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1、揭阳市2015年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(理科)参考答案及评分说明 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考 查内容比照评分标准制订相应的评分细则 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四、只给整数分数一、选择题：CBBD ACBC解析：7. 不同的摆法种数为:或8. 集合，当时为空集；集合即，故集合是互倒集；对于集合当时，当时
2、，显然非互倒集；对于集合，且，故集合是互倒集.二、填空题：9. ；10. ；11.；12.；13. 3；14. ；15.解析：12.所求概率.13.由得曲线的切线的斜率，故切线方程为，令得，故数列是首项，公比的等比数列，又，所以.15依题意得，因BEACFA得,所以 三、解答题：16解：（1）由得-2分（2）解法1：由 得 -3分 ， -4分-6分-8分 -10分-12分解法2：由 得，-3分即-5分-6分将代入并整理得，-8分解得：，-10分 ，故中负值不合舍去，-11分.-12分17解：（1）频率分布表和频率分布直方图如下图示： -3分 -7分（2）设表示事件“此人于当月日到达该市”（ =
3、1,2，10）.则（ =1,2，10）-8分依题意可知，的所有可能取值为0,1,2且P(=0)= P(A5)+P(A6)=, -9分P(=1)= P(A1)+P(A4)+P(A7)+P(A10)=，-10分P(=2)= P(A2)+P(A3) +P(A8)+P(A9) =，-11分所以的数学期望-12分18.（1）证明：AB平面BCD，平面 ，-1分又， ， 平面，-2分又E、F分别是AC、AD的中点，-3分EF平面ABC又平面BEF，平面BEF平面ABC-4分（2）解法1：由（1）知EFCD-5分 -6分-8分解法2：取BD中点G，连结FC和FG，则FG/AB，-5分AB平面BCD，FG 平
4、面BCD，-6分由（1）知EF平面ABC，.-8分（3）解法1：以点C为坐标原点，CB与CD所在的直线分别为x、y轴建立空间直角坐标系如图示，-9分则,-10分设平面BEF的一个法向量为，由得令得，-12分是平面BCD的法向量，设平面BEF与平面BCD所成的锐二面角大小为，则, 所求二面角的余弦值为-14分解法2：过点B作/CD，则平面 EF/CD， 平面, 为平面BEF与平面BCD的交线，-10分平面，平面，又，为平面BEF与平面BCD所成的锐二面角的平面角，-12分在中，BE=CE，即所求二面角的余弦值为-14分19.解：（1）由和可得 -2分（2）解法1：当时，由得，-4分-6分数列是首
5、项，公差为6的等差数列，-7分-8分解法2：当时，由-4分可得 ,-6分数列是首项,公差为3的等差数列，即.-8分（3）证明：-10分-11分-13分命题得证-14分20.解：(1)设,由得,-1分又，, , .-3分由得即，曲线的方程式为.-5分（2）解法1：由曲线C关于轴对称可知，若存在点，使得以为直径的圆恒过点，则点必在轴上，设，-6分又设点，由直线与曲线有唯一公共点知，直线与曲线相切，由得，-7分直线的方程为，-8分令得，点的坐标为，-9分-10分点在以为直径的圆上，-12分要使方程对恒成立，必须有解得，-13分在坐标平面内存在点，使得以为直径的圆恒过点，其坐标为-14分解法2：设点，
6、由与曲线有唯一公共点知，直线与曲线相切，由得，-6分直线的方程为，-7分令得，点的坐标为，-8分以为直径的圆方程为：-10分分别令和，由点在曲线上得，将的值分别代入得：-联立解得或，-12分在坐标平面内若存在点，使得以为直径的圆恒过点，则点必为或，将的坐标代入式得，式，左边=右边，将的坐标代入式得，式，左边=不恒等于0，-13分在坐标平面内是存在点，使得以为直径的圆恒过点，点坐标为为-14分21.解：（1），-1分若，则对任意的都有，即函数在上单调递减，函数在上无极值；-2分若，由得，当时，当时，即函数在单调递减，在单调递增，函数在处有极小值，.-4分（2）解法1：函数=在区间上为减函数且当时，在上恒成立在上恒成立，-5分设，则-7分当时，所以在上恒成立，即函数在上单调递减，-8分当时，.-9分解法2：函数=在区间上为减函数对 ，-（）恒成立，-5分，当时，（）式显然成立；-6分当时，（）式在上恒成立，设，易知在上单调递增，-7分，-8分综上得.-9分（3）证法1：由（2）知，当时，,，-10分对任意的有，-12分，即-14分证法2：先证明当时，令,则对任意的恒成立，-10分函数在区间上单调递减，当时，-11分对任意的，而-12分.-14分