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1、精品文档第一章 计数原理复习导学案一学习目标1掌握分类计数原理与分步计数原理、并能用它分析和解决一些简单的应用问题2理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题3理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数性质，并能用它们解决一些简单的应用问题4掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题二知识网络组合排列组合二项式定理两个计数原理排列排列概念排列数公式组合概念组合数公式组合数性质应用通项公式二项式定理二项式系数性质应用第一课 两个原理一知识梳理1分类计数原理也称加法原理：做一件事情，完成它可以有n类方法，在第一类方法中有m1种不同的方法，在第二类方
2、法中有m2种不同的方法，在第n类方法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N 种不同的方法2分步计数原理也称乘法原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N 种不同的方法3解题方法：枚举法、插空法、隔板法二根底自测1.有一项活动需在3名老师，8名男同学和5名女同学中选人参加，1假设只需一人参加，有多少种不同的选法？2假设需一名老师，一名学生参加，有多少种不同的选法？3假设只需老师，男同学，女同学各一人参加，有多少种不同的选法？2.09重庆卷将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，
3、那么不同的分配方案有 种用数字作答3.如下图，用五种不同的颜色分别给A、B、C、D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，假设允许同一种颜色屡次使用，那么不同的涂色方法共有 种.4.09全国卷甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。假设从甲、乙两组中各选出2名同学，那么选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有 5.09浙江卷甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，假设每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，那么不同的站法种数是 用数字作答三典例剖析例1 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？练习：1.从1到20这20个整数中,任取两个相加,使其和大于20
4、,共有几种取法?例2 集合M=-3,-2,-1,0,1,2,P(a,b)表示平面上的点(a,bM),问:(1)P可表示平面上多少个不同的点?(2)P可表示平面上多少个第二象限的点?(3)P可表示多少个不在直线y=x上的点?练习：2.某体育彩票规定：从01到36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元.某人想先选定吉利号18，然后从01至17中选3个连续的号，从19至29中选2个连续的号，从30至36中选1个号组成一注.假设这个人要把这种要求的号全买下，至少要花多少元钱？例3 16分现有高一四个班学生34人,其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组.1选其中一人为负
5、责人，有多少种不同的选法？2每班选一名组长，有多少种不同的选法？3推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？练习：3.某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动.1任选1个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？2三个年级各选一个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？3选2个班的学生参加社会实践，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法？四自主检测一选择题109北京卷理用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 A324 B328 C360 D6482.08全国文将1，2，3填入33的方格中，
6、要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，那么不同的填写方法共有 A6种B12种C24种D48种3.2021四川卷文2位男生和3位女生共5位同学站成一排，假设男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，那么不同排法的种数是 A. 60 B. 48 C. 42 D. 36二、填空题4.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，那么不同的报名方法共有 种.答案 325.某通讯公司推出一组 卡号码，卡号的前七位数字固定，从“0000”到“9999”共10 000个号码，公司规定：凡卡号的后四位中带有数字“4”或“7”的一律作为优惠卡，那么这组号码中“优惠卡共有 个.答案
7、5 9046.假设一个m,n均为非负整数的有序数对m,n)，在做m+n的加法时各位均不会进位，那么称m,n)为“简单的有序数对，m+n称为有序数对m,n)的值，那么值为1 942的“简单的有序数对的个数是 .答案 300三、解答题7.14名同学选报跑步、跳高、跳远三个工程，每人报一项，共有多少种报名方法？24名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？8.用5种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，假设要求相邻有公共边的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？ 9.在平面直角坐标系内，点Pa，b的坐标满足ab,且a,b都是集合1,2,3,4,5,6的元素,又
8、点P到原点的距离|OP|P的个数.10.将3种作物种植在如下图的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有多少种？ 第二课 排列与组合一知识梳理排列组合1概念2公式3性质二根底自测1.09北京卷文用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 ；2.09湖北卷文从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，那么不同的选派方法共有 3.停车场每排恰有10个停车位.当有7辆不同型号的车已停放在同一排后，恰有3个空车位连在一起的排法有 种.用式子表示4.在100件产品
9、中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法种数是 用式子表示.5.如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，那么不同的涂色方法共有 种用数字作答.三典例剖析例1 六人按以下要求站一横排，分别有多少种不同的站法？1甲不站两端；2甲、乙必须相邻；3甲、乙不相邻；4甲、乙之间间隔两人；5甲、乙站在两端；6甲不站左端，乙不站右端.练习：1.用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个分别符合以下条件的无重复数字的四位数：(1)奇数；(2)偶数；(3)大于3 125的数.例2 男运发动6名，女运发动4名，其中男女队
10、长各1人.选派5人外出比赛.在以下情形中各有多少种选派方法？1男运发动3名，女运发动2名；2至少有1名女运发动；3队长中至少有1人参加；4既要有队长，又要有女运发动.练习：2.某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中1某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？2甲、乙均不能参加，有多少种选法？3甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？4队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？例3 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.1恰有1个盒不放球，共有几种放法？2恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？3恰有2个盒不放球，共有几种放法？练习：3.
11、有6本不同的书按以下分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？1分成1本、2本、3本三组；2分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；3分成每组都是2本的三组；4分给甲、乙、丙三人，每人2本.四自主检测一选择题1.08上海组合数Cnr1，n、rZ恒等于 AC B(n+1)(r+1)C Cnr C DC2. 09全国卷甲、乙两人从4门课程中各选修2门。那么甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有 A. 6种 B. 12种 C. 30种 D. 36种3.09辽宁卷从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，那么不同的组队方案共有 A70种 B 8
12、0种 C 100种 D140种 二、填空题4.将编号为1，2，3，4，5的五个球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子里，每个盒子内放一个球，假设恰好有三个球的编号与盒子编号相同，那么不同投放方法共有 种.5.平面内有四个点，平面内有五个点，从这九个点中任取三个，最多可确定 个平面，任取四点，最多可确定 个四面体.用数字作答6(06陕西卷)某校从8名教师中选派4名教师同时去4个遥远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，那么不同的选派方案共有 种 三、解答题7.某外商方案在4个候选城市投资3个不同的工程，且在同一个城市投资的工程不超过2个，求该外商不同的投资方案有多少种？8.课外活动小组共13
13、人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依以下条件各有多少种选法？1只有一名女生；2两队长中选；3至少有一名队长中选；4至多有两名女生中选.9.平面，在内有4个点，在内有6个点.1过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同平面？2以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？3上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？10.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，共有多少种不同排法？第三课 二项式定理一知识梳理1(ab)n (nN)，这个公式称做二项式定理，右边的多项式叫做(ab)n的二
14、项展开式，其中的系数 叫做二项式系数式中的 叫做二项展开式的通项，用Tr1表示，即通项公式Tr1 是表示展开式的第r1项2二项式定理中，二项式系数的性质有： 在二项式展开式中，与首末两项“等距离的两项二项式系数相等，即： 如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大，即当n是偶数时，n+1是奇数，展开式共有n+1项，中间一项，即：第 项的二项式系数最大，为 ；当n是奇数时，n+1是偶数，展开式共有n+1项，中间两项，即第 项及每 项，它们的二项式系数最大，为 二项式系数的和等于，即 二项展开式中，偶数项系数和等于奇数项的系数和
15、即 展开式中相邻两项的二项式系数的比是：3二项式定理主要有以下应用近似计算解决有关整除或求余数问题用二项式定理证明一些特殊的不等式和推导组合公式其做法称为“赋值法注意二项式定理只能解决一些与自然数有关的问题 杨辉三角形二，根底自测1.在1+xn(nN*)的二项展开式中，假设只有x5的系数最大，那么n= .2.在a2-2an的展开式中，那么以下说法错误的有 个.没有常数项当且仅当n=2时，展开式中有常数项当且仅当n=5时，展开式中有常数项当n=5k (kN*)时，展开式中有常数项(x+1n-C(x+1)n-1+(-1)rC(x+1)n-r+(-1)nC=a0xn+a1xn-1+an-1x+an,
16、那么a0+a1+an-1+an= .4. 09浙江卷理在二项式的展开式中，含的项的系数是 。 5. 09陕西卷文假设,那么的值为 。 三典例剖析例1 在二项式(+)n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系数最大的项.练习：1.在3x-2y20的展开式中，求：1二项式系数最大的项；2系数绝对值最大的项；3系数最大的项.例2 (1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a7x7.求:(1)a1+a2+a7;(2)a1+a3+a5+a7;(3)a0+a2+a4+a6;(4)|a0|+|a1|+|a2|+|a7|.练习：2.求x(1-x)4+x2(1+2x)5+x3(1-3x)7
17、展开式中各项系数的和.例31nN*,求证：1+2+22+23+25n-1能被31整除；2求6的近似值，使误差小于0.001.练习：3.求证:3n(n+2)2n-1 nN*，n2.四自主检测一选择题108安徽卷设那么中奇数的个数为 A2B3 C4D52.09北京卷理假设为有理数，那么 A45 B55 C70 D803.08江西卷 展开式中的常数项为 A1 B46 C4245 D4246二、填空题4.(x-)8展开式中常数项为1 120，其中实数a为常数，那么展开式中各项系数的和为 .5.假设(1+5x2)n的展开式中各项系数之和是an,2x3+5)n的展开式中各项的二项式系数之和为bn,那么的值
18、为 .mN*,nN*,假设f(x)=(1+2x)m+(1+3x)n的展开式中x的系数为13，那么x2的系数为 .三、解答题7.(+)n (nN*)的展开式中第5项的系数与第3项的系数之比为101.求展开式中系数最大的是第几项？8.+3x2n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.求展开式中系数最大的项.9.1求(x2-)9的展开式中的常数项；2(-)9的展开式中x3的系数为，求常数a的值；3求x2+3x+25的展开式中含x的项.10.在2x-3y10的展开式中，求：1二项式系数的和；2各项系数的和；3奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；4奇数项系数和与偶数项系数和；5x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.