的连续性；1616、了解初等函数的连续性，掌握闭区间上连续函数的性质。、了解初等函数的连续性，掌握闭区间上连续函数的性质。基基 本本 要要 求（续）求（续）3一、基本概念一、基本概念1.1.集合集合:具有某种特定性质的事物的具有某种特定性质的事物的全体全体.组成集合的事物称为该集合的组成集合的事物称为该集合的元素元素.有限集有限集个体个体总体总体 第一节第一节 函数函数 4数集分类数集分类:N-自然数集自然数集Z-整数
5、集整数集Q-有理数集有理数集R-实数集实数集数集间的关系数集间的关系:例如例如不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为空集空集.例如例如,规定规定空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.52.2.区间区间:是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点.称为开区间称为开区间,称为闭区间称为闭区间,符号符号 表示表示“对每对每(任）一个任）一个”。6称为半开区间称为半开区间,称为半开区间称为半开区间,有限区间有限区间无限区间无限区间区间长度的定义区间长度的定义:两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的
6、长度称为区间的长度.73.3.邻域邻域:84.4.常量与变量常量与变量:在某过程中始终保持一个数值的量称为在某过程中始终保持一个数值的量称为常量常量,注意注意常量与变量是相对常量与变量是相对“过程过程”而言的而言的.通常用字母通常用字母a,b,c等表示常量等表示常量,而不断改变数值的量称为而不断改变数值的量称为变量变量.常量与变量的表示方法：常量与变量的表示方法：用字母用字母x,y,t等表示等表示变变量量.95.5.绝对值绝对值:运算性质运算性质:绝对值不等式绝对值不等式:10二、函数概念二、函数概念例例 圆内接正多边形的周长圆内接正多边形的周长圆内接正圆内接正n 边形边形Or)11 邮件的费
7、用依赖与邮件的重量，邮局公布的费用表可根据邮件的费用依赖与邮件的重量，邮局公布的费用表可根据邮件的重量邮件的重量W W确定邮件的费用确定邮件的费用C C。自动纪录仪画出了一天中气温随时间变化的曲线图，由图形自动纪录仪画出了一天中气温随时间变化的曲线图，由图形可以找出在一天中的某个时刻可以找出在一天中的某个时刻t t的温度值的温度值T T。tTo 真空中初速为零的自由落体，下落路程真空中初速为零的自由落体，下落路程S S与时间与时间t t的关系为：的关系为：，设这一运动花费，设这一运动花费T T秒钟，则秒钟，则t t 0,T0,T。12因变量因变量自变量自变量数集数集X叫做这个函数的叫做这个函数
8、的定义域定义域13自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则f函数的两要素函数的两要素:定义域定义域与与对应法则对应法则.约定约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值的一切实数值.14定义定义:如果自变量在定如果自变量在定义域内任取一个数值义域内任取一个数值时，对应的函数值总时，对应的函数值总是只有一个，这种函是只有一个，这种函数叫做单值函数，否数叫做单值函数，否则叫多值函数则叫多值函数15例例1 1 求求 y y=arcsin =arcsin 的定义域和值域。的定义域和值域。解：解：函数的定义域为函数的定义域为:得定义域为得定义域为 x 0 0)0
9、)的定义域；的定义域；(2)(2)f f(ln(lnx x)的定义域。的定义域。解解:(1):(1)则则:若若 a a 1/2 1/2，定义域为空集，定义域为空集;若若 a a 1/2 1/2，定义域为，定义域为 a a,1-,1-a a;(2)0ln (2)0ln x x1,1xe1,1xe为定义域。为定义域。x x应取在应取在ax1-a,ax1-a,而而a 1-aa 1-a17例例4 4 判断下列几对函数是否相等判断下列几对函数是否相等.(1)f(x)=2lnx,(x)=lnx(1)f(x)=2lnx,(x)=lnx2 2 ;(2)f(x)=x,(x)=|x|;(2)f(x)=x,(x)=
10、|x|;(3)f(x)=sin(3)f(x)=sin2 2x+cosx+cos2 2x,(x)=1.x,(x)=1.解：解：f(x)f(x)的定义域为的定义域为，(x)(x)的定义域为的定义域为所以它们不相等。所以它们不相等。解：解：f(x)f(x)与与(x)(x)的对应规律不同的对应规律不同 ，所以是不同的函数。，所以是不同的函数。解：解：f(x)f(x)与与(x)(x)的对应规律相同的对应规律相同 ，定义域也相同，定义域也相同，所以所以 f(x)=(x)f(x)=(x)。18 (1)符号函数符号函数几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例1-1xyo19(2)取整函数取整函数 y=xx表示不超
11、过表示不超过 的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4-3-2-1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线20有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(3)狄利克雷函狄利克雷函数数21(4)取最值函数取最值函数yxoyxo22在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.23例例1 1 脉冲发生器产生一个单三角脉冲脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图其波形如图所示所示,写出电压写出电压U U与时间与时间 函数关系式函数关系式.解解单三角脉冲信号的电压单三角脉冲信号的电压24
12、25例例2 2解解故故26oyM-Mxy=f(x)D有界有界无界无界M-MyxoD1函数的有界性函数的有界性:例例 y=sin y=sin2 2x,y=cosxx,y=cosx在（在（-,+)-,+)上均为有界函数上均为有界函数,y=x,y=x y=x,y=x2 2在在(-,+)(-,+)上无界上无界.三、函数的特性三、函数的特性272函数的单调性函数的单调性:xyo例：例：y=x,y=ey=x,y=ex x 在（在（-,+)-,+)内单调增加。内单调增加。xyo283函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数yxox-x29奇函数奇函数yxox-x30例例1 1 判断函数判断函数 的奇偶性的奇偶
13、性.解：解：f(x)f(x)是奇函数是奇函数.例例2 2 设设f(x)f(x)在在R R上定义，证明上定义，证明f(x)f(x)可分解为一个奇函数与可分解为一个奇函数与一个偶函数的和。一个偶函数的和。证明：设证明：设显然显然 g g(x x)是偶函数，是偶函数，h h(x x)是奇函数是奇函数,而而 故命题故命题得得证证.314函数的周期性函数的周期性:（通常说周期函数的（通常说周期函数的周期周期是指其是指其最小正周期最小正周期）.在在(无穷无穷)多个正周期中多个正周期中若若存在一个最小数，此最小数称为存在一个最小数，此最小数称为最小正周期最小正周期。320一个周期函数有无穷多个周期，一个周期
14、函数有无穷多个周期，如如y=sin x，2,4均为周期。均为周期。0一般函数的周期均指最小正周期，但并非所有周期函数一般函数的周期均指最小正周期，但并非所有周期函数都存在最小正周期都存在最小正周期.如如:f(x)=c例例 设设 c c 0,x0,x(-(-,+,+),f(x+c)=-f(x),),f(x+c)=-f(x),证明证明f(x)f(x)为周期函数。为周期函数。证明证明:f(x+2c)=f(x+c)+c)=-f(x+c)=f(x)f(x+2c)=f(x+c)+c)=-f(x+c)=f(x)f(x)f(x)为周期为为周期为2 2c c的函数的函数.事实上事实上,对任何对任何y y(-(-
15、,+,+)都有都有f(x+y)=f(x).f(x+y)=f(x).注意注意33四、反函数四、反函数DWDW习惯上习惯上,反函数反函数 x=(y)写成写成 y=(x)=f 1(x).定义定义1 设有函数设有函数y=f(x)(x X)，其值域，其值域Y=f(X).若对于若对于Y中每一个中每一个y值值,都可由方程都可由方程f(x)=y确定唯一的确定唯一的x值值:x=(y),称称为为y=f(x)的的反函数反函数,记作记作x=f-1(y),读读“f逆逆”。34 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.35例例1 1例例2 2 证明若函数证明若函数 y=y=f f(x)(x
16、)是奇函数且存在反函数是奇函数且存在反函数 x=x=f f 1 1(y),(y),则反函数也是奇函数则反函数也是奇函数。证明：证明：的反函数是的反函数是反函数是奇函数。反函数是奇函数。例例3 3解解:当当x x 0 0时时,y,y 1,1,当当xx0 0时时,y1,x=y-1,y1,x=y-1,36定理：定理：设有函数设有函数y=f(x)，xX,若该函数在若该函数在 X 内严格单调上内严格单调上升升(或下降或下降)则必存在反函数则必存在反函数x=f-1(y)，yf(X)且反函数在且反函数在f(X)内也严格单调上升（或下降）内也严格单调上升（或下降）37例例4 4解解单值函数单值函数,有界函数有界函数,偶函数偶函数,周期函数周期函数(无最小正周期无最小正周期).).不是单调函数不是单调函数,38Z.思考思考39思考题解答思考题解答设设则则故故40