《专题41三角形（6）-备考2022年全国中考数学真题分项汇编（第02期全国通用）（解析版）.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题41三角形（6）-备考2022年全国中考数学真题分项汇编（第02期全国通用）（解析版）.doc（268页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专题41三角形（6）（全国一年）学校:_姓名：_班级：_考号：_一、解答题1（2020·湖北咸宁?中考真题）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形理解：（1）若四边形是对余四边形，则与的度数之和为_；证明：（2）如图1，是的直径，点在上，相交于点D求证：四边形是对余四边形；探究：（3）如图2，在对余四边形中，探究线段，和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由【答案】（1）90°或270°；（2）见解析；（3），理由见解析【解析】【分析】（1）分当A和C互余时，当B和D互余时，两种情况求解；（2）连接BO，得到BON+BOM=180°，再利用圆周角
2、定理证明C+A=90°即可；（3）作ABD的外接圆O，分别延长AC，BC，DC，交圆O于E，F，G，连接DF，DE，EF，先证明GF是圆O的直径，得到，再证明ABCFEC，ACDGCE，BCDGCF，可得，从而得出，根据ABC为等边三角形可得AB=AC=BC，从而得到.【详解】解：（1）四边形是对余四边形，当A和C互余时，A+C=90°，当B与D互余时，B+D=90°，则A+C=360°-90°=270°，故答案为：90°或270°；（2）如图，连接BO，可得：BON=2C，BOM=2A，而BON+BOM=180&
3、#176;，2C+2A=180°，C+A=90°，四边形是对余四边形；（3）四边形ABCD为对于四边形，ABC=60°，ADC=30°，如图，作ABD的外接圆O，分别延长AC，BC，DC，交圆O于E，F，G，连接DF，DE，EF，则AEF=ABC=60°，AEG=ADG=30°，AEF+AEG=90°，即FEG=90°，GF是圆O的直径，AB=BC，ABC为等边三角形，ABC=AEF，ACB=ECF，ABCFEC，得：，则，同理，ACDGCE，得：，则，BCDGCF，得：，可得：，而，AB=BC=AC，.【点睛】本
4、题考查了相似三角形的判定和性质，四边形的新定义问题，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，多边形内角和，解题的关键是理解对余四边形的概念，结合所学知识求证.2（2020·江苏扬州?中考真题）如图1，已知点O在四边形ABCD的边AB上，且，OC平分，与BD交于点G，AC分别与BD、OD交于点E、F（1）求证：；（2）如图2，若，求的值；（3）当四边形ABCD的周长取最大值时，求的值【答案】（1）见详解；（2）；（3）【解析】【分析】（1）先由三角形外角得出BOD=DAO+ODA，然后根据OA=OD，OC平分BOD得出DAO=ODA，COD=COB，可得COD=ODA，即可证明；（2）先证
5、明BOGDOG，得出ADB=OGB=90°，然后证明AFOAED，得出AOD=ADB=90°，根据勾股定理得出AD=2，即可求出答案；（3）先设AD=2x，OG=x，则CG=2-x，BG=，BC=CD，然后得出四边形ABCD的周长=4+2x+4，令=t0，即x=2-t2，可得四边形ABCD的周长=-2（t-1）2+10，得出x=2-t2=1，即AD=2，然后证明ADFCOF，得出DF=OF=OD=1，根据ADO是等边三角形，得出DAE=30°，可得，求出DE=，即可得出答案【详解】（1）由三角形外角可得BOD=DAO+ODA，OA=OD，DAO=ODA，OC平分B
6、OD，COD=COB，COD=ODA，OCAD；（2）OC平分，COD=COB，在BOG与DOG中，BOGDOG，BGO=DGO=90°，ADOC，ADB=OGB=90°，DAC=OCA，OA=OC，OAC=OCA，DAC=OAC，DE=DF，DFE=DEF，DFE=AFO，AFO=DEF，AFOAED，AOD=ADB=90°，OA=OD=2，根据勾股定理可得AD=2，=；（3）OA=OB，OCAD，根据三角形中位线可设AD=2x，OG=x，则CG=2-x，BG=，BC=CD，四边形ABCD的周长=AB+AD+DC+BC=4+2x+2=4+2x+4令=t0，即x=
7、2-t2，四边形ABCD的周长=4+2x+4=4+2（2-t2）+4t=-2t2+4t+8=-2（t-1）2+10，当t=1时，四边形ABCD的周长取得最大值，最大值为10，此时x=2-t2=1，AD=2，OCAD，ADF=COF，DAF=OCF，AD=OC=2，ADFCOFDF=OF=OD=1，AD=OC=OA=OD，ADO是等边三角形，由（2）可知DAF=OAF，ADE=90°，在RtADE中，DAE=30°，DE=，=【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，二次函数的性质，涉及的知识点比较复
8、杂，综合性较强，灵活运用这些知识点是解题关键3（2020·山东潍坊?中考真题）如图1，在中，点D，E分别在边上，且，连接现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，如图2，连接（1）当时，求证：；（2）如图3，当时，延长交于点，求证：垂直平分；（3）在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角的度数【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）的面积的最大值为，旋转角的度数为【解析】【分析】（1）利用 “SAS”证得ACEABD即可得到结论；（2）利用 “SAS”证得ACEABD，推出ACE=ABD，计算得出AD=BC=，利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论；（3）观察图形，
9、当点D在线段BC的垂直平分线上时，的面积取得最大值，利用等腰直角三角形的性质结合三角形面积公式即可求解【详解】（1）根据题意：AB=AC，AD=AE，CAB=EAD=90，CAE+BAE =BAD+BAE =90，CAE=BAD，在ACE和ABD中，ACEABD(SAS)，CE=BD；（2）根据题意：AB=AC，AD=AE，CAB=EAD=90，在ACE和ABD中，ACEABD(SAS)，ACE=ABD，ACE+AEC=90，且AEC=FEB，ABD+FEB=90，EFB=90，CFBD，AB=AC=，AD=AE=1，CAB=EAD=90，BC=AB =，CD= AC+ AD=，BC= CD，
10、CFBD，CF是线段BD的垂直平分线；（3）中，边BC的长是定值，则BC边上的高取最大值时的面积有最大值，当点D在线段BC的垂直平分线上时，的面积取得最大值，如图：AB=AC=，AD=AE=1，CAB=EAD=90，DGBC于G，AG=BC=，GAB=45，DG=AG+AD=，DAB=180-45=135，的面积的最大值为：，旋转角【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题4（2020·北京中考真题）在中，是的中点为直线上一动点，连接，过点作，交直线于点，连接（1）如图1
11、，当是线段的中点时，设，求的长（用含的式子表示）；（2）当点在线段的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明【答案】(1)；(2)，证明见解析【解析】【分析】(1)由三角形中位线定理得到，再在RtDEF中由勾股定理即可求解；(2)先证明，由此得到DF是GE的垂直平分线，进而EF=FG，最后在RtBFG中由勾股定理即可求得【详解】解：(1)是的中点，是线段的中点，为的中位线四边形为矩形，故答案为：(2)过点作的平行线交延长线于点，连接，如下图所示：，是的中点，是线段的垂直平分线，在中，故答案为：【点睛】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理、三角形全等的性质和判定等，属于
12、中考常考题型，熟练掌握其性质是解决此类题的关键5（2020·湖南湘西?中考真题）问题背景：如图1，在四边形中，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F探究图中线段，之间的数量关系小李同学探究此问题的方法是：延长到G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是_；探究延伸1：如图2，在四边形中，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由探究延伸2：如图3，在四边形中，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F上述结论是否仍然成立？并说明理由实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处
13、舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离【答案】EF=AE+CF探究延伸1：结论EF=AE+CF成立探究延伸2：结论EF=AE+CF仍然成立实际应用：210海里【解析】【分析】延长到G，使，连接，先证明，可得BG=BE，CBG=ABE，再证明，可得GF=EF，即可解题；探究延伸1：延长到G，使，连接，先证明，可得BG=BE，CBG=ABE，再证
14、明，可得GF=EF，即可解题；探究延伸2：延长到G，使，连接，先证明，可得BG=BE，CBG=ABE，再证明，可得GF=EF，即可解题；实际应用：连接EF，延长AE，BF相交于点C，然后与探究延伸2同理可得EF=AE+CF，将AE和CF的长代入即可【详解】解：EF=AE+CF理由：延长到G，使，连接，在BCG和BAE中，（SAS），BG=BE，CBG=ABE，ABC=120°，MBN=60°，ABE+CBF=60°，CBG+CBF=60°，即GBF=60°，在BGF和BEF中，BGFBEF（SAS），GF=EF，GF=CG+CF=AE+CF，E
15、F=AE+CF探究延伸1：结论EF=AE+CF成立理由：延长到G，使，连接，在BCG和BAE中，（SAS），BG=BE，CBG=ABE，ABC=2MBN，ABE+CBF=ABC，CBG+CBF=ABC，即GBF=ABC，在BGF和BEF中，BGFBEF（SAS），GF=EF，GF=CG+CF=AE+CF，EF=AE+CF探究延伸2：结论EF=AE+CF仍然成立理由：延长到G，使，连接，BCG+BCD=180°，BCG=BAD在BCG和BAE中，（SAS），BG=BE，CBG=ABE，ABC=2MBN，ABE+CBF=ABC，CBG+CBF=ABC，即GBF=ABC，在BGF和BEF中
16、，BGFBEF（SAS），GF=EF，GF=CG+CF=AE+CF，EF=AE+CF实际应用：连接EF，延长AE，BF相交于点C，AOB=30°+90°+(90°-70°)=140°，EOF=70°，EOF=AOBOA=OB，OAC+OBC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°，符合探索延伸中的条件结论EF= AE+CF仍然成立即EF=75×1.2+100×1.2=210（海里）答：此时两舰艇之间的距离为210海里【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质
17、作辅助线构造全等三角形是解题的关键6（2020·山东青岛?中考真题）已知：如图，在四边形和中，点在上，延长交于点，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点作于点，交于点设运动时间为解答下列问题： （1）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？（2）连接，作于点，当四边形为矩形时，求的值；（3）连接，设四边形的面积为，求与的函数关系式；（4）点在运动过程中，是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【答案】（1） t=；（2）t=3;（3）S与t的函数关系式为；（4）存在，t=,【解析】【分析】（1）要使点M在线段C
18、Q的垂直平分线上，只需证CM=MQ即可；（2）由矩形性质得PH=QN，由已知和AP=2t，MQ=t，解直角三角形推导出PH、QN，进而得关于t的方程，解之即可；（3）分别用t表示出梯形GHFM的面积、QHF的面积、CMQ的面积，即可得到S与t的函数关系式；（4）延长AC交EF与T，证得ATEF，要使点P在AFE的平分线上，只需PT=PH，分别用t表示PT、PH，代入得关于t的方程，解之即可【详解】（1）当=时，点在线段的垂直平分线上，理由为：由题意，CE=2，CMBF，即：，解得：CM=，要使点在线段的垂直平分线上， 只需QM=CM=，t=；（2）如图，AC=10，EF=10，sinPAH=，
19、cosPAH=，sinEFB=，在RtAPH中，AP=2t，PH=AP·sinPAH=，在RtECM中，CE=2,CM=,由勾股定理得：EM=，在RtQNF中，QF=10-t-=，QN=QF·sinEFB=()×=，四边形为矩形，PH=QN，=，解得：t=3；（3）如图，过Q作QNAF于N，由（2）中知QN=，AH=AP·cosPAH=，BH=GC=8-，GM=GC+CM=，HF=HB+BF=，=，S与t的函数关系式为：；（4）存在，t=证明：如图，延长AC交EF于T，AB=BF,BC=BF, ，ABCEBF，BAC=BEF，EFB+BEF=90
20、6;，BAC+EFB=90º，ATE=90º即PTEF，要使点在的平分线上，只需PH=PT，在RtECM中，CE=2,sinBEF=，CT=CE·sinBEF =，PT=10+-2t=，又PH=，=，解得：t=【点睛】本题属于四边形的综合题，考查了解直角三角形、锐角三角函数、垂直平分线、角平分线、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、多边形的面积等知识、解答的关键是认真审题，分析相关知识，利用参数构建方程解决问题，是中考常考题型7（2020·江苏南京?中考真题）如图，要在一条笔直的路边上建一个燃气站，向同侧的A、B两个城镇分别发铺设管道输送燃气，试确定燃气
21、站的位置，使铺设管道的路线最短（1）如图，作出点A关于的对称点，线与直线的交点C的位置即为所求， 即在点C处建气站， 所得路线ACB是最短的，为了让明点C的位置即为所求，不妨在直线上另外任取一点，连接， 证明， 请完成这个证明（2）如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域请分别始出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由），生市保护区是正方形区城，位置如图所示生态保护区是圆形区域，位置如图所示【答案】（1）证明见解析；（2）见解析，见解析【解析】【分析】（1）连接，利用垂直平分线的性质，得到，利用三角形的三边关系，即可得到答案；（2）由（1）可知，在点C处建燃气站，
22、铺设管道的路线最短分别对、的道路进行设计分析，即可求出最短的路线图【详解】（1）证明：如图，连接点A、关于l对称，点C在l上，同理，在中，有；（2）解：在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是AC+CD+DB（如图，其中D是正方形的顶点）在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是（如图，其中CD、BE都与圆相切）【点睛】本题考查了切线的应用，最短路径问题，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握题意，正确确定点C的位置，从而确定铺设管道的最短路线8（2020·贵州贵阳?中考真题）如图，四边形是正方形，点为对角线的中点（1）问题解决：如图，连接，分别取，的中点，连接，则与的数量关系是_，位置关
23、系是_；（2）问题探究：如图，是将图中的绕点按顺时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，判断的形状，并证明你的结论；（3）拓展延伸：如图，是将图中的绕点按逆时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，若正方形的边长为1，求的面积【答案】（1），；（2）的形状是等腰直角三角形，理由见解析；（3）【解析】【分析】（1）根据题意可得PQ为BOC的中位线，再根据中位线的性质即可求解；（2）连接并延长交于点，根据题意证出，为等腰直角三角形，也为等腰直角三角形，由且可得是等腰直角三角形；（3）延长交边于点，连接，证出四边形是矩形，为等腰直角三角形，再证出为等腰直角三角形，根
24、据图形的性质和勾股定理求出OA，OB和BQ的长度，即可计算出的面积【详解】解：（1）点P和点Q分别为，的中点，PQ为BOC的中位线，四边形是正方形，ACBO，；故答案为：，；（2）的形状是等腰直角三角形理由如下：连接并延长交于点，由正方形的性质及旋转可得，是等腰直角三角形，又点是的中点，为等腰直角三角形，也为等腰直角三角形又点为的中点，且的形状是等腰直角三角形（3）延长交边于点，连接，四边形是正方形，是对角线，由旋转得，四边形是矩形，为等腰直角三角形点是的中点，为等腰直角三角形是的中点，【点睛】本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、旋转图形的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定
25、与性质和勾股定理，根据题意作出辅助线构造全等三角形是解题的关键9（2020·江西中考真题）某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积，之间的关系问题”进行了以下探究：类比探究（1）如图2，在中，为斜边，分别以为斜边向外侧作，若，则面积，之间的关系式为 ；推广验证（2）如图3，在中，为斜边，分别以为边向外侧作任意，满足，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；拓展应用（3）如图4，在五边形中，点在上，求五边形的面积【答案】（1）；（2）结论成立，证明看解析；（3）【解析】【分析】（1）由题
26、目已知ABD、ACE、BCF、ABC均为直角三角形，又因为，则有，利用相似三角形的面积比为边长平方的比，列出等式，找到从而找到面积之间的关系；（2）在ABD、ACE、BCF中，可以得到，利用相似三角形的面积比为边长平方的比，列出等式，从而找到面积之间的关系；（3）将不规则四边形借助辅助线转换为熟悉的三角形，过点A作AHBP于点H，连接PD，BD，由此可知，即可计算出，根据ABPEDPCBD，从而有，由（2）结论有，最后即可计算出四边形ABCD的面积【详解】（1）ABC是直角三角形，ABD、ACE、BCF均为直角三角形，且，得证（2）成立，理由如下：ABC是直角三角形，在ABD、ACE、BCF中
27、，得证（3）过点A作AHBP于点H，连接PD，BD，PH=AH=，ED=2，ABPEDP，ABPEDPCBD故最后答案为【点睛】（1）（2）主要考查了相似三角形的性质，若两三角形相似，则有面积的比值为边长的平方，根据此性质找到面积与边长的关系即可；（3）主要考查了不规则四边形面积的计算以及（2）的结论，其中合理正确利用前面得出的结论是解题的关键10（2020·湖北襄阳?中考真题）在中，点D在边上，且，交边于点F，连接（1）特例发现：如图1，当时，求证：；推断：_；（2）探究证明：如图2，当时，请探究的度数是否为定值，并说明理由；（3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，当时，过点D作
28、的垂线，交于点P，交于点K，若，求的长【答案】（1）证明见解析， ；（2）为定值，证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）利用已知条件证明即可得到结论，先证明利用相似三角形的性质再证明结合相似三角形的性质可得答案；（2）由（1）中的解题思路可得结论；（3）设 则 利用等腰直角三角形的性质分别表示： 由表示 再证明利用相似三角形的性质建立方程求解，即可得到答案【详解】证明：（1） 推断： 理由如下： （2）为定值，理由如下：由（1）得： （3） ，设 则 ，解得： 【点睛】本题考查的是三角形的全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，更重要的是考查学生的学习探究的能力，掌握
29、以上知识是解题的关键11（2020·四川自贡?中考真题）如图，在正方形中，点在边的延长线上，点在边的延长线上，且,连接和相交于点求证： 【答案】证明见解析【解析】【分析】利用正方形的性质证明：AB=BC=CD，ABE=BCF=90°，再证明BE=CF，可得三角形的全等，利用全等三角形的性质可得答案【详解】证明：四边形ABCD为正方形，AB=BC=CD，ABE=BCF=90°，又CE=DF，CE+BC=DF+CD即BE=CF，在BCF和ABE中， （SAS），AE=BF【点睛】本题考查的是正方形的性质，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键12（2020&
30、#183;湖北襄阳?中考真题）襄阳东站的建成运营标志者我市正式进入高铁时代，郑万高速铁路襄阳至万州段的建设也正在推进中如图，工程队拟沿方向开山修路，为加快施工进度，需在小山的另一边点E处同时施工，要使A，C，E三点在一条直线上，工程队从上的一点B取，米，那么点E与点D间的距离是多少米？（参考数据：，）【答案】点E与点D间的距离是358.4米【解析】【分析】由，根据三角形外角的性质可得，故为直角三角形，根据的余弦值即可求解【详解】解：，即，解得（米），答：点E与点D间的距离是358.4米【点睛】本题考查解直角三角形的应用、三角形外角的性质等内容，解题的关键是得到为直角三角形13（2020
31、3;浙江舟山?中考真题）已知：如图，在OAB中，OAOB，O与AB相切于点C求证：ACBC小明同学的证明过程如下框：证明：连结OC，OAOB，AB，又OCOC，OACOBC，ACBC小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“”；若错误，请写出你的证明过程【答案】错误，证明见解析【解析】【分析】连结OC，根据切线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论【详解】解：证法错误；证明：连结OC，O与AB相切于点C，OCAB，OAOB，ACBC【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，熟练正确切线的性质是解题的关键14（2020·浙江嘉兴?中考真题）已知：如图，在OAB中，OA=OB，O与AB
32、相切与点C求证：AC=BC小明同学的证明过程如下框： 小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“”；若错误，请写出你的证明过程【答案】证法错误证明见解析【解析】【分析】小明同学通过两边及一边的对角对应相等证明两个三角形全等是错误的，没有这样的判定定理.连接OC，根据切线的性质和等腰三角形三线合一的性质得出结论即可.【详解】解：证法错误证明：连结 OCO与AB相切于点C，OCABOA=OB，AC=BC【点睛】本题考查切线的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质和等腰三角形三线合一的性质是解题的关键.15（2020·安徽中考真题）如图，是半圆的直径，是半圆上不同于的两点与相交于点是半圆
33、所任圆的切线，与的延长线相交于点，求证：；若求平分【答案】证明见解析；证明见解析【解析】【分析】利用证明利用为直径，证明结合已知条件可得结论；利用等腰三角形的性质证明： 再证明 利用切线的性质与直径所对的圆周角是直角证明： 从而可得答案【详解】证明： 为直径， 证明： 为半圆的切线， 平分【点睛】本题考查的是圆的基本性质，弧，弦，圆心角，圆周角之间的关系，直径所对的圆周角是直角，三角形的全等的判定，切线的性质定理，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键16（2020·四川泸州?中考真题）如图，AB平分CAD，ACAD求证：BCBD【答案】见解析【解析】【分析】由AB平分CAD可
34、知BACBAD，再根据ACAD， ABAB可判断出ABCABD，从而得到BCBD【详解】证明：AB平分CAD，BACBADACAD， ABAB，ABCABD（SAS）BCBD17（2020·湖南株洲?中考真题）某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患该斜坡横断面示意图如图所示，水平线，点A、B分别在、上，斜坡AB的长为18米，过点B作于点C，且线段AC的长为米 （1）求该斜坡的坡高BC；（结果用最简根式表示）（2）为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡脚为60°，过点M作于点N，求改造后的斜坡
35、长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？【答案】(1) （2）2米【解析】【分析】（1）运用勾股定理解题即可；（2）根据勾股定理列出方程，求出AM，问题得解【详解】解：（1）在RtABC中，；（2）， 在RtABC中，综上所述，长度增加了2米【点睛】本题考查了解直角三角形，题目难度不大，理解好题意运用勾股定理解题是关键18（2020·湖南怀化?中考真题）如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度，在距离古树A点处测得古树顶端D的仰角为30°，然后向古树底端C步行20米到达点B处，测得古树顶端D的仰角为45°，且点A、B、C在同一直线上求古树CD的高度（已知：，结果保留整
36、数）【答案】27米【解析】【分析】设CB=CD=x，根据tan30°=即可得出答案【详解】解：由题意可知，AB=20，DAB=30°，C=90°，DBC=45°，BCD是等腰直角三角形，设CB=CD=x，tan30°=，解得x=10+1010×1.732+10=27.3227，CD=27，答：CD的高度为27米【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，等腰三角形的性质，构造直角三角形是解题关键19（2020·湖南湘潭?中考真题）如图，在中，以为直径的交于点，过点作，垂足为点（1）求证：；（2）判断直线与的位置关系，并说明理由
37、【答案】（1）见解析；（2）直线与相切，理由见解析【解析】【分析】（1）AB为的直径得，结合AB=AC，用HL证明全等三角形；（2）由得BD=BC，结合AO=BO得OD为的中位线，由得，可得直线DE为切线【详解】（1）AB为的直径在和中（HL）（2）直线与相切，理由如下：连接OD，如图所示：由知：，又OA=OBOD为的中位线OD为的半径DE与相切【点睛】本题考查了全等三角形的证明，切线的判定，熟知以上知识的应用是解题的关键20（2020·河南中考真题）我们学习过利用用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的，人们根
38、据实际需要，发明了一种简易操作工具-三分角器图1是它的示意图，其中与半圆的直径在同一直线 上，且的长度与半圆的半径相等；与重直于点 足够长使用方法如图2所示，若要把三等分，只需适当放置三分角器，使经过的顶点，点落在边上，半圆与另一边恰好相切，切点为，则就把三等分了为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程已知：如图2，点在同一直线上，垂足为点， 求证： 【答案】在上，过点， 为半圆的切线，切点为；EB，EO为MEN的三等分线证明见解析【解析】【分析】如图，连接OF则OFE=90°，只要证明，即可解决问题；【详解】已知
39、：如图2，点在同一直线上，垂足为点， 在上，过点，为半圆的切线，切点为求证： EB，EO为MEN的三等分线证明：如图，连接OF则OFE=90°， EBAC，EB与半圆相切于点B， ABE=OBE=90°， BA=BOEB=EB， AEB=BEO， EO=EOOB=OF，OBE=OFE， ， OEB=OEF， AEB=BEO=OEF，EB，EO为MEN的三等分线故答案为：在上，过点，为半圆的切线，切点为EB，EO为MEN的三等分线【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、切线的性质等知识，解题的关键学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题21（2020·贵州贵阳
40、?中考真题）如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为项点分别按下列要求画三角形（1）在图中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；（3）在图中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）画一个边长为3,4,5的三角形即可；（2）利用勾股定理，找长为、和4的线段，画三角形即可；（3）利用勾股定理，找长为、和的线段，画三角形即可；【详解】解：（答案不唯一）（1）图（2）图（3）图【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，准确的理解勾股定理公式
41、和构造直角三角形是解题的关键22（2020·江苏南京?中考真题）如图，在中，D是AB上一点，O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作，交O于点F，求证：（1）四边形DBCF是平行四边形（2）【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明，利用平行线证明，利用圆的性质证明，再证明即可得到结论；（2）如图，连接，利用平行线的性质及圆的基本性质，再利用圆内接四边形的性质证明，从而可得结论【详解】证明：（1），又, 四边形是平行四边形（2）如图，连接，四边形是的内接四边形【点睛】本题考查平行四边形的判定，圆的基本性质，平行线的性质与判定，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键23（2020·江苏南京?中考真题）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，B=C求证：BD=CE.【答案】证明见解析.【解析】试题分析：根据全等三角形的判定定理ASA可以证得ACDABE，然后由“全等三角形的对应边相等”可得AD =AE ，继而可得结论试题解析：在ABE与ACD中， ，ACDABE（ASA），AD=AE（