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1、关于垂直平分线的判定第一张，PPT共四十九页，创作于2022年6月线段的垂直平分线w我们曾经利用折纸的方法得到我们曾经利用折纸的方法得到:w线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.w你能证明这一结论吗你能证明这一结论吗?回顾 思考已知已知:如图如图,AC=BC,MNAB,P,AC=BC,MNAB,P是是MNMN上任意一点上任意一点.求证求证:PA=PB.:PA=PB.ACBPMN分析:(1)要证明PA=PB,而APCBPC的条件由已知 故结论可证.老师期望:你能写出规范的证明过程.AC=BC,MNAB,AC=BC,MNAB,可推知其能满足公
2、理（可推知其能满足公理（SASSAS）.就需要证明PA,PB所在的APCBPC，第二张，PPT共四十九页，创作于2022年6月几何的几何的三种语言三种语言w定理定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等等.老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.开启 智慧ACBPMNw如图如图,wAC=BC,MNAB,PAC=BC,MNAB,P是是MNMN上任意上任意一点一点(已知已知),),wPA=PB(PA=PB(线段垂直平分线上的点线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等到这条线段两个端点距离相等).).第三张，PPT共四十九页
3、，创作于2022年6月进步的标志进步的标志思考分析w你能写出你能写出“定理定理 线段垂直平分线上的点线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等到这条线段两个端点距离相等”的逆命题的逆命题吗吗?w逆命题逆命题 到一条线段两个端点距离相等的点到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的在这条线段的垂直平分线上垂直平分线上.w它是真命题吗它是真命题吗?ABP如果是如果是.请你证明它请你证明它.已知已知:如图如图,PA=PB.,PA=PB.求证求证:点点P P在在ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上.分析分析:要证明点要证明点P P在线段在线段ABAB的的垂直垂直平分平分线上线上,可以先作出过点可
4、以先作出过点P P的的ABAB的的垂线垂线(或或ABAB的的中点中点,),),然后证明另一个结论正确然后证明另一个结论正确.想一想想一想:若作出若作出P P的角平分线的角平分线,结论是否结论是否也可以得证也可以得证?第四张，PPT共四十九页，创作于2022年6月证证法一：法一：取取AB的中点的中点C，连连接接P,C APC与与BPC中中 AP=BP PC=PC AC=CB APCBPC(SSS)BPA已知：已知：线线段段AB，点，点P是平面内一点且是平面内一点且PA=PB求求证证：P点在点在AB的垂直平分的垂直平分线线上上CPCA=PCB(全等三角形的全等三角形的对应对应角相等角相等)又又PC
5、A+PCB=180 PCA=PCB=90即即PC AB P点在点在AB的垂直平分的垂直平分线线上上第五张，PPT共四十九页，创作于2022年6月证明：过证明：过P P点做点做PMABPMAB于于M M PMAB PMAB PMA=PMB=90 PMA=PMB=90 在在RtPACRtPAC和和RtPBCRtPBC中，中，AP=BP AP=BP PM=PMPM=PM RtPAC RtPBC(HL)RtPAC RtPBC(HL)MA=MB(MA=MB(全等三角形的对应边相等）全等三角形的对应边相等）P P点在线段点在线段ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上ABPM M证法二证法二：第六张，PPT共
6、四十九页，创作于2022年6月驶向胜利的彼岸逆定理逆定理 我能行我能行1 1w逆定理逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线在这条线段的垂直平分线上段的垂直平分线上.ACBPMNw如图如图,wPA=PB(PA=PB(已知已知),),w点点P P在在ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上(到一条线到一条线段两个端点距离相等的点段两个端点距离相等的点,在这条线段在这条线段的垂直平分线上的垂直平分线上).).老师提示:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.从这个结果出发,你还能联想到什么?第七张，PPT共四十九页，创作于2022年6月回味
7、无穷w线段垂直平分线性质线段垂直平分线性质定理定理 w线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等相等.w符号语言符号语言,wAC=BC,MNAB,PAC=BC,MNAB,P是是MNMN上任意一点上任意一点(已知已知),),wPA=PB(PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等端点距离相等).).w线段垂直平分线判定线段垂直平分线判定定理定理 到一条线段两个端点距离到一条线段两个端点距离相等的点相等的点,在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上.w符号语言符号语言,wPA=PB(PA=PB(
8、已知已知),),w点点P P在在ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上(到一条线段两个端点到一条线段两个端点距离相等的点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上).).小结 拓展ACBPMN第八张，PPT共四十九页，创作于2022年6月判断判断（1 1）如图，）如图，CDCD ABAB于于D D，则，则ACACBCBC。（。（）ABCDABCD第九张，PPT共四十九页，创作于2022年6月ABCD（2 2）如图，）如图，ADADBDBD，则，则ACACBCBC。（。（）第十张，PPT共四十九页，创作于2022年6月1.已知线段已知线段AB（1）若若CA=CB，问问：过过C点
9、点的的直直线线是是不不是是线线段段AB的垂直平分线？若不是，请找出反例的垂直平分线？若不是，请找出反例.（2）若若CA=CB，DA=DB，问问过过C和和D两两点点的的直线是不是线段直线是不是线段AB的垂直平分线？为什么？的垂直平分线？为什么？第十一张，PPT共四十九页，创作于2022年6月（2）过）过C和和D两点的直线是两点的直线是线段线段AB的垂直平分线。因为的垂直平分线。因为点点C、点、点D到线段到线段AB的两端点的两端点距离相等，它们一定都在线距离相等，它们一定都在线段段AB的垂直平分线上，由的垂直平分线上，由“两两点确定一条直线点确定一条直线”可知过可知过C和和D两点的直线必是线段两点
10、的直线必是线段AB的垂的垂直平分线直平分线答答：（1）过过C点点的的直直线线不不一一定定是是线线段段AB的垂直平分线，的垂直平分线，反例：如图，反例：如图，CA=CB，但直线，但直线CD不是不是线段线段AB的垂直平分线的垂直平分线.第十二张，PPT共四十九页，创作于2022年6月 2.如图，如图，AB=AC,MB=MC上上,求求证：证：直线直线AM是线段是线段BC的垂直的垂直平分线上平分线上BACM第十三张，PPT共四十九页，创作于2022年6月1 如图，在ABC上，已知点D在BC上，且BDADBC求证：点D在AC的垂直平分线上证明：BDADBCAD=BC-BD=CD点D在AC的垂直平分线上(
11、到一条线段两个端点到一条线段两个端点距离相等的点距离相等的点,在这条线在这条线段的垂直平分线上段的垂直平分线上)第十四张，PPT共四十九页，创作于2022年6月2 如图，已知AECE，BDAC求证：ABCDADBC 证明：AECE，BDACBA=BC DA=DC(线段的垂直平分线上的线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离点到这条线段的两个端点的距离相等相等)BA+DA=BC+DC 第十五张，PPT共四十九页，创作于2022年6月 3 3：如图，若如图，若AC=12AC=12，BC=7BC=7，ABAB的垂直平分的垂直平分线交线交ABAB于于E E，交，交ACAC于于D D，求，求BC
12、DBCD的周长。的周长。DCBEA解：解：BD=AD=AD+DC+BC=AD+DC+BC=AC+BC=12+7=12+7=19=19EDED是线段是线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线 BCD BCD的周长的周长=BD+DC+BC=BD+DC+BC127所以所以BCDBCD的周长为的周长为1919。变变式式：如如图图，若若A AC C=1 12 2，B BC CD D的的周周长长=2 25 5，A AB B的的垂垂直直平平分分线线交交A AB B于于E E，交交A AC C于于D D，求求B BC C。第十六张，PPT共四十九页，创作于2022年6月4.在在 ABC中中,DE为为BC 的垂直平
13、分线的垂直平分线,DE BC交交 BAC的平分线的平分线AE于点于点E,EF AB于于F点点,EG AC于于G点点求证求证:BF=CG第十七张，PPT共四十九页，创作于2022年6月1 如图，已知点如图，已知点A、点、点B以及直线以及直线l，在直线，在直线l上求上求作一点作一点P，使，使PAPB提示：连结提示：连结AB,作作AB的垂直平分线，交直的垂直平分线，交直线线l于于P,点点P就是所求就是所求的点。的点。第十八张，PPT共四十九页，创作于2022年6月2.如图如图,已知已知:AOB,点点M、N.求作求作:一点一点P,使点使点P到到 AOB两边的距两边的距离相等离相等,并且满足并且满足PM
14、=PN.MNAOB.P点点P为所求为所求作的点作的点第十九张，PPT共四十九页，创作于2022年6月1 、已知、已知:如图如图,在在ABC中中,边边AB，BC的垂直平分的垂直平分线交于线交于P.(1)求证：求证：PA=PB=PC;（2）点）点P是否在是否在AC的垂直的垂直平分线平分线BACMNMNPPA=PB=PCPB=PC点点P在线段在线段BC的的垂直平分线上垂直平分线上PA=PB点点P在线段在线段AB的的垂直平分线上垂直平分线上分析：分析：结论：结论：三角形三边垂直平三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相三角形三个顶点的距离相等。等。第二十张，P
15、PT共四十九页，创作于2022年6月 2.2.东城新区政府为了方便居民的东城新区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区生活，计划在三个住宅小区A A、B B、C C之间修建一个购物中心，试问，之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等。得它到三个小区的距离相等。ABC生活中的数学生活中的数学第二十一张，PPT共四十九页，创作于2022年6月回味无穷w定理定理 w线段垂直平分线上的点到这条线段两个线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等端点距离相等.w如图如图,wAC=BC,MNAB,PAC=BC,MNAB,P是是MNM
16、N上任意一点上任意一点(已知已知),),wPA=PB(PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等段两个端点距离相等).).w逆定理逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上.w如图如图,wPA=PB(PA=PB(已知已知),),w点点P P在在ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上(到一条线到一条线段两个端点距离相等的点段两个端点距离相等的点,在这条线在这条线段的垂直平分线上段的垂直平分线上).).小结 拓展ACBPMN第二十二张，PPT共四十九页，创作于2022年6月 如如图
17、图,AB,AB是是ABCABC的的一一条条边边，DEDE是是ABAB的的垂垂直直平平分分线线，垂垂足足为为E E，并并交交BCBC于于点点DD，已已知知AB=8cm,BD=5cm,AB=8cm,BD=5cm,那那么么EA=_,DA=_.EA=_,DA=_.DE=DE=_ABEDC（1）4cm5cm3cm第二十三张，PPT共四十九页，创作于2022年6月1.在在ABC中，中，ACB=90，AB=8cm，BC的垂直平分线的垂直平分线DE交交AB于于D点点,则则CD=_ 4cm 2、在、在ABC,PM,QN分别垂直平分分别垂直平分AB,AC，则，则:(1)若若BC=10cm则则APQ的周长的周长=_
18、cm;(2)若若BAC=100则则PAQ=_.10200第二十四张，PPT共四十九页，创作于2022年6月 3、在、在ABC中，中，AB=AC，AB的中垂线与的中垂线与AC所在的直线相交所得所在的直线相交所得的锐角为的锐角为50，则，则B=_.700或或200第二十五张，PPT共四十九页，创作于2022年6月 如图，在如图，在ABCABC中，中，AB=AC=16cmAB=AC=16cm，ABAB的垂直平分线的垂直平分线交交ACAC于于D D，如果，如果BC=10cmBC=10cm，那么，那么BCDBCD的周长是的周长是_cm._cm.ABCDE (2)26第二十六张，PPT共四十九页，创作于2
19、022年6月如图，已知点如图，已知点D D在在ABAB的垂直平分线上，如果的垂直平分线上，如果AC=5cm,BC=4cm,AC=5cm,BC=4cm,那么那么BDCBDC的周长是（的周长是（）cmcm。ADEBCMNA.6B.7C.8D.99第二十七张，PPT共四十九页，创作于2022年6月习题1.4 独立作业独立作业3 3驶向胜利的彼岸w3.如图,在ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,BCE的周长等于50,求BC的长.老师期望:做完题目后,一定要“悟”到点东西,纳入到自己的认知结构中去.BAEDC第二十八张，PPT共四十九页，创作于2022年6月拓展：1.如
20、图所示，在如图所示，在ABC中，中，AB=AC32，MN是是AB的垂直的垂直平分线，且有平分线，且有BC=21，求，求BCN的周长。的周长。第二十九张，PPT共四十九页，创作于2022年6月例题：如下图ABC中，AC=16cm，DE为AB的垂直平分线，BCE的周长为26cm，求BC的长。AEDBC第三十张，PPT共四十九页，创作于2022年6月 如图，在如图，在RtABCRtABC中，中，C=90C=90，DEDE是是ABAB的的垂直平分线，连接垂直平分线，连接AEAE，CAECAE：DAE=DAE=1 1：2 2，求，求B B的度数。的度数。AEDBC练 习：第三十一张，PPT共四十九页，创
21、作于2022年6月如图，ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P。（1）求证：PA=PB=PC。（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上呢？由此你能得出什么结论？APCB第三十二张，PPT共四十九页，创作于2022年6月已知已知:如图如图,在在ABC中中,边边AB，BC的垂直平分的垂直平分 线交线交于于P.求证：求证：PA=PB=PC;证明：证明：点点P在线段在线段AB的垂直平分线的垂直平分线MN上，上，PA=PB（）.同理同理 PB=PC.PA=PB=PC.BACMNMNP第三十三张，PPT共四十九页，创作于2022年6月 已知已知:如图如图,在在ABCABC中中,AB,AB、BCBC的中垂
22、线的中垂线交于点交于点O O，那么点，那么点O O在在ACAC的中垂线上吗？为什的中垂线上吗？为什么？么？BACMNEFO开启智慧这点这点O是三角是三角形的形的 心，心，它到三角形三它到三角形三个顶点的距离个顶点的距离相等相等外外第三十四张，PPT共四十九页，创作于2022年6月例题：有A、B、C三个村庄，现准备要建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置。ABC第三十五张，PPT共四十九页，创作于2022年6月你能找到图中相等的角吗你能找到图中相等的角吗?如图，在如图，在ABCABC中，中，C=90 C=90，ABAB的中垂线的中垂线DEDE交交BCBC于于D D，交，交A
23、BAB于于E E，连接，连接ADAD，若，若ADAD平分平分BACBAC，找出图中相等的线段，找出图中相等的线段，并说说你的理由。并说说你的理由。解：解：AB的中垂线的中垂线DE交交BC于于D，交交AB于于E，EB=EA，DB=DA；AD平分平分BAC ，DCAC，DEAB，DC=DE AC=AEDAB=ABC=DAC，第三十六张，PPT共四十九页，创作于2022年6月 高高 速速 公公 路路AB 在某高速公路在某高速公路L L的同侧，有两的同侧，有两个工厂个工厂A A、B B，为了便于两厂的工人，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个
24、工厂的工人都一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处没意见，问医院的院址应选在何处？你的方案是什么？你的方案是什么?生活中的数学生活中的数学L第三十七张，PPT共四十九页，创作于2022年6月基本作图：作线段的垂直平分线。已知：线段AB，求作：线段AB的垂直平分线。ABCD作法：（2）作直线CD。CD即为所求。(1)分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于C、D两点；12结论结论：对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴。第三十八张，PPT共四十九页，创作于2022年6月梦想成真 试一试试一试P272 21
25、.已知直线和上一点P,利用尺规作的垂线,使它经过点P.P l第三十九张，PPT共四十九页，创作于2022年6月例：如图所示，例：如图所示，AD为为 ABC 的高，的高，B 2 C，借助于轴对称的性质想一想：，借助于轴对称的性质想一想：CD与与ABBD相等吗？请说明你的理由。相等吗？请说明你的理由。第四十张，PPT共四十九页，创作于2022年6月答：相等，理由如下：答：相等，理由如下：在在DC上截取上截取DE使使DEDB，连接，连接AE AD BE且且DBDE B、E关于关于AD对称对称ABD与与AED关于直线关于直线AD对称对称 ABD AED ABAE，AED B又又 B2 C AED 2
26、C 而而AED C CAE CAE C AECE ABCE 故故ABBDDEEC即：即：ABBDCD第四十一张，PPT共四十九页，创作于2022年6月二、判定：二、判定：到到线段两个端点距离相等的点，在这条线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上。线段的垂直平分线上。线段的垂直平分线线段的垂直平分线一、性质：一、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等。点的距离相等。PA=PB点点P在线段在线段AB的垂直的垂直平分线上平分线上到线段两个端点距离相等的点，到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上线
27、段垂直平分线上的点到这线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等条线段两个端点的距离相等三、三、线段的垂直平分线的集合定义：线段的垂直平分线的集合定义：线段的垂直平分线可以看作是到线段两上线段的垂直平分线可以看作是到线段两上端点距离相等的所有点的集合端点距离相等的所有点的集合任何图形都是有点组成的。因此任何图形都是有点组成的。因此我们可以把图形看成点的集合。我们可以把图形看成点的集合。由上述定理和判定，线段的垂直由上述定理和判定，线段的垂直平分线可以看作符合什么条件的平分线可以看作符合什么条件的点组成的图形？点组成的图形？第四十二张，PPT共四十九页，创作于2022年6月角的平分线角的平
28、分线ODEABPC定理定理1 1 在角的平分线上的点到在角的平分线上的点到这个角的两边的这个角的两边的距离相等距离相等。定理定理2 2 到一个角的两边的到一个角的两边的距离相距离相等等的点，在这个角的平分线上。的点，在这个角的平分线上。角的平分线是到角的角的平分线是到角的两边两边距距离离相等相等的所有点的集合的所有点的集合 线段的垂直平分线线段的垂直平分线定定 理理 线段垂直平分线上的点和这线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的条线段两个端点的距离相等距离相等。逆定理逆定理 和一条线段两个端点和一条线段两个端点距离距离相等相等的点，在这条线段的垂直平的点，在这条线段的垂直平分线上。分线上。线
29、段的垂直平分线可以看作是和线线段的垂直平分线可以看作是和线段段两上端点两上端点距离相等距离相等的所有点的集合的所有点的集合ABMNP点的集合是一条射线点的集合是一条射线点的集合是一条直线点的集合是一条直线第四十三张，PPT共四十九页，创作于2022年6月线段垂直平分线的判定：线段垂直平分线的判定：定理：定理：到线段两个端点的距离相等的到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上点在这条线段的垂直平分线上 PA=PB(已知已知),点点P在在AB的垂直平分线上的垂直平分线上(到一条线段两个到一条线段两个端点距离相等的点端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线在这条线段的垂直平分线上上).第
30、四十四张，PPT共四十九页，创作于2022年6月 MN是是AB的垂直平分线，的垂直平分线，EF是是BC垂直平分线。垂直平分线。PA与与PC是否相等，为什么？是否相等，为什么？MME EP PA AB BC CF FN第四十五张，PPT共四十九页，创作于2022年6月驶向胜利的彼岸尺规作图尺规作图 做一做做一做1 1l已知:线段AB,如图.l求作:线段AB的垂直平分线.l作法:l用尺规作线段的垂直平分线用尺规作线段的垂直平分线.l1.分别以点A和B为圆心,以大于AB/2长为半径作弧,两弧交于点C和D.ABCDl2.作直线CD.l则直线CD就是线段AB的垂直平分线.请你说明CD为什么是AB的垂直平
31、分线,并与同伴进行交流.老师提示:因为直线CD与线段AB的交点就是AB的中点,所以我们也用这种方法作线段的中点.第四十六张，PPT共四十九页，创作于2022年6月挑战自我挑战自我 随堂练习随堂练习1 1驶向胜利的彼岸l如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上的一点,如果EC=7cm,那么ED=cm;如果ECD=600,那么EDC=0.老师期望:你能说出填空结果的根据.EDABC760第四十七张，PPT共四十九页，创作于2022年6月已知：如图，ABAC，DBDC.求证：AD所在直线是BC的垂直平分线.练练 习习 B C A D 第四十八张，PPT共四十九页，创作于2022年6月感感谢谢大大家家观观看看第四十九张，PPT共四十九页，创作于2022年6月