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1、高等数学无穷级数本讲稿第一页，共三十七页第一节 常数项级数的概念和性质一.无穷级数的概念二.级数收敛的必要条件三.无穷级数的基本性质 本讲稿第二页，共三十七页一.无穷级数的概念1.无穷级数的定义设有数列 un:u1,u2,un,为一个无穷级数,简称为级数.称 un 为级数的一般项或通项.则称表达式本讲稿第三页，共三十七页本讲稿第四页，共三十七页下列各式均为常数项级数例1本讲稿第五页，共三十七页下列各式均为函数项级数例2本讲稿第六页，共三十七页2.级数的敛散性定义无穷级数的前 n 项之和：称为级数的部分和.若存在,则称级数收敛.S 称为级数的和：本讲稿第七页，共三十七页若不存在(包括为),发散.
2、则称级数本讲稿第八页，共三十七页讨论等比级数的敛散性.等比级数的部分和为：当公比|r|1 时,当公比 r=1时,Sn=a,n为奇数0,n为偶数当公比当公比|r|1 时时,等比级数收敛；等比级数收敛；当公比 r=1时,当公比当公比|r|1 时时,等比级数发散等比级数发散.综上所述,本讲稿第十页，共三十七页讨论级数的敛散性.解解例4本讲稿第十一页，共三十七页而故即该级数收敛,其和为本讲稿第十二页，共三十七页二.级数收敛的必要条件若级数收敛,则必有定理证证设本讲稿第十三页，共三十七页由于故该级数发散.解解例5本讲稿第十四页，共三十七页证明调和级数是发散的:调和级数的部分和有：证证例6本讲稿第十五页，
3、共三十七页本讲稿第十六页，共三十七页由数学归纳法,得 k=0,1,2,而故 不存在,即调和级数发散.本讲稿第十七页，共三十七页三.无穷级数的基本性质 若 c 0 为常数,则与1.性质性质 1有相同的敛散性,且 本讲稿第十八页，共三十七页证证的部分和为的部分和为故同时收敛或同时发散,即与且有本讲稿第十九页，共三十七页2.性质性质 2本讲稿第二十页，共三十七页证证的部分和为：故即 级数收敛,且本讲稿第二十一页，共三十七页 因为等比级数所以级数例7本讲稿第二十二页，共三十七页问 题 一个收敛级数与一个发散级数的和是收敛的还是发散的？是发散的本讲稿第二十三页，共三十七页问 题 两个发散的级数之和是收敛
4、的还是发散的？不一定本讲稿第二十四页，共三十七页 但对收敛级数来说,它的和将改变.在一个级数的前面加上或者去掉有限项后,所得到的新的级数与原级数的敛散性相同.3.性质性质 3本讲稿第二十五页，共三十七页证证设级数的部分和为 Sn,去掉级数的前面 m 项后得到的级数的部分和为本讲稿第二十六页，共三十七页由于 Sm 当 m 固定时为一常数,所以故 级数与级数本讲稿第二十七页，共三十七页级数仍然收敛,且其和不变.对收敛的级数加括号后所得到的新 在级数运算中,不能随意加上或去掉括 号,因为这样做可能改变级数的敛散性.4.性质性质 4本讲稿第二十八页，共三十七页问 题 收敛的级数去掉括号后所成的级数仍收
5、敛吗？不一定本讲稿第二十九页，共三十七页问 题 发散的级数加括号后所成的级数是否仍发散？不一定本讲稿第三十页，共三十七页问 题 如果加括号后的级数仍发散,原级数是否也发散？原级数也发散加括号可引起收敛,去括号可引起发散.本讲稿第三十一页，共三十七页本讲稿第三十二页，共三十七页一、一、一、一、交错级数及其敛散性交错级数及其敛散性交错级数及其敛散性交错级数及其敛散性 交错级数是各项正负相间的一种级数，它的一般形式为或其中，un0 (n=1,2,)本讲稿第三十三页，共三十七页定理定理定理定理(莱布尼兹判别法)若交错级数满足条件(1)(2)unun+1 (n=1,2,)则交错级数收敛，且其和S的值小于u1.(级数收敛的必要条件)本讲稿第三十四页，共三十七页级数的绝对收敛和条件收敛定义定义定义定义：若级数若级数例如绝对收敛条件收敛本讲稿第三十五页，共三十七页(2)绝对收敛级数的性质 性质性质性质性质1 1.任意交换绝对敛级数中各项的位置，其敛散性不变，其和也不变.本讲稿第三十六页，共三十七页本讲稿第三十七页，共三十七页