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1、同角三角函数的基本关系第1页，本讲稿共35页教学目的：教学目的：1、能根据三角函数的定义导出同角三角函数的、能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式；基本关系式；2、掌握三种基本关系式之间的联系；、掌握三种基本关系式之间的联系；3、熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三、熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法；角函数值的方法；4、根据三角函数关系式进行三角式的化简和、根据三角函数关系式进行三角式的化简和证明。证明。教学重点、难点：教学重点、难点：重点：重点：三角函数基本关系式的推导、记忆及应用。三角函数基本关系式的推导、记忆及应用。难点：难点：如何运用公式对三角式进行化简
2、和证明。如何运用公式对三角式进行化简和证明。第2页，本讲稿共35页 知识复习知识复习 回顾三角函数的定义回顾三角函数的定义.第3页，本讲稿共35页三角函数的定义三角函数的定义有何联系？第4页，本讲稿共35页在在直直角角三三角角形形OMPOMP中中由由勾勾股股定定理理很很容易得到：容易得到：由正切函数定义很容易得到：由正切函数定义很容易得到：yxa aP(x,y)OA(1,0)M第5页，本讲稿共35页同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系平方关系平方关系:商数关系商数关系:同一个角同一个角 的正弦、的正弦、余弦的平方和等于余弦的平方和等于1，商等于角商等于角 的正切的正切.第6页，本讲稿共
3、35页1、同角的理解：、同角的理解：2、是是 的简写形式，与的简写形式，与 不同。不同。3、公式可以变形使用、公式可以变形使用，同时注意公式的正用、逆用。，同时注意公式的正用、逆用。“同角同角”二层含义二层含义:一是一是”角相同角相同”,二是二是”任意任意”一个角一个角.对于上述两个公式，你觉得怎样理解？对于上述两个公式，你觉得怎样理解？第7页，本讲稿共35页知识探究知识探究：基本变形基本变形 思考思考1 1：对于平方关系：对于平方关系 可作哪些变形？可作哪些变形？第8页，本讲稿共35页思考思考2 2：对于商数关系对于商数关系 可作哪可作哪些变形？些变形？思考思考3 3：结合平方关系和商数关系
4、，可结合平方关系和商数关系，可得到哪些新的恒等式？得到哪些新的恒等式？第9页，本讲稿共35页问题:是否存在同时满足下列三个条件的角是否存在同时满足下列三个条件的角?不存在不存在第10页，本讲稿共35页归纳探索第11页，本讲稿共35页基本关系yxO第12页，本讲稿共35页同角公式第13页，本讲稿共35页典型例题典型例题典型例题典型例题 类型一类型一类型一类型一：求值：求值：求值：求值例例例例1 1（1 1）已知已知已知已知，并且并且并且并且是第二象限角，求是第二象限角，求是第二象限角，求是第二象限角，求（2 2）已知）已知，求，求又又是第二象限是第二象限角，角，即有，即有从而从而解：（解：（1
5、1）（2 2）又又在在第二或三象限角。第二或三象限角。当当在第二象限在第二象限时时，即有，即有，从而，从而 当当在第四象限在第四象限时时，即有，即有，从而，从而第14页，本讲稿共35页P19例6已知，求 的值。解：解：（1）当）当 时时（2）当）当 时时分类讨论分类讨论第15页，本讲稿共35页练习P20 练习1P20 练习2分类讨论分类讨论1.已知已知 ,求求 的值的值.2.2.已知已知 ,求求 的值的值.第16页，本讲稿共35页例例例例2 2已知已知已知已知为为为为非零非零非零非零实实实实数，用数，用数，用数，用表示表示解解：，即有，即有又又为为非零非零实实数，数，为为象限角。象限角。当当在
6、第一、四象限在第一、四象限时时，即有，即有，从而，从而当当在第二、三象限在第二、三象限时时，即有，即有，从而，从而第17页，本讲稿共35页已知，求 的值。解：解：（1）当）当 时时不妨设不妨设x=4，y=3（2）当）当 时时不妨设不妨设x=-4，y=-3分分类类讨讨论论变式训练变式训练：第18页，本讲稿共35页练习P20 练习2分类讨论分类讨论思考：例思考：例6能否用这种方法？能否用这种方法？第19页，本讲稿共35页同角关系式的应用同角关系式的应用 （1）求值）求值P22 B3 解：分子分母同时除以解：分子分母同时除以coscos 得：得：得：得：第20页，本讲稿共35页练习注意：注意：“1”
7、的灵活代换，特别是关于的灵活代换，特别是关于sina 、cosa齐次式齐次式第21页，本讲稿共35页例例例例3 3化化化化简简简简解：原式解：原式解：原式解：原式例例例例4 4化化化化简简简简解：原式解：原式同角关系式的应用同角关系式的应用 （2）化简）化简第22页，本讲稿共35页例例 求证求证恒等式证明常用方法恒等式证明常用方法?基本思路基本思路:由繁到简由繁到简可以从左边往右边证，可可以从左边往右边证，可以从右边往左边证，也可以从右边往左边证，也可以证明等价式。以证明等价式。第23页，本讲稿共35页p19例例5求证：求证：证明：证明：因此因此作作差差法法同角关系式的应用同角关系式的应用 （
8、3）证明恒等式）证明恒等式比较法比较法第24页，本讲稿共35页证法二：证法二：因为因为因此因此由原题知：由原题知：恒恒等等变变形形的的条条件件分析法分析法第25页，本讲稿共35页证法三：证法三：由原题知：由原题知：则则原式左边原式左边=右边右边因此因此恒恒等等变变形形的的条条件件第26页，本讲稿共35页2.求证求证1.化简化简第27页，本讲稿共35页例例例例6 6 已知已知，求，求解：由解：由等式两等式两边边平方：平方：（*），即），即可看作方程可看作方程的两个根，解得的两个根，解得又又，又由（又由（*）式知）式知因此，因此，构构造造方方程程组组的的方方法法第28页，本讲稿共35页补充练习补充
9、练习第29页，本讲稿共35页aaaaaaaacossinsincoscossin)sin(costanxxtanxsinxcosxcosxsin:.+-+=+-+-=-1112211211222）（）（证明第30页，本讲稿共35页关于关于sina,cosa的齐的齐次式，求值时分子、次式，求值时分子、分母同除以分母同除以cosa的的最高次，方便利最高次，方便利用用tana值代入计算。值代入计算。=+-=+-=-=132353427532123222aaaaaaaaaaaacossincoscoscossinsin)(cossincossin,tan.）（）（则已知第31页，本讲稿共35页要注意要
10、注意sina+cosa,sinacosa,sina-cosa三个量之间有联系：三个量之间有联系：(sina+cosa)2=1+2sinacosa;(sina+cosa)2=1+2sinacosa知知“一一”求求“二二”第32页，本讲稿共35页注意分类讨论是以注意分类讨论是以cosacosa的正负为依据进行的。的正负为依据进行的。第33页，本讲稿共35页小结：小结：1.1.同角三角函数的两个基本关系是对同一个角同角三角函数的两个基本关系是对同一个角而言的，由此可以派生出许多变形公式，应用而言的，由此可以派生出许多变形公式，应用中具有灵活、多变的特点中具有灵活、多变的特点.2.2.利用平方关系求值
11、时往往要进行开方运算，利用平方关系求值时往往要进行开方运算，因此要根据角所在的象限确定三角函数值符号，因此要根据角所在的象限确定三角函数值符号，必要时应就角所在象限进行分类讨论必要时应就角所在象限进行分类讨论3.3.化简、求值、证明，是三角变换的三个基本问化简、求值、证明，是三角变换的三个基本问题，具有一定的技巧性，需要加强训练，不断总题，具有一定的技巧性，需要加强训练，不断总结、提高结、提高.第34页，本讲稿共35页注意：注意：1同角三角函数基本关系式及成立的条件；同角三角函数基本关系式及成立的条件；2根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值；值；3在以上的题型中：先确定角的终边位置，再根据在以上的题型中：先确定角的终边位置，再根据关系式求值。如已知正弦或余弦，则先关系式求值。如已知正弦或余弦，则先用平方关系，再用其它关系求值；若已知正切或余切，用平方关系，再用其它关系求值；若已知正切或余切，则可构造方程组来求值。则可构造方程组来求值。4运用同角三角函数关系式化简、证明。常用的变形运用同角三角函数关系式化简、证明。常用的变形措施有：大角化小，切割化弦等。措施有：大角化小，切割化弦等。第35页，本讲稿共35页