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1、简单的线性规划问题应用本讲稿第一页，共二十页问题1:某工厂用A,B两种配件生产甲,乙两种产品,每生产一件甲种产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙种产品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件,按每天工作8h计算,该厂所有可能的日生产安排是什么?若生产1件甲种产品获利2万元,生产1 件乙种产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大?本讲稿第二页，共二十页32利润(万元)821所需时间1240B种配件1604A种配件资源限额 乙产品 (1件)甲产品 (1件)产品消 耗 量资 源把问题1的有关数据列表表示如下:设甲,乙两种产品分别生产x,y件,本讲稿第三页，共二
2、十页0 xy4348将上面不等式组表示成平面上的区域,区域内所有坐标为整数的点P(x,y),安排生产任务x,y都是有意义的.设甲,乙两种产品分别生产x,y件,由己知条件可得:问题：求利润2x+3y的最大值.本讲稿第四页，共二十页若设利润为z,则z=2x+3y,这样上述问题转化为:当x,y在满足上述约束条件时,z的最大值为多少?当点P在可允许的取值范围变化时,本讲稿第五页，共二十页0 xy4348M（4，2）问题：求利润z=2x+3y的最大值.本讲稿第六页，共二十页象这样关于x,y一次不等式组的约束条件称为线性约束条件Z=2x+3y称为目标函数,(因这里目标函数为关于x,y的一次式,又称为线性目
3、标函数 在线性约束下求线性目标函数的最值问题,统称为线性规划,本讲稿第七页，共二十页满足线性约束的解(x,y)叫做可行解,所有可行解组成的集合叫做可行域使目标函数取得最值的可行解叫做这个问题的最优解变式：若生产一件甲产品获利1万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？本讲稿第八页，共二十页0 xy4348N（2，3）变式：求利润z=x+3y的最大值.本讲稿第九页，共二十页练习解下列线性规划问题：1、求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件：本讲稿第十页，共二十页xOyABCy=x x+y=1y=-12x+y=0B:(-1,-1)C:(2,-1)Zmin=-3Zmax=
4、3 目标函数：Z=2x+y本讲稿第十一页，共二十页解线性规划问题的步骤：（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行 线中，利用平移的方法找出与可行 域有公共点且纵截距最大或最小的直线（3）求：通过解方程组求出最优解；（4）答：作出答案。（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；本讲稿第十二页，共二十页体验:二、最优解一般在可行域的顶点处取得三、在哪个顶点取得不仅与B的符号有关，而且还与直线 Z=Ax+By的斜率有关一、先定可行域和平移方向，再找最优解。本讲稿第十三页，共二十页 小 结 本节主要学习了线性约束下如何求目标函数的最值问题 正确列出变量的不等关系式,准确作出可行域是解决目标函数最值的关
5、健 线性目标函数的最值一般都是在可行域的顶点或边界取得.把目标函数转化为某一直线,其斜率与可行域边界所在直线斜率的大小关系一定要弄清楚.本讲稿第十四页，共二十页例题分析例例6 要要将将两两种种大大小小不不同同规规格格的的钢钢板板截截成成A、B、C三三种种规规格格，每每张张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：解：解：设需截第一种钢板设需截第一种钢板x张，第一种钢板张，第一种钢板y张，则张，则 规格类型规格类型钢板类型钢板类型第一种钢板第一种钢板第二种钢板第二种钢板A规格规格B规格规格C规格规格2121312x+y15,x+2y18,x+3
6、y27,x0y0 作出可行域（如图）作出可行域（如图）目标函数为目标函数为 z=x+y今需要今需要A,B,C三种规格的成品分别为三种规格的成品分别为15，18，27块，问各截这块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少。少。X张张y张张本讲稿第十五页，共二十页例题分析x0y2x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y=02x+y15,x+2y18,x+3y27,x0,xNy0 yN直线直线x+y=12经过的经过的整点是整点是B(3,9)和和C(4,8)，它们是最优解，它们是最优解.作出一组平行直线作出一组平行直
7、线z=x+y，目标函数目标函数z=x+yB(3,9)C(4,8)A(18/5,39/5)当直线经过点当直线经过点A时时z=x+y=11.4,x+y=12解得交点解得交点B,C的坐标的坐标B(3,9)和和C(4,8)调整优值法调整优值法246181282724681015但它不是最优整数解但它不是最优整数解.作直线作直线x+y=12答（略）答（略）本讲稿第十六页，共二十页例题分析x0y2x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y=02x+y15,x+2y18,x+3y27,x0,xN*y0 yN*经过可行域内的整点经过可行域内的整点B(3,9)和和C(4,8)时，时，t=x+y=12是最优解
8、是最优解.答答:(略略)作出一组平行直线作出一组平行直线t=x+y，目标函数目标函数t=x+yB(3,9)C(4,8)A(18/5,39/5)打网格线法打网格线法在可行域内打出网格线，在可行域内打出网格线，当直线经过点当直线经过点A时时t=x+y=11.4,但它不是最优整数解但它不是最优整数解，将直线将直线x+y=11.4继续向上平移继续向上平移，1212182715978本讲稿第十七页，共二十页例例7 7一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1 1车皮甲车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐种肥料的主要原料是磷酸盐4t4t、硝酸盐、硝酸盐18t18t；生产；生产
9、1 1车皮乙种车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐肥料需要的主要原料是磷酸盐1t1t、硝酸盐、硝酸盐15t15t。现库存磷酸盐。现库存磷酸盐10t10t、硝酸盐、硝酸盐66t66t，在此基础上生产这两种混合肥料。列，在此基础上生产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。若生产若生产1 1车皮甲种肥料产生的利润为车皮甲种肥料产生的利润为1000010000元，生产元，生产1 1车皮车皮乙种肥料产生的利润为乙种肥料产生的利润为50005000元，那么生产甲、乙两种肥料各多元，那么生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的
10、利润？少车皮，能够产生最大的利润？本讲稿第十八页，共二十页解：设解：设x x、y y分别为计划生产甲、乙两种混合分别为计划生产甲、乙两种混合 肥料的车皮数，于是满足以下条件：肥料的车皮数，于是满足以下条件：xyo本讲稿第十九页，共二十页解：解：设生产甲种肥料设生产甲种肥料x x车皮、乙种肥料车皮、乙种肥料y y车皮，车皮，能够产生利润能够产生利润Z Z万元。目标函数为万元。目标函数为Z Zx x0.5y0.5y，可行域如图可行域如图：把把Z Zx x0.5y0.5y变形变形为为y y2x2x2z2z，它表示斜率，它表示斜率为为2 2，在，在y y轴上的截距为轴上的截距为2z2z的一组直线系。的一组直线系。xyo 由图可以看出，当直线经过由图可以看出，当直线经过可行域上的点可行域上的点MM时，时，截距截距2z2z最大，即最大，即z z最大。最大。答：答：生产甲种、乙种肥料各生产甲种、乙种肥料各 2 2车皮，能够产生最大利车皮，能够产生最大利 润，最大利润为润，最大利润为3 3万元。万元。M 容易求得容易求得MM点的坐标为点的坐标为（2 2，2 2），），则则Z Zmaxmax3 3本讲稿第二十页，共二十页