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1、【中学数学教案】立体几何立体几何教案教案一，一，空间直线与直线的关系空间直线与直线的关系 a a，相交，相交 b b，平行，平行 c c，异面，异面 a,a,相交直线相交直线空间中空间中平行于同一条直线的两条直线平行平行于同一条直线的两条直线平行 b,b,平行公理：平行公理：c,c,异面直线：异面直线：1 1，求异面直线所成角问题，求异面直线所成角问题 注：利用平注：利用平行公理找角，利用余弦定理计算，结果要锐角或直角行公理找角，利用余弦定理计算，结果要锐角或直角 0 0 090090 异面直线所成角的范围异面直线所成角的范围,平移法利用平行公理把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角平移法利
2、用平行公理把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角 CCABDBABCD CCABDBABCD B B 和和 C C例：正方体例：正方体中，中，E E，F F 分别是中点，则直线分别是中点，则直线 AE111111AE111111和和 BFBF 所成角的余弦值所成角的余弦值 补形法补形法补形：底面是直角三补形：底面是直角三角形的直三棱柱可以补成一个长方体角形的直三棱柱可以补成一个长方体 CABCAB例：在直三棱柱例：在直三棱柱中，中，点分别是，点分别是9090DFDF ABCABC,BCABCA1111111111C CCABACABA中点，中点，BC=CA=BC=CA=，则所成角的余弦值，则
3、所成角的余弦值C CDF,BDF,B与与 A A1 1111111111111 13030151303015A A、B B、C C、D D、21015102101510 2 2，求异面直线之间的距离问题，求异面直线之间的距离问题和两条异面直线垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线，和两条异面直线垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线，公公垂线夹在两条异面直线之间的长度叫做异面直线的距离。垂线夹在两条异面直线之间的长度叫做异面直线的距离。二，二，空间直线和平面关系空间直线和平面关系 a,a,直线与平面平行直线与平面平行 b,b,直直线与平面垂直线与平面垂直 c,c,直线与平面斜交直线与平面斜交射影定理和
4、三垂线定理射影定理和三垂线定理a,a,线面平行线面平行1 1，判定定理：判定定理：若平面外一条直线和这个平面内若平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行。的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行。2 2，性质定理：性质定理：若一条直线和一个平面平行，则过这条直线的平面和这个已知若一条直线和一个平面平行，则过这条直线的平面和这个已知平面的交线必和这条直线平行。平面的交线必和这条直线平行。b,b,线面垂直线面垂直1 1，判定定理：判定定理：I,I,若一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直若一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直。线和
5、这个平面垂直。II,II,若两条平行直线中的一条垂若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。2 2，性质定理：性质定理：I I，若两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行。，若两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行。II，过一点能且仅能做一条直线与一个平面垂直。c,c,射影射影定理定理1，射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长。2，相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长。3，垂线段比任何一条斜线段都短。d,d,三垂线定理三垂线定理1，平面内的一条直线，若和斜线在平面内的射影垂直，则这条直线和斜线垂直。2，平
6、面内的一条直线，若和平面的斜线垂直，则这条直线和斜线在平面内的射影垂直。三，三，空间平面和平面的关系空间平面和平面的关系 a,面面平行 b,面面垂直 c,面面斜交 a,a,面面平行面面平行1，判定定理：I，如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。II，垂直于同一条直线的两个平面平行。III如果一个平面上的两条相交直线分别和另一个平面上的两条直线平行，那么这两个平面平行。2，性质定理：I，如果两个平行平面分别和第三个平面相交，那么它们的两条交线平行。II，夹在两个平行平面间的平行线段的长相等。III，如果两个平行平面中，有一个平面和一条直线垂直，那么另一个平面也和这条
7、直线垂直。b,b,面面垂直面面垂直1，定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直。2，判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。3，性质定理：I，如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。II，如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。III，如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面。c,c,二面角二面角定义：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角
8、。这条直线叫做二面角的棱。二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，两条线所成的角叫做二面角的平面角。空间直线，空间直线，平面的做题方法。平面的做题方法。一、一、空间平行关系转化图及相关空间平行关系转化图及相关定理定理面面平行判定定理推论线面平行面面平行线面平行面面平行判定定理判定定理平行判定定理判定定理平行 公理公理 线 线 平 行 线 线 平 行 线 面 平 行 面 面 平 行 线面平行面面平行线面平行面面平行 性质定理基本性质性质定理基本性质面面平行性质定理I I，线面平，线面平行的判定方法行的判定方法 利用线线平行证线面平行利用线线平行证线面
9、平行 平行关平行关系转画图系转画图 利用面面平行证线面平行利用面面平行证线面平行 向量法向量法（后面讲）（后面讲）线面平行定义线面平行定义:直线与平面没有公共点直线与平面没有公共点II II，线线平行关系的判定，线线平行关系的判定常见的线线平行的判断方法有常见的线线平行的判断方法有平行公理平行公理 平行关系转平行关系转画图画图从线面平行到线线平行从线面平行到线线平行 从面面平行到线面平行从面面平行到线面平行 三角形，平行四边形（菱形，矩形，正方形）梯形三角形，平行四边形（菱形，矩形，正方形）梯形中位线性质中位线性质 在找三角形中位线是常常利用平行四边形（菱形，矩形，正方形）对角线互相平分在找三
10、角形中位线是常常利用平行四边形（菱形，矩形，正方形）对角线互相平分 利用平行线分线段利用平行线分线段成比例定理推论找平行线成比例定理推论找平行线 平行于三角形一边，截其它两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例平行于三角形一边，截其它两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例DEDEBCBCA AADAEADAE D DBEC E ADAEDE D DBEC E ADAEDE ABACBCABACBC 注：反之任取一组比例式可推得注：反之任取一组比例式可推得 DEDEBCBC B C B C E D E DDEDEBC ABC ADAEADEDAEADE ACABBCACABBC 注：反之任取一
11、组比例式可推知注：反之任取一组比例式可推知 DE DEBCBCB C B C 向量法（后面讲）向量法（后面讲）垂直于同一平面的垂直于同一平面的两条直线平行两条直线平行 例例 如图所示：已知如图所示：已知 E E，F F，G G，MM 分别是四面体的棱分别是四面体的棱 ADAD，CDCD，BDBD，BCBC 的中点，求证：的中点，求证：AM|AM|面面 EFGEFG A AE G B N M N CE G B N M N C设计说明：可以通过面面平行证线面平行设计说明：可以通过面面平行证线面平行 CABDBB CABDBB 例例 已知正方体已知正方体 ABCD-ABCD-，棱长为，棱长为 a,E
12、,Fa,E,F 分别在，分别在，BDBD 上，且上，且 AE AE BF111111BF111111CBCB求证：EF|平面BC11BC11法一：D C F M 本题证明从线线平行到线面平 A B行。在找线线平行时应用平行线分线段成比例定理推论DCDC1111 EAB11AB11法二：D C F G A 法二也是从线线平行到线面平行，B 做平行线构造平行四边形证线线平行D DC C H1111 EABAB1111 III III面面平行关系的判定面面平行关系的判定面面平行判定方法面面平行判定方法 利用利用例 三棱柱 ABC-，D 是 BC求证：平面|平面线面平行证面面平行线面平行证面面平行 平
13、行关系转画图平行关系转画图 利用线线平行证面面平行利用线线平行证面面平行 向量法（后面讲）向量法（后面讲）垂直于同一直线的两垂直于同一直线的两个平面平行个平面平行 面面平行的定义：两个平面没有公共点面面平行的定义：两个平面没有公共点CCCABBADADCCCABBADAD上一点，且|平面，是中点，B111CABDB111CABDB11111111CADADB11111111CADAD例 1 如图所示正方体 ABCD-的棱长都是 a,M,N 分别是下底面棱1111CABB,1111CABB,11111111a a的中点，的中点，P P 是上底面棱是上底面棱 ADAD 上一点，上一点，AP=AP=
14、，过，过 P P，MM，N N 的平面的平面交上底面于交上底面于 P P，Q Q，Q Q 在在3 3CDCD 上，则上，则 PQ=PQ=Q D P C A B Q D P C A BD DC C1 11 1 N NABAB M M11221122答案：答案：a a 3 3 二二，空间垂直关系转化图，空间垂直关系转化图及相关定理及相关定理线面垂直的判定定理面面垂直的判定定理线面垂直的判定定理面面垂直的判定定理 线线 线线垂垂 直直 线线面面垂垂直直面面面面垂垂直直 线面垂直定义面面垂直的性质定理线面垂直定义面面垂直的性质定理 典型例题典型例题I I，线面垂直的判定与性质线面垂直的判定与性质线面垂
15、直与面面垂直是今后线面垂直与面面垂直是今后我们要研究的主要问题。问题的关键是线线垂直。我们要研究的主要问题。问题的关键是线线垂直。线线垂直的线线垂直的判定方法判定方法 空间线面垂直证线线垂直空间线面垂直证线线垂直 利用三垂线定理利用三垂线定理 向量法向量法 利用勾股定理算垂直利用勾股定理算垂直 线面垂直的判定方法线面垂直的判定方法利用线线利用线线垂直证线面垂直垂直证线面垂直 空间垂直关系转化图空间垂直关系转化图 利用面面垂直证线面利用面面垂直证线面垂直垂直 向量法向量法AFAF CPCP，于于 E E，例，例 1 1 如图所示，如图所示，ABAB 圆圆 O O 的直的直径，径，C C 为圆为圆
16、 O O 上一点，上一点，APAP 面面 ABCAEABCAE BPBP于于 F F，求证：求证：BPBP 平平面面 AEFAEF P 本题通过线线垂直证明线面垂直，在找 E F 线面垂直条件时采用了三垂线定理和圆的直径对直角的性质CA O B练习：如图已知 PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面，M，N 分别是 AB，PC 的中点，若PDA45求证：MN 面 PCD P Q提示：取PD 中点 Q，证 AQ 与面 PCD 垂直，从而利用“线面垂直的A N性质定理”证 MN 与面 PCD 垂直 D M B CCABABC例 2、直三棱柱中，M 为 AC 中点111BMCAC 平面求证：11A A
17、1 2C 2 2B1B C1设计说明：牢牢把握直（正）棱柱，正棱锥的结构特征对于研究空间几何问题（空间平行关系的判定与性质及空间垂直关系的判定与性质）有很大帮助。在三视图的环境下证明线面，面面关系是几何证明的一个重点CCCCABBAACCCCABBAA练习：如图所示，直三棱柱 ABC-中，M，N AAB11B1111111111111111是，AB 的中点，AB11CABAB11CAB求证:MM 面面 AB111AB111求证：ABAB AM1CBAM1CB求证：平面AMAM 面面 NC11NC11A1CA1C1 1 MB B1 1 C A N BCABBCABB练习：如图，在直三棱柱 ABC
18、-中，AB=BC=，D 为 AC 的中点B1111BAB1111BA求证:C|C|面面 BD11CCABBAABD11CCABBAA 面面 BDBD 面面 ABAB若求证：111111CAD111111CAD在的条件下，设 AB=1，求三棱锥 B-的体积11II11II，面面垂直的判定与，面面垂直的判定与性质性质面面垂直的判定方法 空间垂直关系转化图：利用线面垂直证面面垂直向量法 ABCABC例 1 如图，为正三角形，BD|CE，且 CE=CA=2BD，M 是 EA 的中点，ECEC 平面平面 ABCABC求证：DE=DA 平面 BDM 平面 ECA 平面 DEA 面 ECA E取 AC 中点
19、 N,证明 DN|BN 再证 BN 面 ECA，利用线面垂D 直的性质定理知 DM 面 ECA M 最后利用线面垂直证面面垂直 C B A9060例 2 已知中，BC=CD=1，E，FBCDADBBCD 面 AB BCDAEBF分别是 AC，AD 上动点，且0 ACAD1求证：不论为何值时，总有平面 BEF 面 ABC当为何值时，平面 BEF 面 ACD A E FC D B第二问是存在性问题 当 BEF 面 ACD 时由一问可知又BEF面ACD，BEABCEF面BEF面面ABCEFBEBEBEFACACDBEACACDEFBE面 ACD利用射影定理求 AE 从而求 设计说明：本题是存在性问题
20、，解决存在性问题可以把结论当已知探索使得已知成立的充分性条件 解决与空间几何有关的存在性问题最好用向量法 练习：1、如图，在矩形 ABCD 中，AB=2BC，P，Q 分别为线段 AB，CD 的中点，EP 面 ABCD求证：DP 面EPC问在 EP 上是否存在 F，使平面 AFD 面 BFC E 问题利用线线垂直证线面垂直，在寻找线线垂直条件 BC 时采用“算垂直”的DPAC方法 P Q A D602、如图所示在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是，且边长为 a 的菱形，侧面DABPAD 为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD 若 G 为 AD 的中点，求证：BG 面 PAD求证：A
21、DPB若 E 为 BC 中点，能否在棱 PC 上找到一点 F，使平面，并证明你的结DEF 面 ABCD论 分析：问题是存在性问题，可以把结论当已知找条件，寻找的过程可省略。但本题要求证明即把条件当已知证结论CABDD1、如图所示，在四 棱 柱 ABCD-中，已 知DC=2AD=2AB，ADDC，AB|DCD11111CD求证:CA11DA设 E 是 DC 上一点，试确定 E 的位置，使，并说明理由E|面 BD11 DC11AB11 D C A B一、折叠问题4590例如图，四边 形ABCD中，AC|BC，AD=AB，将 沿BCDBADABD对角线 BD 折起，记折起后点的位置为 P，且使平面
22、PBD 面 BCD P D A D E E C B C B F求证：平面PBCPBC 面面PDCPDC在折叠前的正方形 ABCD 中，做 AE 于 E，过 E 作于 F，求在折起后的图形 EFEF BCBCBDBD 中的正切值 PFEPFE设计说明：对于折叠问题，关键是抓住图形折叠前后的不变量及重要的折叠条件空间直角坐标系及空间向量法空间直角坐标系及空间向量法一，一，空空间直角坐标系间直角坐标系 1、右手系：伸出右手，弯曲四指使得四指与掌面垂直，大拇指向上垂直翘起，四指的方向为 x 轴，手掌向里的方向为 y 轴，大拇指的方向为 z 轴，三轴的公共点为 z 轴 2、卦限：数轴上原点把数轴分成正负
23、半轴。在坐标平面上，x 轴，y 轴把平面分成四个象限，在空间三个坐标平面把空间分成八个卦限 z y x注:建系时最好建成右手系，并且尽量把图形放在第一卦限，在坐标轴或坐标平面上的点越多越好，关于坐标平面对称的点越多越好 一、空间直角坐标系上点的坐标：求一个点的坐标就是找该点在 x 轴，y 轴，z 轴上的坐标分量 CABDCABD ABCDABCD 已知正方体棱长为 2，如图所示以正方体的中心 O 为原点建立空间 11111111 直角坐标系 z DC 1 P M K G A H B11 L J y O C D1I E F N B x A 1、在轴上点的坐标：P（x,0,0）P（0,y,0）p（
24、0,0，z）Px 轴 Pz 轴 Py 轴 2、在坐标平面上点的坐标，P（x,y,0）,P（0,y,z）,P（x,0,z）Pxoz平面上Pxoy平面上Pyoz平面上yyxxzzyy121212xxzz则 AB 中点 3、已知,A,B,P,12122212、与P4 P（x,y,z）关于定点 A（a,b,c）对称点的 2ax,2ay,2a z15、关于坐标平面对称点的坐标P 与 P（x,y,z）关于 xoy 平面对称点的坐标x,y,z1 与 PP（x,y,z）关于 xoz 平面对称点的坐标 x,y,z16、若 P 点在 xoy 面的射影为 L 点，则 P 点与 A 点的 x,y 轴分量相同，P 点
25、z 轴分量为 P 点到面 xoy 的距离 二、空间向量的坐标运算注：空间向量的加法，减法，数乘的几何意义；两个向量的共线条件；向量的内积运算公式与平面向量完全相同 空间向量的坐标运算公式yyyyxxzzxx若则ABzzA,B,121221211221yyaxbxzz若 已知，,121212yyxabxzz 加,减,法:121212yxa数乘：z 111,yyyy 内积：内积：abxxzz abxxzz 1212121212122 2 222yaaxz222yaaxz模模 111111其它一些常用公式其它一些常用公式 22222 22222 abababababababababababab 22
26、 yyabxxyyabxx zz zz 01212120121212 babababa 设直线设直线 a a 的方向向量为，直线的方向向量为，直线 b b 的方向向量为的方向向量为 a|ba|b 三、直线三、直线的方向向量与平面的法向量的方向向量与平面的法向量 注：直线的方向向量与平面的法向量都不取零向量注：直线的方向向量与平面的法向量都不取零向量 1 1、直线的方向向量：在直线上或与直直线的方向向量：在直线上或与直线平行的向量叫做直线的方向向量线平行的向量叫做直线的方向向量 2 2、平面的法向量：和平面上两条不共线向量都垂直的向量叫做平面的法向量平面的法向量：和平面上两条不共线向量都垂直的向
27、量叫做平面的法向量 下面下面介绍平面法向量的求法介绍平面法向量的求法 例：已知：已知，求例：已知：已知，求abnababnab与的法向量与的法向量 1,1,0,1,1,0,0,1,10,1,1 设设 n nx,y,zx,y,z nana0 nana0 nbnb0 nbnb0 xxyy 00 yyzz00由于由于 x x 每给一个值，就各有一个每给一个值，就各有一个与之对应的与之对应的 y y 值和值和 z z 值，由此说明一个平面的法向量有无穷多个，这和常识也是相符的，我们只需取其中一个法向量值，由此说明一个平面的法向量有无穷多个，这和常识也是相符的，我们只需取其中一个法向量即可即可 令令 x
28、=1,y=-1,z=1x=1,y=-1,z=1 n n 1,1,1,11,1一、向量法分析空间线线，线面，面面的位置关系一、向量法分析空间线线，线面，面面的位置关系 ，分别为直线，分别为直线lmlml,ml,m 的方向向量的方向向量;分别为平面的法向量分别为平面的法向量 nn,nn,1212线线平行：线线平行：1 1、文字语言：两直线的方向向量平行则线线平行文字语言：两直线的方向向量平行则线线平行 2 2、图形语言：图形语言：lmlmlmlm 在这里强调在这里强调|R R m0l0m0l0 但反之不对但反之不对,当时，这是不可以的当时，这是不可以的 这样这样写正确：写正确：,l l m m 3
29、、符号语言：lmlm|l|mR线面平行：1、文字语言：如果直线的方向向量与平面的法向量垂直，则线面平行 2、图形语言：ll n1、ll符号语言：3nn0l|11面面平行：1、文字语言：如果两个平面的法向量共线则面面平行 2、图形语言：n1 n2 3、符号语言：nnnn|1212线线垂直：1、文字语言：两直线的方向向量垂直则线线垂直 2、图形语言：l lm m 、lnlm3符号语言：0l 线面垂直：m 1、文字语言：如果直线的方向向量与平面内的两条不共线向量垂直则线面垂直2、图形语言：l lba3、符号语言：ababalbl且 与 不,共 线，0,0 面面垂直：l 1、文字语言：如果两个平面的法
30、向量垂直则面面垂直 2、图形语言：n2n13、符号语言：nnnn0 二、空间角1112 空间角的范围 0、线线角的范围1 2、异面直线所成角的范围 090090,00、线面角的范围3 4、斜线与平面所成的角范围 090090,00、二5面角的范围 6、向量夹角范围 01800180,、直线的倾斜角范围7 0180,空间角的定义：1、异面直线所成角的定义：略 2、斜线与平面所成角的定义：斜线与平面所成的角等于斜线与它在这个平面上的射影所成的角 如图 l 为平面的垂线，m 为 平面的斜线，n 为斜线 m 在 m l 平面上的射影 m,m,n n注：求线面角关键找与斜线有交点的平面的垂线注：在用定义
31、法求线面角时常会用到空间垂直关系相关定理（特别是线面垂直的判定定理，线面垂直定义，面面垂直性质定理），三垂线定理及推论，直（正）棱柱的结构特征，正棱锥的结构特征，正棱锥的判定方法 CCABABAC 例：已知正三棱柱 ABC 的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所A111111 成角的正弦值6答案：4CCABDBA 练习：在长方体 ABCD-中，AB=BC=2，则与平面 A1111111BD 所成角的正弦值 BD1110 答案：5正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成角为答案：453、二面角的定义：在二个平面内各引一条与交线垂直的直线，这两条垂线所成的角就是这两个平面所成的二面角的平面角
32、 n m,n,l,m,nl ,二面角的求法：）定义法：在用定义法求二面角时常会用到空间平行及垂直关系相关定理，三垂线定理及推论，直（正）棱柱的结构特征，正棱锥的结构特征，正棱锥的判定方法 利用定义计算二面角常常使用余弦定理。例 1 已知已知正四棱锥的体积是 12，底面对角线长，则侧面与底面所成的二面角等于 26 答案：3）平移m,n m l交线法，截面法与截面法 CAB 例 2 已知正三棱柱 ABC-的底面边长是 2，高为 1，过顶点 A 做一平面，与侧 111CB 面交于 EF，且 EF|BC，若平面与底面 ABC 所成二面角大小为 x,BC0 x116四边形 BCEF 的面积为 y,则函数
33、 y=f（x）的图象大致是：答案：C 6666 B C D A A C N C A B B F G FM M E E CC 11 AA B111 B 1图 2图 1法一：平移交线法如图 1EF|BC，EF 面 ABC，BC 面 ABCEF|面 ABC 设 面 AEF面 ABCl 又 EF 面 AEFEF|l 取 EF 中点 M，BC 中点 N 则ANEF，ANEF 则就是面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的平面角 MAN注：在本题中很难找到面 AEF 与面 ABC 的交线，故在图形中找一条与交线平行的直线 EF，在这两个平面内引 EF 的垂线，从而找到二面角的平面角 注：求空间角时，空间角
34、大多是特殊角，对于非特殊角题目一般要求求空间角的某个三角函数值。若题目特别强调用反三角函数表式，利用下面公式公式一：若,m1,1sinm 22 则arcsinm公式二：若cosm0,m1,1则 arccosm 公式三：若 tanm为常实数,m22则arctanm1例：sin,求 0,321,cos0,求321tan,求0,32通过本题引出下面公式 常用公式：arcsinxarcsinxarccosxarccosxtanxarctanx1 练 习：cos,求,321tan,求,0 32三、向量法求空间角 向量法求线线角：空间两条直线所成的角与它们方向向量所成的角相等或互补 l l lml,m,m
35、 lmcosl,mcos,mll lml,m,m lmcosl,mcos,m 综上：lm lmlm|cosl,m|cos,由 l,0,则cosl,mcos,2向量法求线面角：空间直线与平lm面所成的角和直线的方向向量与平面法向量所成的角互余，或比向量角小 2基线为的垂线nn11llnl,12llnsinl,cos,1n1 l lnl,12 llsinl,cos,n1 综上：llnn|sinl,|由 cos,l,0,故 sinl,|cos,|112空间向量的方法求二面角，方法一：内积法 mn 如图所示，在两个平面内以交线上的点为起点各引一条与交线垂直的向量,nmnmn,l,mn,m l 9030
36、ABC例：已知直角中，ACDAB=4，D 为 AB 的中点，沿中线将C,B 13,折起使得 AB=，l则二面角 A-CD-B 的大小为 B B F F D D E E A A C对于折叠问题，关键是抓住 图 形 折 叠 前 后 的 不 变 量 及 重 要 的 折 叠 条 件解：作AECF,BFCF FBEA 二面角 ACD等B于,ABAEEFFB22ABAEEFFB 222 AEEFFBAEFBEFFBAEEF222AEEFFB33,2,3AEFB2AEFB1AEFBcos,0 2AEFB又AEFB,0,AEFB,32EAFB,3方法二：坐标法n1n2m,n,l,m,nlnmnn,11nnco
37、s,cos,12ln1n2nn,11ncos,cos,nnm 12l综上：nncos,cos,0,12|cos,|,为锐角 nn12cos,cos,为钝角 nn12注：求二面角是二面角一般为锐角或钝角很少求直角，零角或平角 二面角的性质可以直观观察得到 四、空间向量方法求空间点到平面的距离 A OBnndO,n B典例 一、向量法确定空间线线，线面，面面位置关系，求空间角及空间点到平面的距离 注：应用向量法研究空间几何问题的关键是建系及确定空间点的坐标，在建系时最好建立右手系（在原图形上找或作三条有公共点且两两垂直的线段做为坐标轴），在坐标平面上的点越多越好，关于原点或坐标平面对称的点越多越好
38、 在建系时会用到空间垂直关系相关定理（线面垂直的判定定理，线面垂直定义，面面垂直的性质定理），线面角的定义，直（正）棱柱的结构特征，正棱锥的结构特征 确定空间点的坐标必要时时可以设参数表示空间点的坐标，但参数用得越少越好如轴上点的坐标可用一个参数表示;坐标平面上点的坐标可用两个参数表示;已知线段两端点的坐标，只需一个参数就可以表示该线段上任意点坐标（利用向量共线条件）如下图AC B若已知 A，B 坐标设 C（x,y,z）0ACABAB 可求点 C坐 设 标45例在四棱锥 P-ABCD 中，PA平面 ABCD，PB 与底面所成的角为，底面 ABCD 为直190角梯形，PA=BC=ABCBAD2
39、AD求证：面 PAC面 PCD 在棱 PD 上是否存在一点 E，使 CE|面 PAB？若存在确定 E 的位置，若不存在说明理由（0,0,1）P E（x,y,z）D（0,2,0）A B（1,0,0）C（1,1,0）面 PAB 的法向量为AD0,2,0要想 CE|面 PAB 必须CEADCEAD0y=10PEPDPDPEPD|可求点E 坐标 注：解决存在性问题，把结论当已知，从结论出发，找是结论成立的条件CAB90练习 1、如图，在直三棱柱 ABC-中，AC=BC=a,D,E 分别为棱ACB11130AB，BC 的中点，M 为上的点，二面角M-DE-A 为AA1CAB证明：D111求 MA 的长，
40、并求点 C 到平面 MDE 的距离A1C1B1（k,0,0）M（0,-a,0）ACaa()D,022B（a,0,0）a答案：42、（07 高考全国）如图，在四棱锥 S-ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，侧棱SD 底面ABCD，E，F 分别为 AB，SC 的中点，证明：EF|面 SAD 设 SD=2DC，求二面角 A-EF-D 的正切值1k）F（,0,22 D C（0,1,0）B（1,1,0）（1,0,0）A1E1,02答案：2CCAB例 2：07 福建正三棱柱 ABC-中，所有棱长为 2，D 为 C 中点，1111求证：BAA 面 BD11A求二面角的正弦值AD-B1A求 C 到平面的距
41、离BD1取 AB 的中点 O，则 COABCC又面 ABC 面 A，OC 面 ABC，面 ABC 面AAB11CAOC 面 CB再取的中点 F 如图所示建立空间直角坐标系11 A C1C D1 B F OB A1102答案：,42（0,0，k）S1注：本题在建系时使用了面面垂直性质定理及正棱柱的结构特征 练习 1、（08 全国）如图，四棱锥 A-BCDE 中，底面 BCDE为矩形，侧面 ABC 底面 BCDE，BC=2，CD=，AB=AC2证明：ADCE设 CE 与平面 ABE 所成的角为，求二面角 C-AD-E 的余弦值45取 BC，DE 中点 O,F 证 AO 面 BCDEA（0,0，k）
42、E1,2,0（-1,0,0）B OF0,2,0C（1,0,0）D1,2,010答案：102、如图，已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M 是线段 EF2的中点 求证：AM|面 BDE60试在线段 AC 上确定一点 P，使得 PF 与 CD所成角是 E M F C B D A22答案：P,02260例 3（08 湖南）四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 1 的菱形，E 是 CD 的中点，BCDPA 底面 ABCD，PA=2 证明：平面 PBE 面PAB 如图所示建立空间直角坐标系 本题难点在于确定 P 点坐标，P 点在 xoy 面上的射影是 A 点，故
43、 P 点和 A 点的 x,y 轴分量相同，P 点 z 轴分量为 P 点到 xoy 面的距离即为 线 段PA长3P0,2213E,0441,0,032C0,021B,0,030,022如图的多面CABD体是底面为平行四边形的直四棱柱，经平面 AEFG 所截 ABCD11114560后得到的图形，其中，AB=2AD=2BAEGADBAD求 C证：DBDAD1 求平面 AEFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值 答案：21如图，四棱锥P-ABCD 中，PB底面 ABCD，CDPD，底面 ABCD 为直角梯形，AD|BC，ABBC，AB=AD=PB=3，点 E 在棱 PA 上，且 PE=2EA，
44、求异面直线 PA 与 CD 所成的角 求证：PC|面 EBD 求二面角 ABED 的大小（用反三角函数表示）z P（0,0,3）Ey C（0,6,0）D（3,3,0）A（3,0,0）x本题重点不是建系也不是求空间角和分析空间线面关系，而是 用 向 量 法 确 定 点 的 坐 标解：C（0,y,0）,CDPD(3,3y,0),(3,3,3)CDCDPD,y=6PD C(0,6,0)E0（x,0,z）PEEA2（x,0,z-3）=（6-2x,0,-2z）x62xx2z32zzE（12,0,z）以下略 二、地球经纬度问题160例设地球半径为 R，在纬线圈上有 A，B两地，它们在纬线圈上的弧长是，则
45、A，R2B 两底的球面距离是 注：A，B 两地球面距离也称 A，B 两地最短距离，它等于 A，B 两点所在的大圆的劣弧长 纬线圈与赤道面平行，纬线圈是小圆，赤道面是大圆，经线圈是半圆，0 度经线是本初子午线 纬度：在纬线圈上任取一点和球心连线所得的地球半径与赤道面所成的线面角,纬线圈与赤道面平行o为纬线圈的圆心，roOO 为球心，与纬线O R 圈及赤道面垂直，O r 为纬线圈的半径，R 为球的半径，等于纬线圈的维度经度：经线所在的半平面与本初子午线（0 度经线）所在的半平面所成的二面角R解：利用上图可知，作出纬圆如下图r23lrO1RR 22 A r l B AB=2r=R 作出通过 A，B
46、两点的大圆O 为球心，R O A lR R AB3 B 二、顶点转移的方法求体积 CABBA 已知正三棱柱中，底面边长为2，高为 1，则点到322C1 D AB 11 C A B hBA平面的距离 ABCBC11111 为33A、B、C、2 D、设到面距离为 BC111hCBAB 到面距离为 2111VV BAABBCBC111111hShS ABCBBC213311hShS B2B2BCBC h1h11SA1SA BC1BC1 CABABCABAB 面面 CBCBd,d,d,d,面面CB11111CBCB11111CB 取取 中中 点点 D D，连连A AD D 11111 1CABhCAB
47、h 可可 证证 ADAD 面面BCDBCD 31111213111121SSSS CBBCBB1 1 BCBC 矩形矩形 BC2111BC21113 3S S 2 2h h A A BCBC1 12 21 1注：本题除了用顶点转移的方法求体积同时还涉及把点面注：本题除了用顶点转移的方法求体积同时还涉及把点面距离转化为线面距离距离转化为线面距离空间几何体空间几何体 一、空间几何体的分类一、空间几何体的分类 棱柱棱柱 多面体棱锥多面体棱锥 棱台棱台 空间几何体空间几何体 圆柱圆柱 旋转体圆锥旋转体圆锥 圆圆台台 二二、柱锥台的结构特征、柱锥台的结构特征 1 1、棱柱：有两个平行的面，这两个平行的面
48、叫做棱柱的底面，其它面棱柱：有两个平行的面，这两个平行的面叫做棱柱的底面，其它面叫做棱柱的侧面，侧面是平行四边形，相邻侧面的公共边是棱柱的叫做棱柱的侧面，侧面是平行四边形，相邻侧面的公共边是棱柱的侧棱，棱柱的侧棱平行且相等侧棱，棱柱的侧棱平行且相等 棱柱的特征简记为：底面平行，侧面棱柱的特征简记为：底面平行，侧面是平行四边形，侧棱平行且相等是平行四边形，侧棱平行且相等2 2、棱锥：有一个面是多边形（底、棱锥：有一个面是多边形（底面）面），其它各面（侧面）都是有公共顶点的三角形，相邻两侧面的公，其它各面（侧面）都是有公共顶点的三角形，相邻两侧面的公共边叫侧棱。共边叫侧棱。注意：棱锥的侧棱相交于一
49、点注意：棱锥的侧棱相交于一点3、棱台：用平行于棱锥底面的截面取截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台 注：棱台是用棱锥截出来的，所以棱台侧棱延长线相交于一点CCABAB多面体用顶点字母命名如棱柱 ABC，棱锥V-ABC，棱台 ABC111111AC对于棱柱和棱台也可用对角线顶点字母命名如棱柱1注：在同一条棱上的字母对应着写 4、圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征：圆柱 圆锥 圆台 球轴 轴 轴 轴旋转示意图oo1o11直观图 Oooo222三、棱柱分类及直棱柱与正棱柱的结构特征 1、侧 棱 与 底 面 垂 直 的 棱 柱棱柱的分类及直棱柱与正棱柱的结构特征 直棱柱棱柱 侧棱与底面不垂直的棱柱 斜棱柱特
50、别地：底面是正多边形的直棱柱是正棱柱直 四 棱 柱 长 方体侧面与底面垂直的四棱柱底面是矩形的直四棱柱四棱柱 侧 面 与 底 面 不 垂 直 的 四 棱 柱 斜四棱柱 底面是正方形的直四棱柱是正四棱柱，显然正四棱柱是特殊的长方体，棱长都相等的长方体是正方体 正方体 正四棱柱 长方体 直四棱柱注：重点掌握直棱柱与正棱柱的结构特征侧棱与底面垂直侧棱与底面垂直 侧面与底面垂直侧面与底面垂直直棱柱的结构特征正棱柱的结构特征侧面是矩形侧面是全等的矩形 底面是多边形底面是正多边形想一想：能不能说出直三棱柱与正三棱柱与正四棱柱的的结构特征？侧棱与底面垂直侧棱与底面垂直 侧面与底面垂直侧面与底面垂直直四棱柱结