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1、第第4 4课时课时 简单线性规简单线性规划划本讲稿第一页，共四十九页本讲稿第二页，共四十九页1二元一次不等式(组)的解集满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x，y)所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的 .2二元一次不等式表示平面区域在平面直角坐标系中，平面内所有的点被直线AxByC0分成三类：(1)满足AxByC 0的点；(2)满足AxByC 0的点；(3)满足AxByC 0的点解集解集本讲稿第三页，共四十九页3二元一次不等式表示平面区域的判断方法直线l：AxByC0把坐标平面内不在直线l上的点分为两部分，当点在直线l的同一侧时，点的坐标使式子AxB
2、yC的值具有 的符号，当点在直线l的两侧时，点的坐标使AxByC的值具有 的符号相同相同相反相反本讲稿第四页，共四十九页4线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的 线性约束条件由x，y的 不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数，如z2x3y等线性目标函数关于x，y的 解析式可行解满足线性约束条件的解 可行域所有可行解组成的 最优解使目标函数取得 的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的 或 问题不等式(组)一次解析式一次(x，y)集合最大值或最小值最大值最小值本讲稿第五页，共四十九页【思考探究】可行解与最优解有何关系？最优解是否唯一？提示：最优解必
3、定是可行解，但可行解不一定是最优解最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个本讲稿第六页，共四十九页1如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10解析：边界过(0,1)和(1,0)点，对应的直线为xy10，又原点(0,0)不在区域内，平面区域满足不等式xy10.答案：B本讲稿第七页，共四十九页本讲稿第八页，共四十九页解析：画出不等式组表示的平面区域如图，易知2xy10与x2y10关于yx对称，与xy1所成角相等，故不等式组表示的平面区域为等腰三角形及其内部答案：B本讲稿第九页，共四十九页本讲稿第十页，共四十九页解析：可行域如图阴影部分所示，易得A(1,1
4、)zxy在A(1,1)处取得最大值zmax2.答案：C本讲稿第十一页，共四十九页4若x0，y0，且xy1，则zxy的最大值是_解析：由不等式组画出可行域如图当直线xyz0过点A(1,0)时，zxy取得最大值，zmax101.答案：1本讲稿第十二页，共四十九页5完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，请工人的约束条件是_本讲稿第十三页，共四十九页本讲稿第十四页，共四十九页判断二元一次不等式(组)表示平面区域的方法直接定界，特殊定域注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成
5、实线若直线不过原点，则以原点坐标(0,0)代入验证判断；若直线过原点，可选取(0,1)、(1,0)等点代入验证判断本讲稿第十五页，共四十九页本讲稿第十六页，共四十九页答案：A本讲稿第十七页，共四十九页本讲稿第十八页，共四十九页解析：作出如图所示的可行域，要使该平面区域表示三角形，需满足5a8.答案：D本讲稿第十九页，共四十九页1求目标函数的最值，必须先准确地作出线性可行域再作出目标函数对应的直线，据题意确定取得最优解的点，进而求出目标函数的最值2线性目标函数zaxby取最大值时的最优解与b的正负有关，当b0时，最优解是将直线axby0在可行域内向上平移到端点(一般是两直线交点)的位置得到的；当
6、b0时，则是向下方平移本讲稿第二十页，共四十九页本讲稿第二十一页，共四十九页本讲稿第二十二页，共四十九页本讲稿第二十三页，共四十九页本讲稿第二十四页，共四十九页本讲稿第二十五页，共四十九页本讲稿第二十六页，共四十九页解决线性规划实际应用题的一般步骤：(1)认真审题，设出未知数，写出线性约束条件和目标函数(2)作出可行域(3)作出目标函数值为零时对应的直线l.(4)在可行域内平行移动直线l，从图中能判定问题有唯一最优解，或是有无穷最优解或无最优解(5)求出最优解，从而得到目标函数的最值本讲稿第二十七页，共四十九页 (2010广东卷)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐，已知1个单位的午餐含12个单
7、位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；1个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果1个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？本讲稿第二十八页，共四十九页本讲稿第二十九页，共四十九页作出可行域如图，则z在可行域的四个顶点A(9,0)，B(4,3)，C(2,5)，D(0,8)处的值分别是zA2.594022.5，zB2.544322，zC2.524525，
8、zD2.504832.比较之，zB最小，因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求本讲稿第三十页，共四十九页本讲稿第三十一页，共四十九页【变式训练】3.某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3，五合板2 m2，生产每个书橱需要方木料0.2 m3、五合板1 m2，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？(3)怎样安排生产可使所得利润最大？本讲稿第三十二页，共四十九页解析：由题意可画表格如下：方木料(m3)五合
9、板(m2)利润(元)书桌(张)0.1280书橱(个)0.21120本讲稿第三十三页，共四十九页本讲稿第三十四页，共四十九页在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域作直线l：80 x120y0，即直线l：2x3y0.把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，此时z80 x120y取得最大值解得点M的坐标为(100,400)所以当x100，y400时，zmax8010012040056 000(元)因此，生产书桌100张、书橱400个时，可使所得利润最大本讲稿第三十五页，共四十九页1作二元一次不等式(组)表示的平面区域一般是“线定界，点定域”注意不等式中不等号有
10、无等号，无等号时画虚线，有等号时画实线，点通常选择原点2判断二元一次不等式AxByC0(0)表示的平面区域，除了用特殊点法外，还可以用“同号上，异号下”的方法当B(AxByC)0时，区域为直线AxByC0的上方，当B(AxByC)0时，区域为直线AxByC0的下方本讲稿第三十六页，共四十九页3线性目标函数zaxby取最大值时的最优解与b的正负有关，b0，最优解是将直线axby0向上平移到端点(最优解)的位置而得到的；若b0，则是向下平移4解线性规划问题的思维精髓是“数形结合”，其关键步骤是在图上完成的，所以作图应尽可能精确，图上操作尽可能规范，假若图上的最优点并不明显易辨时，不妨将几个有可能是
11、最优点的坐标都求出来，然后逐一检查，以“验明正身”本讲稿第三十七页，共四十九页本讲稿第三十八页，共四十九页从近两年的高考试题来看，二元一次不等式(组)表示的平面区域(的面积)，求目标函数的最值，线性规划的应用问题等是高考的热点，题型既有选择题，也有填空题，难度为中低档题；主要考查平面区域的画法，目标函数最值的求法，以及在取得最值时参数的取值范围，同时注重考查等价转化、数形结合思想本讲稿第三十九页，共四十九页 (2010陕西卷)铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁
12、矿石的最少费用为_(百万元)ab/万吨c/百万元A50%13B70%0.56本讲稿第四十页，共四十九页本讲稿第四十一页，共四十九页答案：15【阅后报告】本题是线性规划的实际应用，解答本题的难点是规范地作出图形，寻找出最优解本讲稿第四十二页，共四十九页本讲稿第四十三页，共四十九页解析：作出可行域如图阴影部分所示，由图可知z3x4y经过点A时z有最小值，经过点B时z有最大值易求A(3,5)，B(5,3)z最大35433，z最小334511.答案：A本讲稿第四十四页，共四十九页本讲稿第四十五页，共四十九页答案：4本讲稿第四十六页，共四十九页3(2010四川卷)某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由
13、乙车间加工出B产品甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时，可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为()A甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱本讲稿第四十七页，共四十九页甲、乙两车间每天总获利为z280 x200y.画出可行域如图所示点M(15,55)为直线xy70和直线10 x6y480的交点，由图象知在点M(15,55)处z取得最大值答案：B本讲稿第四十八页，共四十九页练规范、练技能、练速度本讲稿第四十九页，共四十九页