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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载高等数学第一章函数与极限试题一. 挑选题1.设 Fx是连续函数fx 的一个原函数,MN表示“M 的充分必要条件是N”,就必有名师归纳总结 （A ） Fx 是偶函数fx 是奇函数 . 3. 第 1 页,共 10 页（B） Fx是奇函数fx 是偶函数 . （C） Fx是周期函数fx 是周期函数 . （D） Fx 是单调函数fx 是单调函数2设函数fx1,就xex11（A ）x=0,x=1 都是 fx 的第一类间断点. （B）x=0,x=1 都是 fx 的其次类间断点（C）x=0 是 fx 的第一类间断点,x=1 是 fx 的其次类
2、间断点（D）x=0 是 fx 的其次类间断点,x=1 是 fx 的第一类间断点. x113设fx=x,x 0,1,就ffx= A）1x B）11xC）1D）x X4以下各式正确选项 A）lim x 0 1 +1x=1B） lim x 0 1 +1x=e xxC）lim x 11x） lim x 1 +1x=e =-e Dxx5已知lim xxa9,就 a ；xxaA.1 ；B.；C.ln3；D.2ln6极限：lim xx1 1x xA.1 ；B.；C.e2；D.e27极限：xlimx332=（）xA.1 ；B.；C.0 ；D.2 8极限：x lim 0x1 x1=（）A.0 ；B.；C1 ；D
3、.2 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 9. 极限：x limx2xx=（精品资料）欢迎下载A.0 ；lim x 0B.；x=（C.2 ；D.1 3sin 2 x2tan xsin10极限 : ）A.0 ；B.；C.1 ；16D.16 二. 填空题11极限lim xxsinx2 x1= . x；212. lim x 0arctanx=_.x13. 如yfx在点x 连续,就lim x xfxfx=_14.lim x x 0sin5x_；x15.lim n 12n_；n16. 如函数yx2x23 x12,就它的间断点是_17. 肯定值函数fx xx,x0
4、;0,x0;x,x0.其定义域是,值域是,1x;018. 符号函数fxsgnx,0x;0,1x.0其定义域是,值域是三个点的集合19. 无穷小量 是20. 函数yfx在点 x0 连续,要求函数y f x 满意的三个条件是三. 运算题名师归纳总结 21. 求lim x 01x1 x.其中 x0; 第 2 页,共 10 页1ex22. 设 fex1=3x-2,求 fx23.求 lim23 xx5x2;- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 24.求 lim xx1x ;精品资料欢迎下载x125.求 lim0tansinx23 x2x x226.已知lim xxa
5、x9,求 a 的值；xa127. 运算极限 lim n 1 2 n3 n n28. 求f x x 2 lg 5 2 x 它的定义域；29. 判 x 1 断以下函数是否为同一函数： fxsin 2xcos 2x gx 1 2 f x x 1g x x 1x 12 f x x 1 g x x 12 f x x 1 g x x 1 y ax 2 sat 230. 已知函数 fxx 2-1 ,求 fx+1、ffx、ff3+2 231. 求n lim6 3n n24 5n n 171 2 n32. 求 n limn 233. 求 lim n 1 n nn n2 334. 求n lim2 n3 n35.
6、判定以下函数在指定点的是否存在极限名师归纳总结 36. y33xx,1x2x2ysinx ,x00x0第 3 页,共 10 页1x ,xx ,2lim x 3 x1337.x lim x 3 x 29- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 38.lim x 01x1精品资料欢迎下载x39. 求当 x时,以下函数的极限y2x3x21x3x140.求当 x时,以下函数的极限y2x2x1 141. x3x41.lim x 0sin3 xx42.lim x 01cosxx243.lim n11n3n44. lim n112nn45.lim x 11xkx46. li
7、m x11xx47. lim x 01kx1x48. 讨论函数在指定点的连续性fx sinx,x0 x0 0 fx x11 ,x 1 x,1x0假如间断, 指出是哪类间断点；49. 指出以下函数在指定点是否间断,50. 指出以下函数在指定点是否间断,假如间断,指出是哪类间断点；fx 1,x0, xx0 ,x051. 指出以下函数在指定点是否间断,假如间断,指出是哪类间断点；名师归纳总结 fx x2,x00,x第 4 页,共 10 页,1x52. 证明 fx x2 是连续函数- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 53. lim x 0ln 1x 精品资料欢迎
8、下载x2x 154. limx 1 x 1 ln x55. 试证方程 2x 33x 2 2x3 0 在区间 1,2 至少有一根56. x lim 0 tansin x3 2 sinx x57. 试证正弦函数 y = sin x 在 - , + 内连续；58. 函数 f x = x = x,x 0；在点 x = 0 处是否连续？x,x 059. 函数 f x = x sin 1x,x 0；是否在点 x 0 连续？0,x 060. 求极限 lim x 0 axx 1 .答案：一.挑选题1.A 【分析 】 此题可直接推证,但最简便的方法仍是通过反例用排除法找到答案 . x【详解 】方法一：任一原函数
9、可表示为 F x 0 f t dt C,且 F x f x .当 Fx 为偶函数时, 有 F x F x ,于是 F x 1 F x ,即 f x f x ,x也即 f x f x ,可见 fx 为奇函数；反过来,如 fx 为奇函数,就0 f t dt 为偶函x数,从而 F x 0 f t dt C 为偶函数,可见 A 为正确选项 . 方法二：令 fx=1, 就取 Fx=x+1, 排除 B 、C; 令 fx=x, 就取 Fx= 1 x , 排除 D; 2故应选 A. 【评注 】 函数 fx 与其原函数 Fx 的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过 . 请读者摸索fx 与 其 原 函 数 Fx 的
10、 有 界 性 之 间 有 何 关 系 . 2. D【分析 】明显 x=0,x=1 为间断点,其分类主要考虑左右极限 . 【详解 】由于函数 fx 在 x=0,x=1 点处无定义,因此是间断点 . 且 l i m x 0 f x ,所以 x=0 为其次类间断点；lim f x 0,lim f x 1,所以 x=1 为第一类间断点,故应选 D. x 1 x 1x【 评 注 】应 特 别 注 意 ：lim x,lim x . 从 而 lim e x 1,x 1 x 1 x 1 x 1 x 1x名师归纳总结 lim x 1ex10 .第 5 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 -
11、- - - - - - - - 精品资料 欢迎下载3 C4 A5 C 6 C7 A8 Cx时,分母极限为令,不能直接用商的极限法就；先恒等变形,将函数“ 有理化”：原式 = lim x 0 xx 1 x 1 1 x1 1 1 lim x 0 x 11 1 12 .（有理化法 ）9 D10 C解 原式 lim x 0 tan x 2 1x cos3 x lim x 0 x8 12x 3 x 216 1 . 注 等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极限,不能在代数和的情形中使用；如上例中如对分子的每项作等价替换,就 错误 ！原式 lim x 0 x2 x x3 0 .二.填空题11. 2 无穷小量1
12、2. 1 13. 0 14 . 5 15 . e216. x,1217 .,018. ,1,01, 19 . 在某一极限过程中,以0 为极限的变量,称为该极限过程中的20 . 函数 y f x 在点 x0 有定义； x x0 时极限x lim x0fx存在；极限值与函数值相等,即x lim x 0fxfx0三. 运算题名师归纳总结 21 . 【分析 】型未定式,一般先通分,再用罗必塔法就. 第 6 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【详解 】lim x 01x1精品资料x2欢迎下载x=lim x 0xx2x1exlim x 0x1e1e
13、xxx 1ex222.=lim x 012xxex=lim x 02ex3.222f x=3lnx+1 x0 23.3e24. e 225.13; 6 ln26.27. 3 28. 解：由 x2解得 x-2 由 x 解得 x 由 5 x解得 x2.5 函数的定义域为 x2.5 x-2 且 x 1或表示为（ 2.5,1 ）（ 1,-2 ）29. 、是同一函数,由于定义域和对应法就都相同,表示变量的字母可以不同；不 是同一函数,由于它们的定义域不相同；不是同一函数,由于它们对应的函数值不相同,即对应法就不同；名师归纳总结 30. 解： fx+1x+12-1 x 2+2x,5n1n lim3151第
14、 7 页,共 10 页ffxfx2-1 x2-12-1 x4-2x2 ff3+2f32-1+2 f10 99 31 . 解：n lim3n25n1n lim3n2n2n 42 n76n24n76n24n76n2n201nlim n35lim n1lim n130n2 1n 1lim n64lim n7lim n60021nnn2n2nnn1 n lim32. 解：n lim12n2nn lim2 2 n12n22n33 . 解：n limn1nn limnnn1n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - n limn1nn lim精品资料1欢迎下载n lim1
15、n lim101nn1n1n limn1nn34 . 解：lim n2n3nlim n2n1n lim2nn lim10113 23 22n3nn1n limnn lim1013335 . 解：lim x 2y2 ,lim x 2y3,lim x 2ylim x 2y由于所以 函数在指定点的极限不存在；名师归纳总结 36 . lim x 3 由于lim x 0ysin00 ,lim x 0y1100,lim x 0y1lim x 0y第 8 页,共 10 页3所以 函数在指定点的极限lim x 0y01lim x 3 111x3lim x 3xlim x 33336lim x 3x3lim x
16、 3xx33lim x 3x13137 . x293x6x1lim x 01111x1lim x 01x1 1x1lim x 0x lim x 038 . xx 1x1xx22x3x211lim x21139 . lim xxx33xx111x2x3lim x2lim x1lim x12002x 13 x140. lim xlim x1lim xlim x100x23 x2x2x1lim x211xx 12x 13x3x11x2x32lim x1lim x x 121 lim x x 2lim x x 131 lim x x 30000xlim x1100- - - - - - -精选学习资料
17、 - - - - - - - - - 41. lim x 0sin3 xlim x 0sin3 x33精品资料欢迎下载x3x名师归纳总结 42.lim x 01cosxlim x 02sin2x1lim x 0sinx21第 9 页,共 10 页22x24x2x222243. =lim n 11neen 1lim n131n44.lim n11n2lim n11n2e2nn45. lim x11kx1lim x11kx1e1kkkkxkx46.lim x11x1lim x11x1e1xx47.lim x 01kx1kk ekx48.解lim x x0fxlim x0sinx1x而fx0f01l
18、im x0fxf0函数在x0处连续；49. 间断,函数在x1 处无定义且左右极限不存在,其次类间断点50. 间断,函数在x0 处左右极限不存在,其次类间断点51. 间断,lim x 0fx 0但 f0 1,两者不相等,第一类间断点52. 证明：x0 , 由于x lim x 0fx x lim x 0x2x lim x0x2x02,fx2 0=x 0所以lim x x 0fx fx 0因此,函数fxx 2 是连续函数；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 53.解:lim x 0ln1x 精品资料x1欢迎下载 1x1lne1lim x 0ln 1xlnlim
19、 x 0xx54. 解:lim x 1x21lnxlim x 1x1lnx200x155 . 证明：设 fx 2x33x22x3,就 fx 在 1,2 上连续, f1 20 依据零点定理,必存在一点 就 x 就是方程的根； 1,2 使 f 0,56. 0原式lim x 0tanx 1cosxlim x 0x1x212 8 x2x331657.证x - , + ,任给 x 一个增量 x,对应的有函数y 的增量 y = sin x + x- sin x = 2sinx 2cosxx 2. y2sinx 22xx,由夹逼准就知,y 0 （ x0）,再由 x 的任意性知2正弦函数 y = sin x
20、在其定义域- , + 上到处连续,即它是连续函数；名师归纳总结 58. 解留意 f x是分段函数,且点x0两侧 f 表达式不一样；0连续；第 10 页,共 10 页解法 1f 0 - 0 =lim x 0x0,f 0 + 0 =x lim 0x0,lim x 0fx0. 又 f 0 = 0, 函数 f x = x 在点 x = 0 处连续（图119）；解法 2 lim x 0fx lim x 0x 0f0 , 函数在点x0左连续；又x lim 0fx x lim 0x0f0 , 函数在点x0右连续, 所以函数在点x59.证虽然 f 是分段函数,但点x = 0 两侧函数表达式一样；x lim 0fx x lim 0xsin1 xM00f0,f x 在点 x = 0 处连续60.解令 a x1 = t,就 x = log a 1+t ,当 x0 时, t0, 原式lim t 0logat t1 lim t 0loga1111elna. tlogat特殊地,lim0exx11,这说明 x 0 时, x ex - 1. - - - - - - -