《专题40三角形（5）-备考2022年全国中考数学真题分项汇编（第02期全国通用）（解析版）.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题40三角形（5）-备考2022年全国中考数学真题分项汇编（第02期全国通用）（解析版）.doc（225页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专题40三角形（5）（全国一年）学校:_姓名：_班级：_考号：_一、解答题1（2020·江苏南通?中考真题）（了解概念）有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线（理解运用）（1）如图，对余四边形ABCD中，AB5，BC6，CD4，连接AC若ACAB，求sinCAD的值；（2）如图，凸四边形ABCD中，ADBD，ADBD，当2CD2+CB2CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形证明你的结论；（拓展提升）（3）在平面直角坐标系中，点A（1，0），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于ABC内部，AEC90
2、°+ABC设u，点D的纵坐标为t，请直接写出u关于t的函数解析式【答案】（1）；（2）四边形ABCD是对余四边形，证明见解析；（3）u（0t4）【解析】【分析】（1）先构造直角三角形，然后利用对余四边形的性质和相似三角形的性质，求出sinCAD的值（2）通过构造手拉手模型，即构造等腰直角三角形，通过证明三角形全等，利用勾股定理来证明四边形ABCD为对余四边形（3）过点D作DHx轴于点H，先证明ABEDBA，得出u与AD的关系，设D（x，t），再利用（2）中结论，求出AD与t的关系即可解决问题【详解】解：（1）过点A作AEBC于E，过点C作CFAD于FACAB，BECE3，在RtAEB
3、中，AE，CFAD，D+FCD90°，B+D90°，BDCF，AEBCFD90°，AEBDFC，CF，sinCAD（2）如图中，结论：四边形ABCD是对余四边形理由：过点D作DMDC，使得DMDC，连接CM四边形ABCD中，ADBD，ADBD，DABDBA45°，DCMDMC45°，CDMADB90°，ADCBDM，ADDB，CDDM，ADCBDM（SAS），ACBM，2CD2+CB2CA2，CM2DM2+CD22CD2，CM2+CB2BM2，BCM90°，DCB45°，DAB+DCB90°，四边形ABC
4、D是对余四边形（3）如图中，过点D作DHx轴于HA（1，0），B（3，0），C（1，2），OA1，OB3，AB4，ACBC，AC2+BC2AB2，ACB90°，CBACAB45°，四边形ABCD是对余四边形，ADC+ABC90°，ADC45°，AEC90°+ABC135°，ADC+AEC180°，A，D，C，E四点共圆，ACEADE，CAE+ACECAE+EAB45°，EABACE，EABADB，ABEDBA，ABEDBA，u，设D（x，t），由（2）可知，BD22CD2+AD2，（x3）2+t22（x1）2+（t
5、2）2+（x+1）2+t2，整理得（x+1）24tt2，在RtADH中，AD，u（0t4），即u（0t4）【点睛】本题属于四边形综合题，考查了对余四边形的定义，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题2（2020·江苏南通?中考真题）矩形ABCD中，AB8，AD12将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE（1）如图，若点P恰好在边BC上，连接AP，求的值；（2）如图，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长【答案】（1）；（2）BF3【解析】【分析】（
6、1）如图中，取DE的中点M，连接PM证明POMDCP，利用相似三角形的性质求解即可（2）如图中，过点P作GHBC交AB于G，交CD于H设EG=x，则BG=4-x证明EGPPHD，推出，推出PG=2EG=3x，DH=AG=4+x，在RtPHD中，由PH2+DH2=PD2，可得（3x）2+（4+x）2=122，求出x，再证明EGPEBF，利用相似三角形的性质求解即可【详解】解：（1）如图中，取DE的中点M，连接PM四边形ABCD是矩形，BADC90°，由翻折可知，AOOP，APDE，23，DAEDPE90°，在RtEPD中，EMMD，PMEMDM，3MPD，13+MPD23，A
7、DP23，1ADP，ADBC，ADPDPC，1DPC，MOPC90°，POMDCP，（2）如图中，过点P作GHBC交AB于G，交CD于H则四边形AGHD是矩形，设EGx，则BG4xAEPD90°，EGPDHP90°，EPG+DPH90°，DPH+PDH90°，EPGPDH，EGPPHD，PG2EG3x，DHAG4+x，在RtPHD中，PH2+DH2PD2，（3x）2+（4+x）2122，解得：x（负值已经舍弃），BG4，在RtEGP中，GP，GHBC，EGPEBF，BF3【点睛】本题考查翻折变换，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的
8、关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题3（2020·陕西中考真题）如图，在四边形ABCD中，ADBC，BCE是边BC上一点，且DEDC求证：ADBE【答案】详见解析【解析】【分析】利用已知先证明ABDE，进而根据平行四边形的定义：两组对边平行的四边形是平行四边形，即可得出结论【详解】证明：DEDC，DECCBC，BDEC，ABDE，ADBC，四边形ABED是平行四边形ADBE【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理和性质定理的运用4（2020·湖北荆门?中考真题）如图，中，的平分线交于D，交的延长线于点E，
9、交于点F（1）若，求的度数；（2）若，求的长【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先根据等腰三角形的性质及角平分线的性质求出，再根据垂直与外角的性质即可求出；（2）根据题意证明，再得到为等边三角形，故可得到，可根据三角函数的性质即可求出AF【详解】（1），平分， ， （2），又， ，为等边三角形， ，在中，【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知等腰三角形、等边三角形的判定与性质、三角函数的应用5（2020·湖北黄冈?中考真题）已知：如图，在中，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，求证：【答案】见解析【解析】【分析】通过证明即可得证【详解】证明：点是的中点， 在中
10、，在和中， 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质等内容，熟练运用平行四边形的性质及全等三角形的判定是解题的关键.6（2020·江苏淮安?中考真题）如图，在平行四边形中，点、分别在、上，与相交于点，且（1）求证：；（2）连接、，则四边形 （填“是”或“不是”）平行四边形【答案】（1）证明过程见解析；（2）是，理由见解析；【解析】【分析】（1）根据平行四边形的对边平行可得到内错角相等，再根据已知条件可利用ASA得到全等；（2）由（1）可得到AF=EC，根据一组对边平行且相等的四边形式平行四边形即可得到答案；【详解】（1）四边形平行四边形，ADBC，根据题可知，在AOF
11、和COE中， ，（2）如图所示，由（1）得，可得：，又，四边形AECF是平行四边形【点睛】本题中主要考查了平行四边形的判定和性质，准确运用全等三角形的条件进行判断是解题的关键7（2020·江苏常州?中考真题）已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，（1）求证：；（2）若，求的度数【答案】（1）见解析；（2）60°【解析】【分析】（1）根据已知条件证明ACEBDF，即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到D=ACE=80°，再利用三角形内角和定理求出结果.【详解】解：（1）AEBF，A=DBF，AB=CD，AB+BC=CD+BC，即AC=BD，又AE=BF，A
12、CEBDF（SAS），E=F；（2）ACEBDF，D=ACE=80°，A=40°，E=180°-A-ACE=60°.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质和三角形内角和，解题的关键是找出三角形全等的条件.8（2020·江苏盐城?中考真题）如图，点是正方形，的中心（1）用直尺和圆规在正方形内部作一点（异于点），使得（保留作图痕迹，不写作法）（2）连接求证：【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）作BC的垂直平分线即可求解；（2）根据题意证明即可求解【详解】如图所示，点即为所求连接由得：是正方形中心，在和中，【点睛】此题主要考查正
13、方形的性质与证明，解题的关键是熟知正方形的性质、垂直平分线的作图及全等三角形的判定与性质9（2020·陕西中考真题）如图，已知ABC，ACAB，C45°请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使PBC45°（保留作图痕迹不写作法）【答案】详见解析【解析】【分析】根据尺规作图法，作一个角等于已知角，在AC边上求作一点P，使PBC45°即可【详解】解：如图，点P即为所求作法：（1）以点C为圆心，以任意长为半径画弧交AC于D，交BC于E，（2）以点B为圆心，以CD长为半径画弧，交BC于F，（3）以点F为圆心，以DE长为半径画弧，交前弧于点M，（3）连接BM，并延
14、长BM与AC交于点P，则点P即为所求【点睛】本题考查了作图基本作图解决本题的关键是掌握基本作图方法10（2020·吉林中考真题）如图，在中，点在边上，且，过点作并截取，且点，在同侧，连接求证：【答案】证明见详解【解析】【分析】根据SAS即可证得【详解】证明：，A=EDB，在ABC和DEB中，（SAS）【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键11（2020·吉林长春?中考真题）图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以为边画要求：（1）
15、在图中画一个钝角三角形，在图中画一个直角三角形，在图中画一个锐角三角形；（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；（3）点在格点上【答案】见详解（答案不唯一）【解析】【分析】因为点C在格点上，故可将直尺的一角与线段AB点A重合，直尺边长所在直线经过正方形网格左上角第一个格点，继而以点A为旋转中心，逆时针旋转直尺，当直尺边长所在直线与正方形格点相交时，确定点C的可能位置，顺次连接A、B、C三点，按照题目要求排除不符合条件的C点，作图完毕后可根据三角形面积公式判断其面积是否相等【详解】经计算可得下图中：图面积为；图面积为1；图面积为，面积不等符合题目要求（2），且符合题目要求（1）以及要求（3）故
16、本题答案如下：【点睛】本题考查三角形的分类及其作图，难度较低，按照题目要求作图即可12（2020·甘肃金昌?中考真题）如图，在中，是边上一点，且（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）作的角平分线交于点；作线段的垂直平分线交于点（2）连接，直接写出线段和的数量关系及位置关系【答案】（1）作图见解析，作图见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据角平分线的作图方法直接作图即可；根据垂直平分线的作图方法直接作图即可；（2）根据等腰三角形的性质与垂直平分线的定义证明是的中位线，根据中位线的性质可得答案【详解】解：（1）如图，即为所求作的的角平分线，过的垂线是所求作的线段的垂直平分线（2）如图
17、，连接，平分 由作图可知： 是的中位线， 【点睛】本题考查的是角平分线与垂直平分线的尺规作图，同时考查了三角形的中位线的性质，掌握以上知识是解题的关键13（2020·山东淄博?中考真题）已知：如图，E是ABCD的边BC延长线上的一点，且CEBC求证：ABCDCE【答案】见解析【解析】【分析】【详解】证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ABCD，BDCE，在ABC和DCE中，ABCDCE（SAS）由平行四边形的性质得出ABCD，ABCD，由平行线的性质得出BDCE，由SAS即可得出结论本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；【点评】熟练掌握平行四边形的性质和全
18、等三角形的判定方法是解题的关键14（2020·云南昆明?中考真题）如图，AC是BAE的平分线，点D是线段AC上的一点，CE，ABAD求证：BCDE【答案】见解析【解析】【分析】根据角平分线的性质证明BACDAE，即可得到结果；【详解】证明：AC是BAE的平分线，BACDAE，CE，ABADBACDAE（AAS），BCDE【点睛】本题主要考查了三角形的全等判定，准确利用角平分线的性质是解题的关键15（2020·浙江台州?中考真题）如图，已知AB=AC，AD=AE，BD和CE相交于点O（1）求证：ABDACE；（2）判断BOC的形状，并说明理由【答案】（1）见解析；（2）等腰三
19、角形，理由见解析【解析】【分析】（1）由“SAS”可证ABDACE；（2）由全等三角形的性质可得ABD=ACE，由等腰三角形的性质可得ABC=ACB，可求OBC=OCB，可得BO=CO，即可得结论【详解】证明：（1）AB=AC，BAD=CAE，AD=AE，ABDACE（SAS）；（2）BOC是等腰三角形，理由如下：ABDACE，ABD=ACE，AB=AC，ABC=ACB，ABCABD=ACBACE，OBC=OCB，BO=CO，BOC是等腰三角形【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟记相关定理是解题关键16（2020·湖北咸宁?中考真题）如图，在中，点O在上，以
20、为半径的半圆O交于点D，交于点E，过点D作半圆O的切线，交于点F（1）求证：；（2）若，求半圆O的半径长【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到BDF+ADO=90°，再结合ADO=OAD，推出BDF=B，即可；（2）过F作FGBD于G，先利用三角函数求出BG=DG，再过点O作OHAD于H，在AOH中，求出AO即可.【详解】解：（1）连接OD，DF和半圆相切，ODDF，BDF+ADO=90°，ADO=OAD，OAD+BDF=90°，又C=90°，OAD+B=90°，BDF=B，BF=DF；（2）过F作FGB
21、D于G，则GF垂直平分BD，BF=DF=2，C=90°，AB=，cosB=，解得：BG=DG，AD=AB-BD=，过点O作OHAD于H，AH=DH=AD=，cosBAC=，AO=，即半圆O的半径长为.【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是正确寻找相似三角形，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型17（2020·河北中考真题）如图，点为中点，分别延长到点，到点，使以点为圆心，分别以，为半径在上方作两个半圆点为小半圆上任一点（不与点，重合），连接并延长交大半圆于点，连接，（1）求证：；写出1，2和三者间的数量关系，
22、并说明理由（2）若，当最大时，直接指出与小半圆的位置关系，并求此时（答案保留）【答案】（1）见详解；2=C+1；（2）与小半圆相切，【解析】【分析】（1）直接由已知即可得出AO=PO，AOE=POC，OE=OC，即可证明；由（1）得AOEPOC，可得1=OPC，根据三角形外角的性质可得2=C+OPC，即可得出答案；（2）当最大时，可知此时与小半圆相切，可得CPOP，然后根据，可得在RtPOC中，C=30°，POC=60°，可得出EOD，即可求出S扇EOD【详解】（1）在AOE和POC中，AOEPOC；2=C+1，理由如下：由（1）得AOEPOC，1=OPC，根据三角形外角的
23、性质可得2=C+OPC，2=C+1；（2）在P点的运动过程中，只有CP与小圆相切时C有最大值，当最大时，可知此时与小半圆相切，由此可得CPOP，又，可得在RtPOC中，C=30°，POC=60°，EOD=180°-POC=120°，S扇EOD=【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角，切线的性质，扇形面积的计算，掌握知识点灵活运用是解题关键18（2020·湖北孝感?中考真题）如图，在中，点在的延长线上，点在的延长线上，满足连接，分别与，交于点，求证：【答案】证明见解析【解析】【分析】先根据平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质、
24、邻补角的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证【详解】四边形为平行四边形，在和中，【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、邻补角的定义、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质，正确找出全等三角形是解题关键19（2020·江苏淮安?中考真题）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为、，测得，千米，求、两点间的距离（参考数据：，结果精确到1千米）【答案】、两点间的距离约为11千米【解析】【分析】如图（见解析），先根据直角三角形的性质、勾股定理可求出CD、AD的长，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得BD的长，然后根据线段的和差即可得【详解】如图
25、，过点C作于点D在中，千米（千米），（千米）在中，是等腰直角三角形千米（千米）答：、两点间的距离约为11千米【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键20（2020·江苏淮安?中考真题）如图，是圆的弦，是圆外一点，交于点，交圆于点，且（1）判断直线与圆的位置关系，并说明理由；（2）若，求图中阴影部分的面积【答案】（1）直线BC与圆O相切，理由见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接OB，由等腰三角形的性质分别证出A=OBA，CPB=CBP，再利用直角三角形性质和对顶角可证得OBC=90º，即OBBC,可判断
26、直线BC与圆O相切；（2）易证得CPD为等边三角形，则有OCB=60º,BOC=30º,用含30º角的直角三角形求得OA、BC的长，然后用公式求得OBC的面积和扇形OBD的面积，相加即可解得阴影面积【详解】（1）直线BC与圆O相切，理由为：连接OB，OA=OB，A=OBA，CP=CB，CPB=CBP，又APO=CPBCBP=APO，OAOC，A+APO=90º，OBA+CBP=90º即OBC=90º，OBBC，直线BC与圆O相切；（2）OAOC，A=30º，OP=1OA=，APO=60º即CPB=60º，
27、CP=CB，PCB为等边三角形，PCB=60º，OBC=90º，BOD=30º，BC=OB·tan30º=1，=，答:图中阴影部分的面积为【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、切线的判定定理、等边三角形的判定与性质、扇形的面积等知识，解答的关键是认真审题，结合图形，找到各知识点之间的联系，进而推理、探究、发现和计算21（2020·上海中考真题）在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+5与x轴、y轴分别交于点A、B(如图)抛物线y=ax2+bx(a0)经过点A（1）求线段AB的长；（2）如果抛物线y=ax2+bx经过线
28、段AB上的另一点C，且BC=，求这条抛物线的表达式；（3）如果抛物线y=ax2+bx的顶点D位于AOB内，求a的取值范围【答案】（1）5；（2）y=x2+x；（3）a0【解析】【分析】（1）先求出A，B坐标，即可得出结论；（2）设点C（m，-m+5），则BC=|m，进而求出点C（2，4），最后将点A，C代入抛物线解析式中，即可得出结论；（3）将点A坐标代入抛物线解析式中得出b=-10a，代入抛物线解析式中得出顶点D坐标为（5，-25a），即可得出结论【详解】（1）针对于直线y=x+5，令x=0，y=5，B(0，5)，令y=0，则x+5=0，x=10，A(10，0)，AB=5；（2）设点C(m，
29、m+5)B(0，5)，BC=|m|BC=，|m|=，m=±2点C在线段AB上，m=2，C(2，4)，将点A(10，0)，C(2，4)代入抛物线y=ax2+bx(a0)中，得，抛物线y=x2+x；（3）点A(10，0)在抛物线y=ax2+bx中，得100a+10b=0，b=10a，抛物线的解析式为y=ax210ax=a(x5)225a，抛物线的顶点D坐标为(5，25a)，将x=5代入y=x+5中，得y=×5+5=，顶点D位于AOB内，025a，a0【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，抛物线的顶点坐标的求法，求出点D的坐标是解本题的关键22（2
30、020·黑龙江齐齐哈尔?中考真题）如图，AB为O的直径，C、D为O上的两个点，连接AD，过点D作DEAC交AC的延长线于点E（1）求证：DE是O的切线（2）若直径AB6，求AD的长【答案】（1）见解析；（2）3【解析】【分析】（1）连接OD，根据已知条件得到BOD180°60°，根据等腰三角形的性质得到ADODAB30°，得到EDA60°，求得ODDE，于是得到结论；（2）连接BD，根据圆周角定理得到ADB90°，解直角三角形即可得到结论【详解】（1）证明：连接OD，BOD180°60°，EADDABBOD30&#
31、176;，OAOD，ADODAB30°，DEAC，E90°，EAD+EDA90°，EDA60°，EDOEDA+ADO90°，ODDE，DE是O的切线；（2）解：连接BD，AB为O的直径，ADB90°，DAB30°，AB6，BDAB3，AD3【点睛】本题考查了切线的证明，及线段长度的计算，熟知圆的性质及切线的证明方法，以及含30°角的直角三角形的特点是解题的关键23（2020·湖北宜昌?中考真题）如图，在四边形中，过点B的与边分别交于E，F两点，垂足为G，连接 （1）若，试判断的形状，并说明理由；（2）若，
32、求证：与相切于点A【答案】（1）等腰直角三角形，理由见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）根据题目中已知信息，可知，有，所以，都是等腰直角三角形，得到，即可得出是等腰直角三角形；（2）通过，可以等到，有，又因为，可以知道E与点A重合，再证明即可【详解】解：（1）是等腰直角三角形理由如下：，都是等腰直角三角形是等腰直角三角形（2）证明：点E与点A重合以下有多种方法：方法一是的半径与相切于点A方法二，又G，A，O三点共线与相切于点A方法三：如图与之间距离：延长交的延长线交于点，与相切于点又点与点重合与相切于点【点睛】（1）证明三角形形状需要找到边的关系以及角的大小，通过题目中的已知信息先判断出
33、特殊三角形，再找到所求三角形与特殊三角形边与角的关系是解题的关键；（2）本题主要考查了全等三角形的性质以及如何求切线，通过三角形全等得到角的大小，从而可以证明点E与点A重合，再证明即可得与相切于点，其中证明点E与点A重合是解题的关键24（2020·湖北随州?中考真题）如图，某楼房顶部有一根天线，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点，在点处测得天线顶端的仰角为，从点走到点，测得米，从点测得天线底端的仰角为，已知，在同一条垂直于地面的直线上，米（1）求与之间的距离；（2）求天线的高度（参考数据：，结果保留整数）【答案】（1）之间的距离为30米；（2）天线的高度约为27米【解析
34、】【分析】（1）根据题意，BAD=90°，BDA=45°，故AD=AB，已知CD=5，不难算出A与C之间的距离（2）根据题意，在中，利用三角函数可算出AE的长，又已知AB，故EB即可求解【详解】（1）依题意可得，在中， ，米， 米，米. 即之间的距离为30米（2）在中，米，（米），米，米由并精确到整数可得米即天线的高度约为27米 【点睛】（1）本题主要考查等腰直角三角形的性质，掌握等腰直角三角形的性质是解答本题的关键（2）本题主要考查三角函数的灵活运用，正确运用三角函数是解答本题的关键25（2020·广东中考真题）已知关于，的方程组与的解相同（1）求，的值；（2）
35、若一个三角形的一条边的长为，另外两条边的长是关于的方程的解试判断该三角形的形状，并说明理由【答案】（1）； （2）等腰直角三角形，理由见解析【解析】【分析】（1）关于x，y的方程组与的解相同实际就是方程组的解，可求出方程组的解，进而确定a、b的值；（2）将a、b的值代入关于x的方程x2axb0，求出方程的解，再根据方程的两个解与为边长，判断三角形的形状【详解】解：由题意列方程组：解得将，分别代入和解得，（2）解得这个三角形是等腰直角三角形理由如下：该三角形是等腰直角三角形【点睛】本题考查一次方程组、一元二次方程的解法以及等腰直角三角形的判定，掌握一元二次方程的解法和勾股定理是得出正确答案的关键
36、26（2020·广东中考真题）如图，在中，点，分别是、边上的点，与相交于点，求证：是等腰三角形【答案】见解析【解析】【分析】先证明，得到，进而得到，故可求解【详解】证明：在和中又即是等腰三角形【点睛】此题主要考查等腰三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质27（2020·四川内江?中考真题）如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，ABCD，AEDF，AD（1）求证：AB=CD；（2）若ABCF，B40°，求D的度数【答案】（1）ABCD（2）70°【解析】【分析】（1）根据平行线的性质求出B=C，根据AAS推出ABECDF，根
37、据全等三角形的性质得出即可；（2）根据全等得出AB=CD，BE=CF，B=C，求出CF=CD，推出D=CFE，即可求出答案【详解】（1）证明：ABCD，BC，在ABE和CDF中，BC，AE=DF ，ADAEBDFC ABCD.（2）ABCD，ABCF，CDCF，BC=40°，D(180°40°)÷270°【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，能根据全等三角形的判定求出ABECDF是解此题的关键28（2020·四川内江?中考真题）如图，AB是O的直径，C是O上一点，于点D，过点C作O 的切线，交
38、OD的延长线于点E，连结BE（1）求证：BE是O的切线；（2）设OE交O于点F，若，求线段EF的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积【答案】（1）见解析；（2）EF=4；（3）【解析】【分析】（1）连接OC，如图，根据垂径定理由ODBC得到CD=BD，则OE为BC的垂直平分线，所以EB=EC，根据等腰三角形的性质得EBC=ECB，加上OBC=OCB，则OBE=OCE；再根据切线的性质得OCE=90°，所以OBE=90°，然后根据切线的判定定理得BE与O相切；（2）设O的半径为R，则OD=R-DF=R-2，OB=R，在RtOBD，利用勾股定理解得R=4，再利用含30&
39、#186;角的直角三角形边角关系可求得OE，利用EF=OE-OF即可解答；（3）利用（2）中可求得BOC=120º,然后利用代入数值即可求解【详解】（1）证明：连接OC，如图，ODBC，CD=BD，OE为BC的垂直平分线，EB=EC，EBC=ECB，OB=OC，OBC=OCB，OBC+EBC=OCB+ECB，即OBE=OCE，CE为O的切线，OCCE，OCE=90°，OBE=90°，OBBE，BE与O相切（2）设O的半径为R，则OD=R-DF=R-2，OB=R，在RtOBD中，BD=BC=OD2+BD2=OB2，解得R=4，OD=2，OB=4，OBD=30
40、6;，BOD=60°，在RtOBE中，BEO=30º，OE=2OB=8，EF=OE-OF=8-4=4，即EF=4；（3）由OCD=OBD=30º和ODBC知：COD=BOD=60º，BOC=120º，又BC=，OE=8，=, 【点睛】本题考查了切线的判定与性质、垂径定理、扇形面积的计算、含30º角的直角三角形边角关系、勾股定理等知识，熟练掌握每个知识点是解答的关键29（2020·江苏常州?中考真题）如图1，点B在线段上，RtRt， （1）点F到直线的距离是_；（2）固定，将绕点C按顺时针方向旋转30°，使得与重合，
41、并停止旋转请你在图1中用直尺和圆规画出线段经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）该图形的面积为_；如图2，在旋转过程中，线段与交于点O，当时，求的长【答案】（1）1；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质和全等三角形的性质可得ACF=ECF=30°，即CF是ACB的平分线，然后根据角平分线的性质可得点F到直线的距离即为EF的长，于是可得答案；（2）易知E点和F点的运动轨迹是分别以CF和CE为半径、圆心角为30°的圆弧，据此即可画出旋转后的平面图形；在图3中，先解RtCEF求出CF和CE的长，然后根据S阴影=（SCEF+S扇形ACF）（SACG+S扇形CEG）即可求出阴影面积；作EHCF于点H，如图4，先解RtEFH求出FH和EH的长，进而可得CH的长，设OH=x，则CO和OE2都可以用含x的代数式表示，然后在RtBOC中根据勾股定理即可得出关于x的方程，解方程即可求出x的值，进一步即可求出结果【详解】解：（1），ACB=60°，RtRt，ECF=BAC=30°，EF=BC=1，ACF=30°，ACF=ECF=30°，CF是ACB的平分线，点F到直线的距离=EF=1；故答案为：1；（2）线段经旋转运动所形成的平面图形如图3中的阴影所示：在RtCEF中，