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1、简单的线性规划问题本讲稿第一页，共四十七页一、导学提示，自主学习一、导学提示，自主学习二、新课引入，任务驱动二、新课引入，任务驱动三、新知建构，典例分析三、新知建构，典例分析四、当堂训练，针对点评四、当堂训练，针对点评五、课堂总结，布置作业五、课堂总结，布置作业3.3.23.3.2简单线性规划问题（2 2课时）本讲稿第二页，共四十七页一、导学提示，自主学习1.本节学习目标本节学习目标（1）了解线性规划的意义以及约束条件、线性目）了解线性规划的意义以及约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等相关的基本概念标函数、可行域、最优解等相关的基本概念（2）了解线性规划的图解法，并会用图解法求线）了解线性
2、规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大（小）值性目标函数的最大（小）值.（3）掌握对一些实际优化问题建立线性规划数学）掌握对一些实际优化问题建立线性规划数学模型并运用图解法进行求解的基本方法和步骤模型并运用图解法进行求解的基本方法和步骤 学习重点学习重点：线性规划的图解法：线性规划的图解法学习难点：寻求线性规划问题的最优解学习难点：寻求线性规划问题的最优解 本讲稿第三页，共四十七页一、导学提示，自主学习2.本节主要题型本节主要题型题型一题型一 求线性目标函数的最值求线性目标函数的最值题型二题型二 线性规划的实际应用线性规划的实际应用3.自主学习教材自主学习教材P87-P913.3.2简
3、单的线性规划问题简单的线性规划问题本讲稿第四页，共四十七页1 1、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法：、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法：2 2、二元一次不等式组表示的平面区域、二元一次不等式组表示的平面区域“直线定界、特殊点定域直线定界、特殊点定域”各个不等式所表示的平面区域的公共部分各个不等式所表示的平面区域的公共部分二、新课引入，任务驱动本讲稿第五页，共四十七页通过本节的学习你能掌握简单的线性规通过本节的学习你能掌握简单的线性规划问题的解法及步骤吗？划问题的解法及步骤吗？二、新课引入，任务驱动本讲稿第六页，共四十七页三、新知建构，典例分析 一一.简单线性性规划有关概念划有关
4、概念二二.简单线性性规划划问题解解题步步骤 本讲稿第七页，共四十七页某工厂用某工厂用A,B两种配件生产甲两种配件生产甲,乙两种产品乙两种产品,每生产一件甲种产品使用每生产一件甲种产品使用4个个A配件耗时配件耗时1h,每生产一件乙种产品使用每生产一件乙种产品使用4个个B配件耗时配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得该厂每天最多可从配件厂获得16个个A配件和配件和12个个B配件配件,按每天工作按每天工作8小时小时计算计算,该厂所有该厂所有可能的日生产安排是什么可能的日生产安排是什么?若生产若生产1件甲种产品获利件甲种产品获利2万元万元,生产生产1 件乙件乙种产品获利种产品获利3万元万元,采用哪种
5、生产安排利润最大采用哪种生产安排利润最大?三、新知建构，典例分析 本讲稿第八页，共四十七页32利润利润(万元万元)821所需时间所需时间1240B种配件种配件1604A种配件种配件资源限额资源限额 乙产品乙产品 (1件件)甲产品甲产品 (1件件)产品产品消消 耗耗 量量资资 源源把问题把问题1的有关数据列表表示如下的有关数据列表表示如下:设甲设甲,乙两种产品分别生产乙两种产品分别生产x,y件件,本讲稿第九页，共四十七页将上面不等式组表示成平面上的区域将上面不等式组表示成平面上的区域,区域内区域内所有坐标为整数的点所有坐标为整数的点P(x,y),安排生产任务安排生产任务x,y都是有意义的都是有意
6、义的.0 xy4348设甲设甲,乙两种产品分别生产乙两种产品分别生产x,y件件,由己知条件可得由己知条件可得:问题：问题：求利润求利润2x+3y的最大值的最大值.本讲稿第十页，共四十七页若设利润为若设利润为z,则则z=2x+3y,这样上述问题转化为这样上述问题转化为:当当x,y在满足上述约束条件时在满足上述约束条件时,z的最大值为多少的最大值为多少?当点当点P在可允许的取值范围变化时在可允许的取值范围变化时,本讲稿第十一页，共四十七页0 xy4348M（4，2）问题：问题：求利润求利润z=2x+3y的最大值的最大值.本讲稿第十二页，共四十七页象这样关于象这样关于x,yx,y一次不等一次不等式组
7、的约束条件称为式组的约束条件称为线性约束线性约束条件条件Z=2x+3yZ=2x+3y称为目标函数称为目标函数,(,(因这里因这里目标函数为关于目标函数为关于x,yx,y的一次式的一次式,又又称为称为线性目标函数线性目标函数 在线性约束下求线性目标函数在线性约束下求线性目标函数的最值问题的最值问题,统称为统称为线性规划线性规划,本讲稿第十三页，共四十七页满足线性约束的解满足线性约束的解(x,y)(x,y)叫做叫做可行解可行解,所有可行解组成的集合叫做所有可行解组成的集合叫做可行域可行域使目标函数使目标函数取得最值取得最值的可行解叫做这个的可行解叫做这个问题的问题的最优解最优解变式：变式：若生产一
8、件甲产品获利若生产一件甲产品获利1万元万元，生产一件乙产品获利生产一件乙产品获利3万元万元，采用哪种采用哪种生产安排利润最大？生产安排利润最大？本讲稿第十四页，共四十七页0 xy4348N N（2 2，3 3）变式：变式：求利润求利润z=x+3y的最大值的最大值.本讲稿第十五页，共四十七页名称名称意义意义约束条件约束条件由变量由变量x,y 组成的不等式组组成的不等式组线性约束条件线性约束条件由由x,y的一次不等式（或方程）组成的不等式组的一次不等式（或方程）组成的不等式组目标函数目标函数关于关于x,y的函数解析式，如的函数解析式，如z=2x+3y等等线性目标函数线性目标函数关于关于x,y的一次
9、解析式的一次解析式可行解可行解满足线性约束条件的解（满足线性约束条件的解（x,y)可行域可行域所有可行解组成的集合所有可行解组成的集合最优解最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题小值问题本讲稿第十六页，共四十七页172 2、画画：画出线性约束条件所表示的可行域；画出线性约束条件所表示的可行域；3 3、移移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点利用平移的方法找出与可行域有
10、公共点且纵截距最大或最小的直线；且纵截距最大或最小的直线；4 4、求求：通过解方程组求出最优解；：通过解方程组求出最优解；5 5、答：作出答案。答：作出答案。1 1、找、找 找出线性约束条件、目标函数；找出线性约束条件、目标函数；三、新知建构，典例分析 本讲稿第十七页，共四十七页说明说明:二、二、最优解最优解一般在可行域的一般在可行域的顶点顶点处取得，也处取得，也有可能在边界处取得有可能在边界处取得四、在哪个顶点取得不仅与四、在哪个顶点取得不仅与B B的符号有关，的符号有关，而而且还与直线且还与直线 Z=Ax+ByZ=Ax+By的的斜率斜率有关有关一、一、先定先定可行域和平移方向，再找最优解。
11、可行域和平移方向，再找最优解。三、新知建构，典例分析 三、求线性目标函数的最优解，要注意分三、求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义析线性目标函数所表示的几何意义 -与与y轴上的截距相关的数。轴上的截距相关的数。本讲稿第十八页，共四十七页2.典例分析：典例分析：题型一题型一 求线性目标函数的最值求线性目标函数的最值题型二题型二 线性规划的实际应用线性规划的实际应用三、新知建构，典例分析本讲稿第十九页，共四十七页x4y3，例1.已知变量 x，y满足 3x5y25，求 z2xy 的x1，最大值和最小值思维突破：把z 看成直线在y 轴上的截距，先画出可行域，再求z 的最值三、
12、新知建构，典例分析本讲稿第二十页，共四十七页自主解答：作出不等式组所表示的可行域，如图:设直线 l0：2xy0，直线 l：2xyz，则 z 的几何意义是直线 y2xz 在 y 轴上的截距显然，当直线越往上移动时，对应在 y 轴上的截距越大，即 z 越大；当直线越往下移动时，对应在 y 轴上的截距越小，即 z 越小三、新知建构，典例分析本讲稿第二十一页，共四十七页作一组与直线 l0 平行的直线系 l，上下平移，可得：点 A(5,2)时，zmax25212；当直线 l 移动到直线 l2 时，即过当直线 l 移动到直线 l1 时，即过点 B(1,1)时，zmin211正确作出可行域后，将目标函数变为
13、直线方程的斜截式的形式，应注意该直线在y 轴上的截距与目标函数z取值的关系再注意该直线的斜率与可行域边界直线的斜率关系，以便准确找到最优解3.三、新知建构，典例分析本讲稿第二十二页，共四十七页y1，例2.已知实数 x，y 满足 y2x1，xym，如果目标函数 zxy 的最小值为1，则实数 m()A7B5C4D3思维突破：画出x，y 满足的可行域，可得直线y2x1与直线xym 的交点使目标函数zxy 取得最小值三、新知建构，典例分析本讲稿第二十三页，共四十七页答案：B三、新知建构，典例分析本讲稿第二十四页，共四十七页线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用线性规划的理论和方法主要在两类问题中
14、得到应用:一、在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它一、在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；们来完成最多的任务；二、给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、二、给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务物力、资金等资源来完成该项任务下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用：下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用：三、新知建构，典例分析本讲稿第二十五页，共四十七页例例例例3.3.3.3.营养学家指出营养学家指出,成人良好的日常饮食应该至成人良好的日常饮食应该至少提供少提供0.075kg0.075kg的
15、碳水化合物的碳水化合物,0.06kg,0.06kg的蛋白质的蛋白质,0.06kg,0.06kg的脂肪的脂肪.1kg.1kg食物食物A A含有含有0.105kg0.105kg碳水化碳水化合物合物,0.07kg,0.07kg蛋白质蛋白质,0.14kg,0.14kg脂肪脂肪,花费花费2828元元;而而1kg1kg食物食物B B含有含有0.105kg0.105kg碳水化合物碳水化合物,0.14kg,0.14kg蛋白蛋白质质,0.07kg,0.07kg脂肪脂肪,花费花费2121元元.为了满足营养专家为了满足营养专家指出的日常饮食要求指出的日常饮食要求,同时使花费最低同时使花费最低,需要需要同时食用食物同
16、时食用食物A A和食物和食物B B多少多少kgkg？三、新知建构，典例分析本讲稿第二十六页，共四十七页食物kg碳水化合物kg蛋白质/kg脂肪kgA0.1050.070.14B0.1050.140.07分析：将已知数据列成表格分析：将已知数据列成表格三、新知建构，典例分析本讲稿第二十七页，共四十七页解：设每天食用解：设每天食用xkg食物食物A，ykg食物食物B，总成本为，总成本为z，那么，那么目标函数为：目标函数为：z28x21y作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域1、找、找三、新知建构，典例分析本讲稿第二十八页，共四十七页把目标函数z28
17、x21y 变形为xyo/575/76/73/73/76/7 它表示斜率为它表示斜率为 纵截纵截距随距随z变化的一组平行直变化的一组平行直线线 是直线在是直线在y轴上的轴上的截距，当截距最小时，截距，当截距最小时，z的值最小。的值最小。M如图可见，当直线如图可见，当直线z28x21y 经过可行域经过可行域上的点上的点M时，纵截距最时，纵截距最小，即小，即z最小。最小。2、画、画3 3、移移本讲稿第二十九页，共四十七页M点是两条直线的交点，解方程组得得M点的坐标为：点的坐标为：所以所以zmin28x21y16 由此可知，每天食用食物由此可知，每天食用食物A143g，食物，食物B约约571g，能够满
18、足日常饮食要求，又使花费最低，最低成，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为本为16元。元。4 4、求求5 5、答答本讲稿第三十页，共四十七页31解线性规划问题的步骤：解线性规划问题的步骤：（1 1）2 2、画画：画出线性约束条件所表示的可行域；画出线性约束条件所表示的可行域；（2 2）3 3、移移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；且纵截距最大或最小的直线；（3 3）4 4、求求：通过解方程组求出最优解；：通过解方程组求出最优解；（4 4）5 5、答：作
19、出答案。答：作出答案。1 1、找、找 找出线性约束条件、目标函数；找出线性约束条件、目标函数；三、新知建构，典例分析本讲稿第三十一页，共四十七页例例4.某某工工厂厂现现有有两两种种大大小小不不同同规规格格的的钢钢板板可可截截成成A、B、C三三种种规规格格，每张钢板可同时截得三种规示每张钢板可同时截得三种规示：格的小钢板的块数如下表所格的小钢板的块数如下表所解：解：设需截第一种钢板设需截第一种钢板x张，第二种钢板张，第二种钢板y张，张，钢板钢板总总张数为张数为Z则则,规格类型规格类型钢板类型钢板类型第一种钢板第一种钢板第二种钢板第二种钢板A规格规格B规格规格C规格规格2121312x+y15,x
20、+2y18,x+3y27,x0y0 某顾客需要某顾客需要A,B,C三种规格的成品分别为三种规格的成品分别为15，18，27块，块，若你是经理若你是经理,问问各截这两种钢板多少张既能满足顾客要求又使所用钢板张数最少。各截这两种钢板多少张既能满足顾客要求又使所用钢板张数最少。分分析析问问题题:标目函数标目函数:z=x+y本讲稿第三十二页，共四十七页x0y2x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y=02x+y15,x+2y18,x+3y27,x0,y0直线直线x+y=12经过的整点是经过的整点是B(3,9)和和C(4,8)，它们是最优解，它们是最优解.作出直线作出直线L:x+y=0，目标函数目
21、标函数:z=x+yB(3,9)C(4,8)A(3.6,7.8)当直线当直线L经过点经过点A时时z=x+y=11.4,x+y=12解得交点解得交点B,C的坐标的坐标B(3,9)和和C(4,8)246181282724681015但它不是最优整数解但它不是最优整数解.作直线作直线x+y=12约束条件约束条件:画可行域画可行域平移平移L找交点及交点坐标找交点及交点坐标调整优解法调整优解法本讲稿第三十三页，共四十七页x0y2x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y=02x+y15,x+2y18,x+3y27,x0,xN*y0 yN*经经过过可可行行域域内内的的整整点点B(3,9)和和C(4,8)
22、且且和和原原点点距距离离最最近近的的直直线线是是x+y=12，它它们们是最优解是最优解.作出一组平行直线作出一组平行直线t=x+y，目标函数目标函数t=x+yB(3,9)C(4,8)A(18/5,39/5)打网格线法打网格线法在可行域内打出网格线，在可行域内打出网格线，当直线经过点当直线经过点A时时t=x+y=11.4,但它不是最优整数解但它不是最优整数解，将直线将直线x+y=11.4继续向上平移继续向上平移，1212182715978本讲稿第三十四页，共四十七页在可行域内找出最优解、线性规划整数解问题的一般方法是：1.若区域若区域“顶点顶点”处恰好为整点，那么它就是最优解；（在包括处恰好为整
23、点，那么它就是最优解；（在包括边界的情况下）边界的情况下）2.若区域若区域“顶点顶点”不是整点或不包括边界时，应先求出该点坐不是整点或不包括边界时，应先求出该点坐标，并计算目标函数值标，并计算目标函数值Z，然后在可行域内适当放缩目标函数，然后在可行域内适当放缩目标函数值，使它为整数，且与值，使它为整数，且与Z最接近，在这条对应的直线中，取可最接近，在这条对应的直线中，取可行域内整点，如果没有整点，继续放缩，直至取到整点为止。行域内整点，如果没有整点，继续放缩，直至取到整点为止。3.在可行域内找整数解，一般采用平移找解法，即打网络、找在可行域内找整数解，一般采用平移找解法，即打网络、找整点、平移
24、直线、找出整数最优解整点、平移直线、找出整数最优解本讲稿第三十五页，共四十七页例例5.5.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1 1车皮甲种车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐肥料的主要原料是磷酸盐4t4t、硝酸盐、硝酸盐18t18t；生产；生产1 1车皮乙种肥车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐料需要的主要原料是磷酸盐1t1t、硝酸盐、硝酸盐15t15t。现库存磷酸盐。现库存磷酸盐10t10t、硝酸盐、硝酸盐66t66t，在此基础上生产这两种混合肥料。列出，在此基础上生产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。并满足生产条件的数学关
25、系式，并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利计算生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？润？解：设解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：料的车皮数，于是满足以下条件：xyo本讲稿第三十六页，共四十七页例6 在上一节例4（P85）中，若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5000元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大利润？解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮，能够产生利润Z万元。目标函数为：可行域如图。把z=x+0.5y变形为
26、得到斜率为-2，在y轴上的截距为2z,随z变化的一族平行直线。xy0M由图可以看出，当直线y=-2x+2z经过可行域上的点M时，截距2z最大，即Z最大。本讲稿第三十七页，共四十七页xy0M解方程组得M的坐标为（2，2）所以答：生产甲种、乙种肥料各2车皮，能够产生最大利润，最大利润为3万元。本讲稿第三十八页，共四十七页 即先求非整数条件下的最优解，调即先求非整数条件下的最优解，调整整Z的值使不定方程的值使不定方程Ax+By=Z存在最大（小）的整存在最大（小）的整点值，最后筛选出整点最优解点值，最后筛选出整点最优解 即先打网格，描出可行域内的整点即先打网格，描出可行域内的整点，平平移直线，最先经过
27、或最后经过的整点坐标即为最优整解移直线，最先经过或最后经过的整点坐标即为最优整解线性规划求最优整数解的一般方法线性规划求最优整数解的一般方法:1.平移找解法：平移找解法：2.调整优解法调整优解法：三、新知建构，典例分析本讲稿第三十九页，共四十七页 x2y40，1已知实数 x，y 满足约束条件 2xy20，3xy30，则目标函数 zx2y 的最大值的可行解为_(2,3)四、当堂训练，针对点评本讲稿第四十页，共四十七页xy50，2已知 x，y 满足 x3，xyk0，且 z2x4y 的最小值)为6，则常数 k(A2 B9C3D0解析：画图后知：当 x3 时 z2x4y 取最小值6.D四、当堂训练，针
28、对点评本讲稿第四十一页，共四十七页2.某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、元、2000元，甲、乙产品都需要在元，甲、乙产品都需要在A、B两种设备上加工，在每台两种设备上加工，在每台A、B上加工上加工1件甲所需工时分别为件甲所需工时分别为1h、2h，A、B两种设备每两种设备每月有效使用台数分别为月有效使用台数分别为400h和和500h。如何安排生产可使收入。如何安排生产可使收入最大？最大？解：设每月生产甲产品解：设每月生产甲产品x件，生产乙产品件，生产乙产品y件，每月收件，每月收入为入为z，目标函数为，目标函数为Z3x2y，
29、满足的条件是：，满足的条件是：本讲稿第四十二页，共四十七页 Z 3x2y 变形为它表示斜率为 的直线系，Z与这条直线的截距有关。XYO400200250500 当直线经过点当直线经过点M时，截距最大，时，截距最大，Z最大。最大。M解方程组解方程组可得可得M（200，100）Z 的最大值的最大值Z 3x2y800故生产甲产品故生产甲产品200件，件，乙产品乙产品100件，收入最件，收入最大，为大，为80万元。万元。本讲稿第四十三页，共四十七页五、课堂总结，布置作业1课堂总结：课堂总结：（1）涉及知识点：）涉及知识点：简单的的线性性规划划问题。（2）涉及数学思想方法：）涉及数学思想方法：转化与回归
30、思想；数形结合思想；分类与整合转化与回归思想；数形结合思想；分类与整合思想。思想。本讲稿第四十四页，共四十七页线性目标函数目标函数是关于变量的一次解析式 1.目标函数要求最值的函数 线性规划在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 可行解满足线形约束条件的解叫做可行解 可行域由所有可行解组成的集合 五、课堂总结，布置作业本讲稿第四十五页，共四十七页2.2.线性规划的两类重要实际问题的解题思路：线性规划的两类重要实际问题的解题思路：（1 1）应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，）应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数。确定线性目标函数。（2 2）用图解法求
31、得数学模型的解，即画出可行域，）用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解在可行域内求得使目标函数取得最值的解.(.(一般最优解一般最优解在直线或直线的交点上，要注意斜率的比较。）在直线或直线的交点上，要注意斜率的比较。）（3 3）要根据实际意义将数学模型的解转化为实际）要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解。问题的解，即结合实际情况求得最优解。五、课堂总结，布置作业本讲稿第四十六页，共四十七页五、课堂总结，布置作业2.作业设计：作业设计：P93习题习题3.3A组组3、43.预习任务：必修预习任务：必修5教材教材97-100 3.4基本不等式：基本不等式：本讲稿第四十七页，共四十七页