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1、高等数学常数项级数高等数学常数项级数的概念和性质的概念和性质1本讲稿第一页，共四十一页常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件三、级数收敛的必要条件 第一节第一节2本讲稿第二页，共四十一页一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 引例引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆面积用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正依次作圆内接正边形边形,这个和逼近于圆的面积这个和逼近于圆的面积 A.设设 a0 表示表示即即内接正三角形面积内接正三角形面积,ak 表示边数表示边数增加时增加的面积增加时增加的面积,则圆
2、内接正则圆内接正3本讲稿第三页，共四十一页定义：定义：给定一个数列给定一个数列将各项依将各项依即即称上式为称上式为无穷级数无穷级数，其中第其中第 n 项项叫做级数的叫做级数的一般项一般项,级数的前级数的前 n 项和项和称为级数的称为级数的部分和部分和.次相加次相加,简记为简记为一般项一般项4本讲稿第四页，共四十一页部分和数列部分和数列级数的级数的部分和部分和当当n=1n=1，2 2，3 3，时时又形成一个新的数列，又形成一个新的数列，5本讲稿第五页，共四十一页当级数收敛时当级数收敛时,称差值称差值为级数的为级数的余项余项.则称无穷级数则称无穷级数发散发散.显然显然收敛收敛,并称并称 S 为级数
3、的为级数的和和,记作记作则称无穷级数则称无穷级数6本讲稿第六页，共四十一页例例1.讨论等比级数讨论等比级数(又称几何级数又称几何级数)(q 称为公比称为公比)的敛散性的敛散性.解解:1)若若从而从而因此级数收敛因此级数收敛,从而从而则部分和则部分和因此级数发散因此级数发散.其和为其和为9本讲稿第九页，共四十一页2).若若因此级数发散因此级数发散;因此因此n 为奇数为奇数n 为偶数为偶数从而从而综合综合 1)、2)可知可知,则则级数成为级数成为不存在不存在,因此级数发散因此级数发散.10本讲稿第十页，共四十一页例2.判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性:解解:(1)所以级数(1)发散;技巧技
4、巧:利用“拆项相消拆项相消”求和11本讲稿第十一页，共四十一页(2)所以级数所以级数(2)收敛收敛,其和为其和为 1.技巧技巧:利用利用“拆项相消拆项相消”求和求和12本讲稿第十二页，共四十一页例例3 3：对级数：对级数 做如下推导：设做如下推导：设于是于是所以所以s=-1.s=-1.判断上述结论是否正确，说明理由。判断上述结论是否正确，说明理由。13本讲稿第十三页，共四十一页 例4.判别级数的敛散性.解解:故原级数收敛,其和为14本讲稿第十四页，共四十一页二、无穷级数的基本性质二、无穷级数的基本性质 性质性质1.若级数若级数收敛于收敛于 S,则各项则各项乘以常数乘以常数 c 所得级数所得级数
5、也收敛也收敛,证证:令令则则这说明这说明收敛收敛,其和为其和为 c S.说明说明:级数各项乘以非零常数后其敛散性不变级数各项乘以非零常数后其敛散性不变.即即其和为其和为 c S.15本讲稿第十五页，共四十一页性质性质2.设有两个收敛级数设有两个收敛级数则级数则级数也收敛也收敛,其和为其和为证证:令令则则这说明级数这说明级数也收敛也收敛,其和为其和为16本讲稿第十六页，共四十一页说明说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散若两级数中一个收敛一个发散,则则必发散必发散.但若二级数都发散但若二级数都发散,不一定发散不一定发散.例如例如,(1)性质性质2 表明收敛级数可逐项相加或减表明收敛级数可逐项相加
6、或减.(用反证法可证用反证法可证)练习练习 判别级数判别级数的敛散性。的敛散性。7/217本讲稿第十七页，共四十一页性质性质3.在级数前面加上或去掉在级数前面加上或去掉有限项有限项,不会影响级数不会影响级数的敛散性的敛散性.证证:将级数将级数的前的前 k 项项去掉去掉,的部分和为的部分和为数敛散性相同数敛散性相同.当级数收敛时当级数收敛时,其和的关系为其和的关系为类似可证前面加上有限项的情况类似可证前面加上有限项的情况.极限状况相同极限状况相同,故新旧两级故新旧两级所得新级数所得新级数18本讲稿第十八页，共四十一页性质性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数收敛级数加括弧后所成的级数仍
7、收敛于原级数的和的和.证证:设收敛级数设收敛级数若按某一规律加括弧若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列则新级数的部分和序列 为原级数部分和为原级数部分和序列序列 的一个子序列的一个子序列,推论推论:若加括弧后的级数发散若加括弧后的级数发散,则原级数必发散则原级数必发散.因此必有因此必有用反证法可证用反证法可证例如例如19本讲稿第十九页，共四十一页注意注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.收敛收敛 发散发散 发散的级数加括号可能收敛，故不能用加发散的级数加括号可能收敛，故不能用加括号的方法判别原级数收敛，但可以用加括号的括号的方法判别原级数收敛，但可以
8、用加括号的方法判别原级数发散。方法判别原级数发散。给了一个级数后给了一个级数后,要判断收敛还是发散，可以按照要判断收敛还是发散，可以按照级数的特点加括号级数的特点加括号,但是想的是希望它是发散的但是想的是希望它是发散的.若加括若加括号以后收敛了号以后收敛了,那么什么结论都得不到那么什么结论都得不到.20本讲稿第二十页，共四十一页例例5.判断级数的敛散性判断级数的敛散性:解解:考虑加括号后的级数考虑加括号后的级数发散发散,从而原级数发散从而原级数发散.21本讲稿第二十一页，共四十一页三、级数收敛的三、级数收敛的必要条件必要条件 设收敛级数设收敛级数则必有则必有证证:可见可见:若级数的一般项不趋于
9、若级数的一般项不趋于0,则级数必发散则级数必发散.例如例如,其一般项为其一般项为不趋于不趋于0,因此这个级数发散因此这个级数发散.22本讲稿第二十二页，共四十一页注意注意:并非级数收敛的充分条件并非级数收敛的充分条件.例如例如,调和级数调和级数虽然虽然但此级数发散但此级数发散.讨论讨论1 事实上事实上,假设调和级数收敛于假设调和级数收敛于 S,则则但但矛盾矛盾!所以假设不真所以假设不真.23本讲稿第二十三页，共四十一页讨论讨论2 2在区间在区间nn，n+1n+1上对函数上对函数lnxlnx使用拉格朗日中值定理，使用拉格朗日中值定理，24本讲稿第二十四页，共四十一页8项4项2项2项 项由性质由性
10、质4 4推论推论,调和级数发散调和级数发散.讨论讨论3 325本讲稿第二十五页，共四十一页例例6.判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性,若收敛求其和若收敛求其和:解解:(1)令令则则故故从而从而这说明级数这说明级数(1)发散发散.26本讲稿第二十六页，共四十一页因因进行拆项相消进行拆项相消这说明原级数收敛这说明原级数收敛,其和为其和为(2)27本讲稿第二十七页，共四十一页这说明原级数收敛这说明原级数收敛,其和为其和为 3.(3)28本讲稿第二十八页，共四十一页作业作业 P192 1(1),(3)；3(2)；4(1),(3),(5);29本讲稿第二十九页，共四十一页思考题思考题30本讲稿第三十页，共四十一页思考题解答思考题解答能能由柯西审敛原理即知由柯西审敛原理即知31本讲稿第三十一页，共四十一页练习题练习题32本讲稿第三十二页，共四十一页33本讲稿第三十三页，共四十一页练习题答案练习题答案34本讲稿第三十四页，共四十一页41本讲稿第四十一页，共四十一页