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1、高等数学无穷级数本讲稿第一页，共五十二页1.函数项级数的定义设有一函数序列为定义在区间 I 上的函数项级数.一、一般函数项级数本讲稿第二页，共五十二页函数项级数 可以利用常数项级数的知识来处理函数项级数本讲稿第三页，共五十二页2.函数项级数的敛散性的收敛点.的发散点.本讲稿第四页，共五十二页它的收敛域,记为 D.它的发散域.本讲稿第五页，共五十二页3.函数项级数的和函数为函数项级数的和函数.本讲稿第六页，共五十二页称函数项级数的前 n 项之和为其部分和：不论级数在点 处是否收敛,均可写出其部分和.如果级数在点 处收敛,则有本讲稿第七页，共五十二页4.函数项级数敛散性判别可以适当地运用常数项级数
2、的敛散性判别法,判别函数项级数的敛散性.特别注意比较判别法的应用.本讲稿第八页，共五十二页并求其收敛域.即原级数在整个实数域上是绝对收敛的.所求收敛域为解例1本讲稿第九页，共五十二页的敛散性,并求其收敛域.这是等比级数.故该级数的收敛域为:要打开思路!解例2本讲稿第十页，共五十二页形如的级数称为幂级数,其中,称为幂级数的系数.1.幂级数的定义二.幂级数及其敛散性本讲稿第十一页，共五十二页幂级数的一般形式为本讲稿第十二页，共五十二页当幂级数收敛时,由可知,不论“和函数”多么复杂,我们可以用多项式来近似它.当 n 的值充分大时,这种代替可达到相当的精度.本讲稿第十三页，共五十二页由此可联想到什么？
3、首先 进行分析：则由收敛的必要条件,有而有极限的量必有界,故2.幂级数的敛散性本讲稿第十四页，共五十二页它是收敛的,结论:本讲稿第十五页，共五十二页（）收敛以上分析结论的图示:本讲稿第十六页，共五十二页（）发散若在外部一点收敛,会怎么样？若在内部一点收敛,会怎么样？不怎么样推出推出本讲稿第十七页，共五十二页则由上面的分析可知,所有满足这与假设矛盾.该矛盾说明:当原级数发散.本讲稿第十八页，共五十二页由以上的分析发现：既有收敛点,又有发散点,则从坐标原点开始沿数轴往右(左)走,最初只可能遇到它的收敛点,然后就会只遇到它的发散点,这两部分的分界是关于坐标原点对称的,幂级数在分界点处可能收敛,也可能
4、发散.现将以上的分析用图表示出来.本讲稿第十九页，共五十二页（）收 发幂级数在一个以坐标原点为中心的对称区间内收敛,在此区间外发散,在区间端点处幂级数可能收敛,也可能发散.当幂级数仅在本讲稿第二十页，共五十二页 现在请你回想并归纳一下我们刚才进行的分析工作,给出你的结论.本讲稿第二十一页，共五十二页阿贝尔定理 阿贝尔定理本讲稿第二十二页，共五十二页幂级数敛散性定理 幂级数敛散性定理都存在一个非负本讲稿第二十三页，共五十二页幂级数的收敛半径 幂级数的收敛半径我们称上述定理中的非负数 R 为幂级数的收敛半径.如何求收敛半径？本讲稿第二十四页，共五十二页求收敛半径的定理 求收敛半径的定理 你能证明吗
5、?有点像达朗贝尔判别法？本讲稿第二十五页，共五十二页由达朗贝尔判别法：讨论要证本讲稿第二十六页，共五十二页本讲稿第二十七页，共五十二页本讲稿第二十八页，共五十二页故此时幂级数发散,仅当本讲稿第二十九页，共五十二页例3解综上所述,得:本讲稿第三十页，共五十二页谁的收敛半径？例4解本讲稿第三十一页，共五十二页由交错级数判别法,可知此时级数收敛.本讲稿第三十二页，共五十二页例5解本讲稿第三十三页，共五十二页由级数收敛的必要条件,可知综上所述,本讲稿第三十四页，共五十二页这是一个缺项的幂级数,不能直接运用求幂级数收敛半径的计算公式.今后遇到这类级数应该按照函数项级数的情形处理,通常是采用达朗贝尔判别法
6、.例6解本讲稿第三十五页，共五十二页3.幂级数的运算幂级数的四则运算 幂级数的四则运算本讲稿第三十六页，共五十二页设有两个幂级数则有以下运算规则本讲稿第三十七页，共五十二页1.1.加、减法加、减法本讲稿第三十八页，共五十二页2.2.乘乘 法法(对角线法对角线法)本讲稿第三十九页，共五十二页本讲稿第四十页，共五十二页就 是 说,在 两 个 幂 级 数 的 公 共 收 敛区 间 上 可 以 像 多 项 式 那 样 进 行 加、减、乘的运算.本讲稿第四十一页，共五十二页由收敛的必要条件知原级数发散.例7解本讲稿第四十二页，共五十二页1幂级数的和函数在其收敛区间内是连续的在收敛区间端点处是指和函数的左
7、、右连续性.4.幂级数的 解析性质本讲稿第四十三页，共五十二页2幂级数在其收敛区间内具有逐项可积性,且在幂级数的收敛区间内,其和函数连续,故幂级数的和函数在收敛区间内可积,当然,幂级数也在其收敛区间内可积.逐项积分得到的新幂级数与原幂级数具有相同的收敛半径,但端点处的敛散性可能改变.本讲稿第四十四页，共五十二页3幂级数在其收敛区间内具有逐项可导性，且逐项求导得到的新幂级数与原幂级数具有相同的收敛半径,但要注意：由于常数的导数为零,故有些幂级数在求导后要改变下标的起始值.本讲稿第四十五页，共五十二页首项为 x,公比为 x.例1解本讲稿第四十六页，共五十二页例2解由幂级数在其收敛区间内的逐项可导性,得本讲稿第四十七页，共五十二页本讲稿第四十八页，共五十二页 请自己完成例3分析本讲稿第四十九页，共五十二页在收敛区间内对幂级数逐项求导、逐项积分后,得到一个新的幂级数,且它与原幂级数具有相同的收敛半径.如有必要,可对它连续进行逐项求导和逐项积分.就是说,在收敛区间内幂级数的和函数具有任意阶的导数及任意次的可积性.幂级数的性质多好啊！本讲稿第五十页，共五十二页