《2022届高三数学一轮复习（原卷版）第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022届高三数学一轮复习（原卷版）第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数.doc（14页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 第 1 讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数 一、知识梳理 1任意角的概念 (1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形 (2)角的分类 按旋转方向 正角 按逆时针方向旋转而成的角 负角 按顺时针方向旋转而成的角 零角 射线没有旋转 按终边位置 前提：角的顶点在原点，始边与 x 轴的非负半轴重合 象限角 角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角 其他 角的终边落在坐标轴上 (3)终边相同的角：所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合 S|k 360，kZ 2弧度制 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，弧度记作 ra
2、d. (2)公式 角 的弧度数公式 |lr 角度与弧度的换算 1180rad，1 rad1805718 弧长公式 l| r 扇形面积公式 S12l r12|r2 3.任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么 y 叫做 的正弦，记作sin x 叫做 的余弦， 记作cos yx叫做 的正切， 记作tan 各象限符号 正 正 正 正 负 负 负 负 正 负 正 负 口诀 一全正，二正弦，三正切，四余弦 常用结论 1象限角 2轴线角 3三角函数定义的推广 设点 P(x，y)是角 终边上任意一点且不与原点重合，r|OP|，则 sin
3、 yr，cos xr，tan yx. 二、教材衍化 1角225_弧度，这个角在第_象限 答案：54 二 2设角 的终边经过点 P(4，3)，那么 2cos sin _ 答案：115 3一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为_弧度 答案：3 一、思考辨析 判断正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角( ) (2)角 的三角函数值与其终边上点 P 的位置无关( ) (3)不相等的角终边一定不相同( ) (4)终边相同的角的同一三角函数值相等( ) (5)若 0，2，则 tan sin .( ) (6)若 为第一象限角，则 sin cos 1.( )
4、 答案：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 二、易错纠偏 常见误区| (1)终边相同的角理解出错； (2)三角函数符号记忆不准； (3)求三角函数值不考虑终边所在象限 1下列与94的终边相同的角的表达式中正确的是( ) A2k45 (kZ) Bk 360 94(kZ) Ck 360 315 (kZ) Dk54(kZ) 解析：选 C由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度，应为42k或 k 360 45 (kZ). 2若 sin 0，且 tan 0，则 是( ) A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 解析：选 C由 sin 0 知 的终边在第三、第四象限
5、或 y 轴的非正半轴上；由 tan 0 知 的终边在第一或第三象限，故 是第三象限角故选 C 3已知角 的终边在直线 yx 上，且 cos 0，则 tan _ 解析：如图，由题意知，角 的终边在第二象限，在其上任取一点 P(x，y)，则 yx，由三角函数的定义得 tan yxxx1. 答案：1 考点一 任意角与弧度制(基础型) 复习指导| 了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化 核心素养：数学抽象 角度一 象限角及终边相同的角 1给出下列四个命题： 34是第二象限角； 43是第三象限角； 400是第四象限角； 315是第一象限角 其中正确命题的个数为( ) A1 B2 C3 D4 解
6、析：选 C34是第三象限角，故错误； 433，所以43是第三象限角，故正确； 40036040，所以400是第四象限角，故正确； 31536045，所以315是第一象限角，故正确，故选 C 2若角 是第二象限角，则2是( ) A第一象限角 B第二象限角 C第一或第三象限角 D第二或第四象限角 解析：选 C因为 是第二象限角，所以22k2k，kZ， 所以4k22k，kZ. 当 k 为偶数时，2是第一象限角； 当 k 为奇数时，2是第三象限角 所以2是第一或第三象限角 3集合k4k2，kZ 中的角所表示的范围(阴影部分)是( ) 解析：选 C当 k2n(nZ)时，2n42n2，此时 表示的范围与4
7、2表示的范围一样；当 k2n1(nZ)时，2n42n2，此时 表示的范围与 42表示的范围一样，故选 C 4在7200范围内所有与 45终边相同的角为_ 解析：所有与 45终边相同的角可表示为： 45k360(kZ)， 则令72045k3600(kZ)， 得765k36045(kZ)， 解得765360k45360(kZ)，从而 k2 和 k1， 代入得 675和 315. 答案：675和315 5终边在直线 y 3x 上，且在2，2)内的角 的集合为_ 解析：如图，在坐标系中画出直线 y 3x，可以发现它与 x 轴的夹角是3，在0，2)内，终边在直线 y 3x 上的角有两个：3，43； 在2
8、，0)内满足条件的角有两个：23，53，故满足条件的角 构成的集合为53，23，3，43. 答案：53，23，3，43 (1)表示区间角的三个步骤 先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界； 按由小到大分别标出起始和终止边界对应的360 360 范围内的角 和 ，写出最简区间； 起始、终止边界对应角 ， 再加上 360 的整数倍，即得区间角集合 (2)象限角的两种判断方法 图象法： 在平面直角坐标系中， 作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第 几象限角； 转化法：先将已知角化为 k 360 (0 360 ，kZ)的形式，即找出与已知角终边相同的角 ，再由角 的终边所在的象限判断已知角是第
9、几象限角 提醒 注意“顺转减， 逆转加”的应用， 如角 的终边逆时针旋转 180 可得角 180的终边，类推可知 k 180 (kZ)表示终边落在角 的终边所在直线上的角 角度二 扇形的弧长及面积公式 已知扇形的圆心角是 ，半径为 R，弧长为 l. (1)若 60，R10 cm，求扇形的弧长 l； (2)若扇形的周长为 20 cm，当扇形的圆心角 为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【解】 (1)603，l103103(cm) (2)由已知得，l2R20，则 l202R，0R0，cos tan 0， 得 的终边落在第一或第三象限， 由 cos tan cos sin cos sin 0，得 的
10、终边落在第三或第四象限，综上 的终边落在第三象限故选 C 【答案】 C 三角函数值的符号及角的位置的判断 已知一角的三角函数值(sin ，cos ，tan )中任意两个的符号，可分别确定出角 终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置注意终边在坐标轴上的特殊情况 1(2020 江西九江一模)若 sin x0，则角 x 是 ( ) A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 解析：选 D因为1cos x1，且 sin(cos x)0，所以 0cos x1， 又 sin x0，所以角 x 为第四象限角，故选 D 2 点 P 从(1， 0)出发， 沿单位圆逆时针方向运动23弧长到达
11、 Q 点， 则 Q 点的坐标为( ) A12，32 B32，12 C12，32 D32，12 解析： 选 A 由三角函数定义可知 Q 点的坐标(x， y)满足 xcos2312， ysin2332. 所以 Q 点的坐标为12，32. 3若角 的终边落在直线 yx 上，则sin |cos |sin |cos _ 解析：因为角 的终边落在直线 yx 上，所以角 的终边位于第二或第四象限当角 的终边位于第二象限时，sin |cos |sin |cos sin cos sin cos 0；当角 的终边位于第四象限时，sin |cos |sin |cos sin cos sin cos 0.所以sin
12、|cos |sin |cos 0. 答案：0 基础题组练 1(多选)下列与角23的终边相同的角是( ) A143 B2k23(kZ) C2k23(kZ) D(2k1)23(kZ) 解析：选 AC与角23的终边相同的角为 2k23(kZ)，k2 时，423143. 2已知点 P(tan ，cos )在第三象限，则角 的终边在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 解析：选 B由题意知 tan 0，cos 0，根据三角函数值的符号规律可知，角 的终边在第二象限故选 B 3若角 的终边在直线 yx 上，则角 的取值集合为( ) A|k 36045，kZ B|k234，kZ C|k 1
13、8034，kZ D|k4，kZ 解析：选 D由图知，角 的取值集合为|2n34，nZ|2n4，nZ |(2n1)4，nZ|2n4，nZ |k4，kZ 4已知角 的始边与 x 轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角 终边上的一点 P 到原点的距离为 2，若 4，则点 P 的坐标为( ) A(1， 2) B( 2，1) C( 2， 2) D(1，1) 解析：选 D设点 P 的坐标为(x，y)， 则由三角函数的定义得sin 4y2，cos 4x2， 即x 2cos 41，y 2sin 41. 故点 P 的坐标为(1，1) 5已知点 P(sin xcos x，3)在第三象限，则 x 的可能区间是( ) A
14、2， B4，34 C2，2 D34，4 解析：选 D由点 P(sin xcos x，3)在第三象限，可得 sin xcos x0，即 sin xcos x，所以342kx42k，kZ.当 k0 时，x 所在的一个区间是34，4. 6已知 是第二象限角，P(x， 5)为其终边上一点，且 cos 24x，则 x_ 解析：因为 cos xx2524x，所以 x0 或 x 3或 x 3，又 是第二象限角，所以 x 3. 答案： 3 7若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是_ 解析：设圆半径为 r，则圆内接正方形的对角线长为 2r，所以正方形边长为 2r，所以圆心角的弧度数是2rr 2
15、. 答案： 2 8已知点 P(sin ，cos )是角 终边上的一点，其中 23，则与角 终边相同的最小正角为_ 解析： 因为 23， 故 P32，12， 故 为第四象限角且 cos 32， 所以 2k116，kZ，所以与角 终边相同的最小正角为116. 答案：116 9已知1|sin |1sin ，且 lg(cos )有意义 (1)试判断角 所在的象限； (2)若角 的终边上一点 M35，m ，且|OM|1(O 为坐标原点)，求 m 的值及 sin 的值 解：(1)由1|sin |1sin ，得 sin 0， 所以 是第四象限角 (2)因为|OM|1，所以352m21，解得 m45. 又 为
16、第四象限角，故 m0，从而 m45， sin yrm|OM|45145. 10.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，角 的始边与 x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于 A 点，它的终边与单位圆相交于 x 轴上方一点 B，始边不动，终边在运动 (1)若点 B 的横坐标为45，求 tan 的值； (2)若AOB 为等边三角形，写出与角 终边相同的角 的集合 解：(1)由题意可得 B45，35， 根据三角函数的定义得 tan yx34. (2)若AOB 为等边三角形，则AOB3， 故与角 终边相同的角 的集合为 32k，kZ . 综合题组练 1(2020 河北唐山第二次模拟)已知角 的顶点为坐标原点
17、，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上一点 A(2sin ，3)(sin 0)，则 cos ( ) A12 B12 C32 D32 解析：选 A由三角函数定义得 tan 32sin ，即sin cos 32sin ，得 3cos 2sin22(1cos2)，解得 cos 12或 cos 2(舍去)故选 A 2(2018 高考北京卷)在平面直角坐标系中，AB，CD，EF，GH是圆 x2y21 上的四段弧(如图)，点 P 在其中一段上，角 以 Ox 为始边，OP 为终边若 tan cos sin ，则P 所在的圆弧是( ) AAB BCD CEF DGH 解析：选 C设点 P 的坐标为(x，y)，
18、利用三角函数的定义可得yxxy，所以 x0，所以 P 所在的圆弧是EF，故选 C 3(创新型)已知圆 O 与直线 l 相切于点 A，点 P，Q 同时从 A 点出发，P 沿着直线 l 向右运动，Q 沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当 Q 运动到点 A 时，点 P 也停止运动，连接 OQ，OP(如图)，则阴影部分面积 S1，S2的大小关系是_ 解析：设运动速度为 m，运动时间为 t，圆 O 的半径为 r， 则AQAPtm，根据切线的性质知 OAAP， 所以 S112tm rS扇形AOB，S212tm rS扇形AOB， 所以 S1S2恒成立 答案：S1S2 4(创新型)(2020 四川乐山、峨眉山
19、二模)九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积12(弦矢矢2)，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧对弦长， “矢”指半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角为23，半径长为 4 的弧田(如图所示)，按照上述公式计算出弧田的面 积为_ 解析：由题意可得AOB23，OA4.在 RtAOD 中，易得AOD3，DAO6，OD12OA1242，可得矢422.由 ADAOsin 34322 3，可得弦 AB2AD4 3.所以弧田面积12(弦矢矢2)12(4 3222)4 32. 答案：4 32 5若角 的终边过点 P(4a，3a)(a0) (1)
20、求 sin cos 的值； (2)试判断 cos(sin ) sin(cos )的符号 解：(1)因为角 的终边过点 P(4a，3a)(a0)， 所以 x4a，y3a，r5|a|， 当 a0 时，r5a，sin cos 15. 当 a0 时，r5a，sin cos 15. (2)当 a0 时，sin 350，2， cos 452，0 ， 则 cos(sin ) sin(cos ) cos 35 sin450； 当 a0 时，sin 352，0 ， cos 450，2， 则 cos(sin ) sin(cos ) cos35 sin 450. 综上，当 a0 时，cos(sin ) sin(cos )的符号为负；当 a0 时，cos(sin ) sin (cos )的符号为正 6(创新型)在一块顶角为 120、腰长为 2 的等腰三角形厚钢板废料 OAB 中，用电焊切割成扇形，现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，问哪一种方 案最优？ 解：因为AOB 是顶角为 120、腰长为 2 的等腰三角形， 所以 AB306，AMBN1，AD2， 所以方案一中扇形的弧长263；方案二中扇形的弧长12323； 方案一中扇形的面积122263，方案二中扇形的面积1211233. 由此可见：两种方案中利用废料面积相等，方案一中切割时间短因此方案一最优