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1、第第 1010 讲讲等效原理与感应定理等效原理与感应定理10.110.1 等效原理等效原理电磁场问题的解是由方程和边界条件决定的。也就是说，如果保持区域中的源分布、媒质分布以及区域边界上的边界条件不变，则场分布不变。这些便是电磁场等效原理的基础。唯一性定理告诉我们，只要知道了所规定区域v中的源、媒质及包围该区域的闭合曲面s上的切向电场或切向磁场则该区域中的场唯一确定。这里并未提及区域v外的源和媒质的分布情况。事实上，区域v外的源对区域v内的场的贡献已包含在曲面s上的切向电场或切向磁场中。区域v外不同分布的源只要在闭合曲面s上产生相同的切向场，在区域v内产生的场也相同。等效的概念是这样表述的：在
2、区域v外具有不同源分布和媒质分布，而在区域v内源分布和媒质分布相同的一些电磁场问题如果在区域v内具有相同的场分布，则对区域v内而言这些电磁场问题是等效的。考虑如图 10-1(a)所示的场问题。J2M2Ea,HaJ1 nJ2M2Ea,Ha nsEa,Hav1M1sv2v2v1Eb,HbMsJs(a)(b)图 10-1等效原理(a)原问题(b)等效问题曲面s将区域分成两部分v1和v2。原问题在s上满足n(Ha Ha)0（10-1）(Ea Ea)0n Han Ha n（10-2）Ean Ea n即在s上不存在源。将（10-1）写为虽然在数学上（10-2）只是（10-1）变化而来的恒等式，似乎很无聊，
3、但反映的物理内含是不同的。（10-1）表示的是区域v1和v2的交界面边界条件，而（10-2）表示的是包围区域v1或v2的闭合曲面的切向场边界条件。如果人为地令区域v1中场为Eb、Hb，而v2中源、媒质和场分布保持不变，如图10-1(b)所示。设在曲面s上式中，Js和Ms分别表示在曲面s上区域v1和v2中的切向磁场和电场的差值。n(H H)Jabs（10-3）(Ea Eb)Msn根据两区域交界面的边界条件可知，Js和Ms就是在曲面s上的面电流源和面磁流源。所以，为了支持如图 10-1(b)所示的场分布，在s面上应人为地加上面电流源Js和面磁流源Ms:Js n(Ha Hb)（10-4）(Ea Eb
4、)Ms n实际上，Js和Ms的作用是，它们在v2中产生的场恰好抵消了v1中的变化对v2中场的影响，使v2中的场保持不变。如果把s面看成包围v2的闭合曲面，则由（10-3）和（10-4）得s面上的切向场满足 Ha Js n Hb n Ha（10-5）nn Ea Ms n Eb n Ea（10-6）与（10-2）相同。所以对于区域v2来说，图 10-1(b)与图 10-1(a)的问题等效。注意，在上述讨论中并未涉及v1中源和媒质分布，即它们可以随意设定，这对分析是很有好处的。下面讨论几种常用的特殊情况下的等效原理。LoveLove 场等效原理场等效原理令图 10-1(b)中区域v1中的场为零场，则
5、s面上的等效面流为Js nHa（10-7）EaMs n情况 1：设v1中媒质分布与v2中相同，即2、2,则等效问题就是自由空间中均匀填充2、2的源辐射问题。情况 2：设v1中填充理想导体。注意s面即不属于v1也不属于v2，而是无限靠近两区域。所以这时Js和Ms是无限靠近理想导体。根据互易定理，这时Js是不产生电磁场的。所以这时s面上起作用的只有面磁流Ms。情况 3：设v1中填充理想磁体。这时面磁流Ms不产生场，起作用的只有面电流Js。情况 2 和 3 也印证了电磁场唯一性定理，只需切向电场或切向磁场之一就可以唯一确定场。多区域等效原理多区域等效原理下面介绍更一般的等效原理，多个区域等效于多个原
6、有问题。为方便起见，不失一般性，这里只考虑双区域等效原理。Ea,Ha nEb,Hbsv2v1sv2Ea,Hav1Eb,Hb n(a)(b)如图（10-2a）、（10-2b）分别表示两个电磁场原问题 a 和 b。现在建立一个等效问题，在s面之内等效于原问题 a，在s面之外等效于原问题 b。建立方法如下：在s面之外规定场、媒质和源分布与 a 问题相同，在s面之内规定场、媒质和源分布与 b 问题相同。Ea,Hasv2v1Eb,Hb nEb,HbMs nJssv2Ea,Hav1JsMs(c)(d)图 10-2 双区域等效原理(a)原问题 a(b)原问题 b(c)等效于s面外的 a 和s面内的 b(d)
7、等效于s面外的 b 和s面内的 a为了支持这样的场，在s面上必须有面电流Js和面磁流Ms。根据边界条件，这些表面流是(Ha Hb)Js n（10-8）Ms n(Ea Eb)图（10-2c）显示了这一等效问题。对于问题a 而言，等效表面流恰好抵消了s面以内区域的变化对s面外区域的影响。而对于原问题 b 而言，等效表面流恰好抵消了s面以外区域内的变化对s面以内区域的影响。用类似的方式可建立另一个问题，等效于s面之外的 b 问题和s面之内的 a 问题，如图（10-2d）所示。注意，在每一种情况中，对于等效场的区域内，必须保证原有的源和媒质。现在，我们已清楚了等效原理的一般过程。确定等效表面流的依据是
8、：当唯一性条件满足时，场与源之间是一一对应的。如果规定了空间内每一处的场和媒质，就能确定产生这一场的源。各种等效性就是用此方式导出的。上述场的等效原理可以类比于电路中的等效原理。考虑图 10-3(a)所示的两个网络。就网络 a 而言，建立其等效问题方法如下：设从网络连接口向网络 b 看去的无源输入阻抗（网络 b 中的电压源短路，电流源开路）为Zb。把网络 b 用输入阻抗Zb替代，在Zb与网络 a 之间串接等于原问题中连接口两端电压的电压源，连接点之间并接等于原问题中流过连接口的电流的电流源，如图10-4(b)所示，这类似于图 10-1(b)。由于源阻抗并未受激励，所以可以用任意阻抗代替而不影响
9、到网格 a 的激励。(a)(b)IV+I网络网络b b+V网络网络a aZb网络网络a a这类似于在图 10-1(b)的等效场中在s内任意填充媒质。特别在源阻抗改为短路时，将电流源开路，只留下电压源激励网格 a，如图 10-3(c)所示，这类似于 Love 场等效原理中的情况 2。如果源阻抗改为开路，只留下电流源来激励无源网络，如图 10-3(d)所示，这类似于 Love 场等效原理中的情况 3。+V网络网络a aI网络网络a a(c)(d)图 10-3 电路等效原理(a)原问题(b)一般等效源(c)输入阻抗短路(d)输入阻抗开路等效原理对于分析电磁孔隙问题特别有用。例 10-1如图 10-4
10、 所示，一同轴线通向无限大接地导电平面。求此同轴线在z 0半空间的辐射场。图 10-4同轴线通向无限大接地导电平面x同轴线ba导体板zy E，而在孔以在封闭的孔隙面上只有面磁流起作用。在孔隙面同轴线一侧，等效磁流为Ma M n)E，即Mb Ma。这里E为原孔隙处的电场。等效磁流隙面半空间一侧，等效磁流为Mb(n的设置已保证了在孔隙面上切向电场连续。还应保证在孔隙面上切向磁场连续，即在孔隙面上满足解：首先利用等效原理将原问题分成两个等效问题如图 10-5(a)和(b)所示。孔隙面用导体封闭，所aibH(M)H H(M)（10-9）iab其中H是同轴线中的传输场。H,H分别是Ma和Mb在同轴线和半
11、空间中产生的磁场。由于Hb为线性场bbH(M)H(M)abi所以有H(M)H(M)H（10-10）MM上式正是确定的方程。一般为积分方程。一旦确定了，则同轴线和半空间中的场也就可以确定了。x同轴线bax导体板xMsz Msz2Mszyyy（a）(b)(c)图 10-5 等效原理应用(a)区域 a 等效（同轴线）(b)区域 b 等效（半空间）(c)自由空间中的圆环磁流如何确定M构成了求解孔隙问题的各种方法，如 Bathe 小孔耦合理论，矩量法等。一种更近似的方法是用同轴线中的传输场（TEM 模）近似口面上的场，从而避免了求解（10-10）。于是VE Eblga式中，V 为同轴线内外导体间电位差。
12、等效磁流为M n E z E E这是一个圆环磁流，如果b（波长），则是一个小圆环磁流。我们知道，小圆环电流可以等效为磁流元。应用对偶原理，可知小圆环磁流可以等效为电流元Il，且Il jKS,总电矩bVV(b2a2)d d KS dK M bblgaa2lga22故等效电流元为Il jKS jV(b2a2)2lgba应用镜像法，把图 10-5(b)的问题等效为面磁流在无限大自由空间的辐射问题，如图 10-5(c)所示。于是所要求解的辐射场为2 jIl jkrk2V(b2a2)Eesinsine jkr4r4rlgba0,0=120H00E利用等效原理研究孔隙问题虽然并未直接产生解，但把一个复杂问
13、题分离成只个相对简单的问题，使分析和计算简化。10.210.2 感应定理感应定理感应定理的原理与等效原理是一致的。实质上感应定理也是等效原理的一种特殊应用。考虑如图 10-6(a)所示的障碍物散射问题。E Ei EsH Hi Hs障碍物障碍物S nEs，Hs感应电流感应电流 nEs，HsE，HMs nEi nSSJs nHiEiMs n(a)(b)(c)图 10-6 感应定理(a)原问题(b)散射场(c)等效感应设入射场（无障碍物时源产生的场）为Ei,Hi，障碍物的散射场为Es,Hs，则有障碍物时源辐射的总场为在障碍物之外，E,H和Ei,Hi都有相同的源，Es,Hs是障碍物的散射场，可以想象为
14、障碍物上的感应电流产生的。在障碍物之外Es,Hs是无源场。如图 10-6(b)所示。根据等效原理，可建立如下的等效问题；在障碍物内保留原有场E,H及媒质分布。在障碍物之外为散射场Es和Hs。这样两个区域均无源。为了支持这样的场，s面上就必须有等效表面流Js n(Hs H)（10-12）(Es E)Ms nE Ei Es（10-11）H Hi HsJs n Hi将（10-11）代入得（10-13）EiMs n表面流Js,Ms在障碍物之外产生散射场Es，Hs，在障碍物之内则产生总场E和H。感应定理与等效原理的不同处在于：前者的表面流是已知的，而后者的待求（利用切向磁场连续条件）。前者的障碍物必须保
15、留，既不能改变原问题的媒质分布而后者非等效区域的媒质可任意设定。Es。由于在如果障碍物是理想导体时，障碍物内E和H为零，所以在s面上等效磁流Ms n E 0即n Es n Ei，所以Ms n Es n Ei仍满足（10-13）。这反映了导体表面上n理想导体对场产生全反射。这时面电流Js不起作用。例 10-2计算大导电平面的雷达散射截面。如图 10-7(a)所示，一平面波垂直入射到位于z 0的大导。体平面上，入射场为Ei E0e jkzxE Ei EsH Hi Hs0Es，HszMs0Es，HsMs2Msz0zyyy(a)(b)(c)图 10-7导电平板的散射(a)原问题(b)等效感应(c)镜像
16、法解：根据感应定理，在z 0空间的散射场是由导电板表面等效磁流所产生的:Ms n Ei z0 z Ei E0y如图 10-7(b)所示。为了求导电平板面磁流在z 0空间产生的场，可近似认为面磁流是放在无限大导电平板上，于是在z 0空间产生的场，于是，可应用镜像法，把图 10-7(b)变成无限大均匀空间面磁流2Ms 2E0y在远区面磁流单元产生的场为dExs面磁流在远区产生的总的散射场为jk2Msds jkrjkE0ds jkre e4r2rExsdExs sjkE0A jkre（10-14）2r雷达散射截面定义为Ss2Ae lim4r（10-15）rSi式中，Si为入射波平均功率密度，Ss为散射波平均功率密度。对于均匀平面波*112SiEi HiE0220Ss所以Ae*11EsHsEs22042kE0A2r2k2A22A2（10-16）习题习题 101010-1 试利用等效原理，计算如图 10-7 所示的通向接地导电平面的矩形波导开口端的辐射场（假定开口端的Ey为TE10波的电场）。答案：zbjbE0e jkraHsin(kcossin)x2r2bcos(kcos)22cos(kbcos)2ay图 10-7 矩形波导通向无限大导电平面