题图形变换专题整理.doc

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1、24题图形变换中考题形整理一、河北近几年图形变换中考试题例1（2009河北）在图14-1至图14-3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点四边形BCGF和CDHN都是正方形AE的中点是M（1）如图14-1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM = MH，FMMH；（2）将图14-1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图14-2，求证：FMH是等腰直角三角形；（3）将图14-2中的CE缩短到图14-3的情况，FMH还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）（1）证明：四边形BCGF和CDHN都是正方形，又点N与点G重合，点M与点C重合，FB = BM= MG

2、= MD= DH，FBM =MDH = 90图2AHCDEBFGNMPFBMMDHFM = MH FMB =DMH = 45，FMH=90FMHM（2）证明：连接MB、MD，如图2，设FM与AC交于点PB、D、M分别是AC、CE、AE的中点，MDBC，且MD = BC = BF；MBCD，且MB=CD=DH四边形BCDM是平行四边形 CBM=CDM又FBP=HDC，FBM=MDHFBMMDHFM=MH， 且MFB=HMDFMH=FMDHMD=APMMFB=FBP=90FMH是等腰直角三角形 （3）是例2（08河北）如图14-1，的边在直线上，且；的边也在直线上，边与边重合，且（1）在图14-1

3、中，请你通过观察、测量，猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系；（2）将沿直线向左平移到图14-2的位置时，交于点，连结，猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将沿直线向左平移到图14-3的位置时，的延长线交的延长线于点，连结，你认为（2）中所猜想的与的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由证明：由已知，得，又，在和中，如图3，延长交于点，在中，又，（3）成立证明：如图4，又，在和中，如图4，延长交于点，则，在中，例3（07河北）在ABC中，AB=AC，CGBA交BA的延长线于点G一等腰直角三角尺按如图15-1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶

4、点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B（1）在图15-1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺沿AC方向平移到图15-2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DEBA于点E此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DEDF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图15-3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）二、图形变换典型例题例

5、4用两个全等的等边ABC和ACD拼成如图的菱形ABCD。现把一个含60角的三角板与这个菱形叠合，使三角板的60角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合。将三角板绕点A逆时针方向旋转。（1）当三角板的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F时（图a）猜想BE与CF的数量关系是_；证明你猜想的结论。（2）当三角板的两边分别与菱形的两边BC、CD的延长线相交于点E、F时（图b）,连结EF，判断AEF的形状，并证明你的结论。证明：因为ABDACD，BDECDE。而BDEABDBAD，CDEACDCAD 。所以 BADCAD，而ADB180BDE，ADC180CDE，所以ADB ADC 。 在A

6、DB和ADC中，BADCADADAD ADB ADC所以 ADBADC 所以 BDCD。 例5（08义乌）如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系： （1）猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形请你通过观察、测量等方法判断中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断(1)BG=DE，BGDE2分BG=DE，BGDE

7、仍然成立 1分在图（2）中证明如下四边形ABCD、四边形ABCD都是正方形BC=CD，CG=CE，BCD=ECG=90BCG=DCE1分 BCGDCE （SAS）1分BG=DE CBG=CDE又CBG+BHC=90 BGC=DHOCDE+DHO=90DOH=90BGDE1分（2）成立，不成立 2分简要说明如下四边形、四边形都是矩形，且，(，) ， 1分又 1分（3） 又， 1分 1分例6（08年黑龙江鸡西）正方形 ABCD中，MAN=45，MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交 CB，DC（或它们的延长线）于点M，N 当MAN 绕点A 旋转到BM=DN 时（如图1），易证BM+DN=MN

8、（1）当MAN 绕点A 旋转到BMDN 时（如图2），线段BM，DN 和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明（2）当 MAN绕点 A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN 和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想解析 (1)如图17，把AND绕点A顺时针90，得到ABE，则有DN=BE,EAM= MAN=45.进而可证得：AEMAMN.所以MN=ME=MB+EB=MB+DN.(2) 线段BM,ND和MN之间存在MN = DNMB. 点评 平移、翻折和旋转是初中几何重要的三种变换方式，变换之后的几何图形与原图形对应的边、角均相等.巧妙的运用变换的基本性质或构造变换图形，均可以

9、使题目的解答简易而顺畅.例7、（2009山东德州）已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG（1）求证：EG=CG；（2）将图中BEF绕B点逆时针旋转45，如图所示，取DF中点G，连接EG，CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 （3）将图中BEF绕B点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）FBADCEG第6题图答案： 解：（1）证明：在RtFCD中， G为DF的中点， CG=FD 1分同理，在RtDEF中， EG

10、=FD 2分FBADCEG第6题图 CG=EG3分（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG4分证法一：连接AG，过G点作MNAD于M，与EF的延长线交于N点FBADCEGMNN图 （一）在DAG与DCG中， AD=CD，ADG=CDG，DG=DG， DAGDCG AG=CG5分在DMG与FNG中，FBACE第6题图 DGM=FGN，FG=DG，MDG=NFG， DMGFNG MG=NG 在矩形AENM中，AM=EN 6分在RtAMG 与RtENG中， AM=EN， MG=NG， AMGENG AG=EGFBADCEGM图 （二） EG=CG 8分证法二：延长CG至M,使MG=CG，连接MF，M

11、E，EC， 4分在DCG 与FMG中，FG=DG，MGF=CGD，MG=CG，DCG FMGMF=CD，FMGDCG FBADCE图GMFCDAB5分在RtMFE 与RtCBE中， MF=CB，EF=BE，MFE CBE6分MECMEFFECCEBCEF90 7分 MEC为直角三角形 MG = CG， EG=MC 8分（3）（1）中的结论仍然成立，即EG=CG其他的结论还有:EGCG10分例8（江苏盐城）如图甲，在ABC中，ACB为锐角点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF解答下列问题：（1）如果AB=AC，BAC=90当点D在线段BC上时（与点B不重合）

12、，如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，中的结论是否仍然成立，为什么？第28题图图甲图乙图丙 （2）如果ABAC，BAC90，点D在线段BC上运动试探究：当ABC满足一个什么条件时，CFBC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由（画图不写作法）（3）若AC，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值例9.（2009恩施市）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世著名的恩施大峡谷和世界级自然保护区星斗山位于笔直的沪渝高速公路同侧，、到直线的距离分别为和，要在沪渝高速

13、公路旁修建一服务区，向、两景区运送游客小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（与直线垂直，垂足为），到、的距离之和，图（2）是方案二的示意图（点关于直线的对称点是，连接交直线于点），到、的距离之和（1）求、，并比较它们的大小；（2）请你说明的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，到直线的距离为，请你在旁和旁各修建一服务区、，使、组成的四边形的周长最小并求出这个最小值【关键词】勾股定理、对称、设计方案【答案】. 解:图10（1）中过B作BCAP,垂足为C,则PC=40,又AP=10,AC=30 在RtABC 中，AB=50 AC=30

14、 BC=40 BP=S1= 图10（2）中，过B作BCAA垂足为C，则AC=50，又BC=40BA=由轴对称知：PA=PAS2=BA= (2)如 图10（2），在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA，由轴对称知MA=MAMB+MA=MB+MAABS2=BA为最小（3）过A作关于X轴的对称点A, 过B作关于Y轴的对称点B，连接AB,交X轴于点P, 交Y轴于点Q,则P,Q即为所求过A、 B分别作X轴、Y轴的平行线交于点G,AB=所求四边形的周长为例10（2009年益阳市）如图11，ABC中，已知BAC45，ADBC于D，BD2，DC3，求AD的长. 小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换

15、，巧妙地解答了此题.请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：(1)分别以AB、AC为对称轴，画出ABD、ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形； (2)设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值.【关键词】轴对称【答案】(1)证明：由题意可得：ABDABE，ACDACF .DABEAB，DACFAC，又BAC45，EAF90.又ADBCEADB90FADC90.又AEAD，AFADAEAF.四边形AEGF是正方形.(2)解：设ADx，则AEEGGFx.BD2，DC3BE2，CF3BGx2，CGx3.在RtBGC中，BG2CG

16、2BC2( x2)2(x3)252.化简得，x25x60解得x16，x21（舍）所以ADx6例11（2009年牡丹江）已知中，为边的中点，绕点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于、当绕点旋转到于时（如图1），易证当绕点旋转到不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明AECFBD图1图3ADFECBADBCE图2F【关键词】旋转【答案】解：图2成立；图3不成立 证明图2： 过点作图2ADBCEMNF 则 再证图2ADBCEMNF 有 由信息可知 图3不成立，的关系是：例12（2009东营）已知正方形AB

17、CD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG（1）求证：EG=CG；（2）将图中BEF绕B点逆时针旋转45，如图所示，取DF中点G，连接EG，CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 （3）将图中BEF绕B点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）DFBACE第24题图FBADCEG第24题图FBADCEG第24题图 【关键词】正方形与旋转【答案】解：（1）证明：在RtFCD中， G为DF的中点， CG= FD 同理，在RtDEF中，

18、 EG= FD CG=EG （2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG 证法一：连接AG，过G点作MNAD于M，与EF的延长线交于N点在DAG与DCG中， AD=CD，ADG=CDG，DG=DG， DAGDCG AG=CG 在DMG与FNG中， DGM=FGN，FG=DG，MDG=NFG， DMGFNG MG=NG 在矩形AENM中，AM=EN 在RtAMG 与RtENG中， AM=EN， MG=NG， AMGENG AG=EG EG=CG 证法二：延长CG至M,使MG=CG，连接MF，ME，EC， 在DCG 与FMG中，FG=DG，MGF=CGD，MG=CG，DCG FMGMF=CD，FMGDCG MFCDAB 在RtMFE 与RtCBE中， MF=CB，EF=BE，MFE CBE MECMEFFECCEBCEF90 MEC为直角三角形 MG = CG， EG= MC （3）（1）中的结论仍然成立，即EG=CG其他的结论还有:EGCG