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1、高等数学之无穷级数本讲稿第一页，共十六页一、正项级数收敛的充要条件一、正项级数收敛的充要条件若定理定理 1.正项级数收敛部分和数列有上界.发散,部分和数列又已知则称为正项级数.单调递增,有上界,故从而收敛,也收敛.证证:“”“”机动 目录 上页 下页 返回 结束 若无上界，则从而与已知矛盾，因此有上界.本讲稿第二页，共十六页定理定理2(比较判别法比较判别法)设(1)若级数则级数(2)若级数则级数则有收敛,也收敛;发散,也发散.是两个正项级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束 且二、正项级数的比较判别法二、正项级数的比较判别法 本讲稿第三页，共十六页推论：推论：(比较判别法比较判别法)设且存在
2、对一切有(1)若级数则级数(2)若级数则级数则有收敛,也收敛;发散,也发散.是两个正项级数,(常数 k 0),机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第四页，共十六页例例1.判别级数的敛散性.解解:根据比较判别法知，收敛.机动 目录 上页 下页 返回 结束 令 且 因而为正项级数，当 时，有因此若取 则是公比为 的收敛的几何级数。本讲稿第五页，共十六页例例2.讨论 p 级数的敛散性.解解:1)若因为对一切而调和级数由比较判别法可知 p 级数发散.发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第六页，共十六页因为当故考虑强级数的部分和由比较判别法知 p 级数收敛.时,2)若机动 目录 上页
3、下页 返回 结束 本讲稿第七页，共十六页几何级数、调和级数与 p 级数是三个常用的比较级数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 几何级数为收敛，发散，p-级数为收敛，发散，调和级数发散，本讲稿第八页，共十六页证明级数发散.证证:因为而级数发散根据比较判别法可知,所给级数发散.例例3.3.机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第九页，共十六页判定级数的收敛性.证证:而级数收敛.根据比较判别法可知,所给级数收敛.例例4.4.机动 目录 上页 下页 返回 结束 因为本讲稿第十页，共十六页定理定理3.比值判别法(DAlembert 判别法)设 为正项级数,且则(1)当(2)当时,级数收敛;或时,级
4、数发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:当时,级数可能收敛也可能发散.例如例如,p 级数但级数收敛;级数发散.三、正项级数的比值判别法三、正项级数的比值判别法 本讲稿第十一页，共十六页例例5.讨论级数的敛散性.解解:根据比值判别法可知，原级数收敛.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.讨论级数的敛散性.解解:根据比值判别法可知，原级数收敛.本讲稿第十二页，共十六页例例8.讨论级数的敛散性.解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 当 时，原级数发散.当 时，原级数收敛;根据比值判别法可知，例例7.讨论级数的敛散性.解解:根据比值判别法可知，原级数发散.本讲稿第十三页，共十六页例例9.讨论级数的敛散性.解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 根据比值判别法可知，原级数收敛.本讲稿第十四页，共十六页内容小结内容小结1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.利用正项级数判别法必要条件不满足发 散满足比值判别法收 敛发 散不定 比较判别法用其它法判别部分和极限机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第十五页，共十六页 作业作业 P183:1；2；4；5；8；9.第三节 目录 上页 下页 返回 结束 3.判定正项级数的收敛性应注意以下几点：见P182本讲稿第十六页，共十六页