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1、精品资料欢迎下载高等数学第一章函数与极限试题一. 选择题1.设 F(x)是连续函数f(x) 的一个原函数，NM表示“ M 的充分必要条件是N” ，则必有（A） F(x)是偶函数f(x) 是奇函数 . （B） F(x)是奇函数f(x) 是偶函数 . （C） F(x)是周期函数f(x) 是周期函数 . （D） F(x)是单调函数f(x)是单调函数2设函数,11)(1xxexf则（A）x=0,x=1 都是 f(x) 的第一类间断点. （B）x=0,x=1 都是 f(x) 的第二类间断点（C）x=0 是 f(x) 的第一类间断点，x=1 是 f(x) 的第二类间断点. （D）x=0 是 f(x) 的第
2、二类间断点，x=1 是 f(x) 的第一类间断点. 3设f(x)=xx1，x0,1,则f)(1xf= ( ) A）1x B）x11C）X1D）x 4下列各式正确的是 ( ) A）lim0 x)x1+1(x=1B ）lim0 x)x1+1(x=e C）limx)x11(x=-e D）limx)x1+1(x=e 5已知9)(limxxaxax，则a( )。A.1 ；B.；C.3ln；D.3ln2。6极限：xxxx)11(lim( ) A.1 ；B.；C.2e；D.2e7极限：xlim332xx=（）A.1 ；B.；C.0 ；D.2 8极限：xxx11lim0=（）A.0 ；B.；C21；D.2 精
3、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页精品资料欢迎下载9. 极限：)(lim2xxxx=（）A.0 ；B.；C.2 ；D.2110极限 : xxxx2sinsintanlim30=（）A.0 ；B.；C.161；D.16 二. 填空题11极限12sinlim2xxxx= . 12.lim0 xxarctanx=_.13. 若)(xfy在点0 x连续，则)()(limxfxfxx=_；14.xxxx5sinlim0_；15.nnn)21(lim_；16. 若函数23122xxxy，则它的间断点是_17. 绝对值函数xxf)
4、(.0,;0,0;0,xxxxxx其定义域是,值域是18. 符号函数xxfsgn)(. 0, 1; 0, 0; 0, 1xxx其定义域是，值域是三个点的集合19. 无穷小量 是20. 函数)(xfy在点 x0 连续，要求函数y f (x) 满足的三个条件是三. 计算题21. 求).111(lim0 xexxx22. 设 f(e1x)=3x-2,求 f(x)(其中 x0); 23.求lim2 x(3 x)25xx;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页精品资料欢迎下载xxxxf25lg1224.求limx(11xx)x;
5、25.求lim0 x)3(2tansin22xxxx26.已知9)(limxxaxax，求a的值；27. 计算极限nnnn1)321(lim28. 求它的定义域。29. 判断下列函数是否为同一函数：f(x)sin2xcos2x g(x) 1 11)(2xxxf1)(xxg21)(xxf1)(xxg21xxf1)(xxg y ax2 sat230. 已知函数 f(x)x2-1 ，求 f(x+1)、f(f(x)、f(f(3)+2) 31. 求746153lim22nnnnn32. 求221limnnn33. 求)1(limnnn34.求nnnnn3232lim35. 判断下列函数在指定点的是否存在
6、极限2,2, 1xxxxy2x0,310,sinxxxxy0 x36. 31lim3xx37.93lim23xxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页精品资料欢迎下载38.xxx11lim039. 求当 x时，下列函数的极限112323xxxxy40.求当 x时，下列函数的极限11232xxxxy41. 41.xxx3sinlim042.20cos1limxxx43.311limnnn44. nnn211lim45.xxkx)11(lim46. xxx11lim47. xxkx101lim48. 研究函数在指定点的连
7、续性0, 10,sin)(xxxxxf x0 0 49. 指出下列函数在指定点是否间断，如果间断， 指出是哪类间断点。11)(xxf ,x 1 50. 指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。0,00,1)(xxxxf， x51. 指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。0, 10,)(2xxxxf，x52. 证明 f(x) x2是连续函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页精品资料欢迎下载53. xxx)1ln(lim054. xxxxln11lim2155. 试证方程2x33x
8、2 2x3 0 在区间 1,2至少有一根56.xxxx2sinsintanlim3057. 试证正弦函数y = sin x 在 (- , + ) 内连续。58. 函数 f (x) = x = 00 xxxx，；，在点 x = 0 处是否连续？59. 函数)(xf=0001sinxxxx，；，是否在点0 x连续？60. 求极限xaxx1lim0.答案：一.选择题1.A 【分析 】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案. 【详解 】方法一：任一原函数可表示为xCdttfxF0)()(，且).()(xfxF当 F(x)为偶函数时， 有)()(xFxF，于是)()1()(xFxF
9、，即)()(xfxf，也即)()(xfxf，可见f(x) 为奇函数；反过来，若f(x) 为奇函数，则xdttf0)(为偶函数，从而xCdttfxF0)()(为偶函数，可见(A) 为正确选项 . 方法二：令 f(x)=1, 则取 F(x)=x+1, 排除 (B) 、 (C); 令 f(x)=x, 则取 F(x)=221x, 排除 (D); 故应选 (A). 【评注 】 函数 f(x) 与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过. 请读者思考f(x)与其原函数F(x)的有界性之间有何关系? 2. D【分析 】显然 x=0,x=1 为间断点，其分类主要考虑左右极限. 【详解 】由于函数f
10、(x) 在 x=0,x=1 点处无定义，因此是间断点. 且)(l i m0 xfx，所以 x=0 为第二类间断点；0)(lim1xfx，1)(lim1xfx，所以 x=1 为第一类间断点，故应选(D). 【 评 注 】应 特 别 注 意 ：1lim1xxx，.1lim1xxx从 而11limxxxe，.0lim11xxxe精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页精品资料欢迎下载错误 ！3 C4 A5 C 6 C7 A8 Cx时，分母极限为令，不能直接用商的极限法则。先恒等变形，将函数“有理化”：原式= 21111lim)
11、 11()11)(11(lim00 xxxxxxx.（有理化法 ）9 D10 C解原式161821lim)2()cos1(tanlim32030 xxxxxxxx. 注等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极限，不能在代数和的情形中使用。如上例中若对分子的每项作等价替换，则原式0)2(lim30 xxxx.二.填空题11. 2 12. 1 13. 0 14 . 5 15 . 2e16. 2, 1x17 .),(), 018. ),(1 ,0,119 . 在某一极限过程中，以0 为极限的变量，称为该极限过程中的无穷小量20 . 函数 y f (x) 在点 x0 有定义； x x0 时极限)(lim0
12、 xfxx存在；极限值与函数值相等，即)()(lim00 xfxfxx三. 计算题21 . 【分析 】型未定式，一般先通分，再用罗必塔法则. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页精品资料欢迎下载【详解 】)1(1lim)111(lim200 xxxxxexexxxex=2201limxexxxx=xexxx221lim0=.2322lim0 xxe22.f(x)=3lnx+1 x0 23.e324.e225.6126.3ln; 27. 3 28. 解：由 x2解得x-2 由 x解得x由 5 x解得x2.5 函数的定义
13、域为 x2.5 x-2 且 x1或表示为（ 2.5,1 ）（ 1,-2 ）29. 、是同一函数，因为定义域和对应法则都相同，表示变量的字母可以不同。不是同一函数，因为它们的定义域不相同。不是同一函数，因为它们对应的函数值不相同，即对应法则不同。 30. 解： f(x+1)(x+1)2-1 x2+2x，f(f(x)f(x2-1) (x2-1)2-1 x4-2x2 f(f(3)+2)f(32-1+2) f(10) 99 31 . 解：222222n22746153lim746153lim746153limnnnnnnnnnnnnnnnn210060031lim71lim46lim1lim1lim5
14、3lim22nnnnnnnnnn32. 解：212lim2)1(lim21lim2222nnnnnnnnnnn33 . 解：nnnnnnnnnn1)1)(1(lim)1(lim精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页精品资料欢迎下载01lim1lim1lim111lim11limnnnnnnnnnnnnn34 . 解：110101lim)32(lim1lim)32(lim1)32(1)32(lim3232limnnnnnnnnnnnnnn35 . 解：因为3lim,2lim22yyxx，yyxx22limlim所以函数在
15、指定点的极限不存在。 因为0031lim,00sinlim00yyxx，yyxx00limlim所以函数在指定点的极限0lim0yx36 . 613313limlim1lim31lim3333xxxxxx37 . 6131lim333lim93lim3323xxxxxxxxx38 . 21111lim) 11(lim) 11() 11)(11(lim11lim0000 xxxxxxxxxxxxxx39 . 323323111112lim112limxxxxxxxxxx20010021lim1lim1lim1lim1lim2lim323xxxxxxxxxx40. 323232111112lim1
16、12limxxxxxxxxxxx00010001lim1lim1lim1lim1lim1lim23232xxxxxxxxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页精品资料欢迎下载41. 3333sinlim3sinlim00 xxxxxx42.2122sinlim21)2(42sin2limcos1lim2022020 xxxxxxxxx43. =eennnnn1)11 (lim)11(lim344.22211lim11limennnnnn45. kkkxxkkxxekxkx11111lim11lim46.11111
17、lim11limexxxxxx47.kkkxxekx101lim处连续。在函数而解0)0()(lim1)0()(1sinlim)(lim.480000 xfxffxfxxxfxxxx49. 间断，函数在x1 处无定义且左右极限不存在，第二类间断点50. 间断，函数在x0 处左右极限不存在，第二类间断点51. 间断，0)(lim0 xfx但 f(0)1，两者不相等，第一类间断点52. 证明：x0( , ) 因为2022)lim(lim)(lim000 xxxxfxxxxxx，f(x0)=x02所以)()(lim00 xfxfxx因此，函数f(x)x2是连续函数。精选学习资料 - - - - -
18、- - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页精品资料欢迎下载53.1ln)1(limln)1ln(lim)1ln(lim:10100exxxxxxxxx解54. 002ln1limln11lim:121xxxxxxx解55 . 证明：设f(x) 2x33x22x3，则 f(x) 在 1,2 上连续， f(1) 20 根据零点定理，必存在一点(1,2) 使 f( ) 0，则 x就是方程的根。56. 原式161821lim)2()cos1(tanlim32030 xxxxxxxx57.证x (- , + ) ，任给 x 一个增量 x，对应的有函数y 的增量y =
19、 sin(x+x)- sin x = )2cos(2sin2xxx. xxxy222sin20，由夹逼准则知，y 0 （ x0） ，再由 x 的任意性知正弦函数y = sin x 在其定义域(- , +) 上处处连续，即它是连续函数。58. 解注意 f (x)是分段函数，且点0 x两侧 f 表达式不一致。解法 1f (0 - 0 ) =0)(lim0 xx，f (0 + 0 ) =0lim0 xx，0)(lim0 xfx. 又 f (0 ) = 0， 函数 f (x) = x 在点 x = 0 处连续（图119） 。解法 2 )0(0)(lim)(lim00fxxfxx， 函数在点0 x左连续
20、；又)0(0lim)(lim00fxxfxx， 函数在点0 x右连续， 所以函数在点0 x连续。59.证虽然 f 是分段函数，但点x= 0两侧函数表达式一致。)0(01sinlim)(lim000fxxxfMxx，)(xf在点 x = 0 处连续60.解令 a x 1 = t，则 x = loga (1+t ) ，当 x0 时， t0, 原式aetttatatatlnlog1) 1(log1lim)1(loglim100. 特别地，11lim0 xexx，这表明x 0 时， x ex - 1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页