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1、考点25 弧度制及任意角的三角函数【命题解读】了解终边相同的角的意义；了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化 理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，会利用单位圆中的三角函数线表示任意角的正弦、余弦、正切，熟记特殊角的三角函数值，并能准确判断三角函数值的符号【基础知识回顾】 1. 角的概念的推广(1)正角、负角和零角：一条射线绕顶点按逆时针方向旋转所形成的角叫作正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫作负角；如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫作零角(2)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，这样，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限
2、的角终边落在坐标轴上的角(轴线角)不属于任何象限(3)终边相同的角：与角的终边相同的角的集合为|k·360°，kZ2. 弧度制1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|_，l是以角作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径弧度与角度的换算：360°_2_rad；180°_rad；1°_rad；1 rad_度弧长公式：_l|r_扇形面积公式：S扇形_lr_|r2_3. 任意角的三角函数(1)定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin_y_，cos_x
3、_，tan(2)特殊角的三角函数值角0°30°45°60°90°180°270°弧度数_0_sin_0_1_0_1_cos_1_0_1_0_tan_0_1_0_（2）几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角的正弦线、余弦线和正切线1、 下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是 ()A2k45°(kZ) Bk·360°(kZ)Ck·360°315°(
4、kZ) Dk(kZ)【答案】：C【解析】：与角的终边相同的角可以写成2k(kZ)或k·360°45°(kZ)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确2 设集合M，N，那么()AMN BMN CNM DMN【答案】：B【解析】：由于M中，x·180°45°k·90°45°(2k1)·45°，2k1是奇数；而N中，x·180°45°k·45°45°(k1)·45°，k1是整数，因此必有MN，故选B.3
5、若是第四象限角，则是第()象限角A. 一B. 二C. 三D. 四【答案】：C【解析】：是第四象限角，2k<<2k，kZ，2k<<2k，kZ，2k<<2k，kZ，故是第三象限角4 若扇形的面积为、半径为1，则扇形的圆心角为()A. B. C. D.【答案】：B【解析】：设扇形的圆心角为，扇形的面积为、半径为1，·12，.5、 关于角度，下列说法正确的是( )A时钟经过两个小时，时针转过的角度是60°B钝角大于锐角C三角形的内角必是第一或第二象限角D若是第二象限角，则是第一或第三象限角【答案】：BD【解析】：对于A，时钟经过两个小时，时针转过
6、的角是60°，故错误；对于B，钝角一定大于锐角，显然正确；对于C，若三角形的内角为90°，则是终边在y轴正半轴上的角，故错误；对于D，角的终边在第二象限，2k2k，kZ，kk，kZ.当k2n，nZ时，2n2n，nZ，得是第一象限角；当k2n1，nZ时，(2n1)(2n1)，nZ，得是第三象限角，故正确考向一角的表示及象限角例1（1）集合中的角所表示的范围(阴影部分)是()（2）若角是第二象限角，则是()A第一象限角B第二象限角C第一或第三象限角 D第二或第四象限角【答案】（1）B（2）C.【解析】（1）当k2n(nZ)时，2n2n(nZ)，此时的终边和0的终边一样，当k2n
7、1(nZ)时，2n2n(nZ)，此时的终边和的终边一样（2）是第二象限角，2k<<2k，kZ，k<<k，kZ.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角故选C.变式1、设角是第三象限角，且sin，则角是第_象限角【答案】：四【解析】：由是第三象限角，知2k<<2k(kZ)，k<<k(kZ)，所以是第二或第四象限角，再由sin知sin<0，所以只能是第四象限角变式2、若是第三象限角，给出下列式子： sincos0； tansin0； tansin0； sin(cos )0其中成立的是_(填序号)【答案】：【解析】：是第三象限角，s
8、in0，cos0，tan0，则、显然成立，不成立又由是第三象限角知，1cos0，所以sin(cos)0，成立方法总结：本题考查象限角、终边相同的角、三角函数值所在象限的符号利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角三角函数值象限的符号牢记：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”考查运算求解能力，逻辑思维能力，考查转化与化归思想考向二 扇形的有关运算例2、已知一扇形的中心角是，所在圆的半径是R(1) 若60°，R10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2) 若扇形的周长是一定值C(C>0
9、)，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？【解析】：(1) 设弧长为l，弓形面积为S弓60°，R10， l(cm) S弓S扇S××10×102·sin60°50 cm2(2) 扇形周长C2Rl2RR， R， S扇·R2··，当且仅当，即2(2舍去)时，扇形面积有最大值变式1、扇形AOB的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB. 【解析】设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为，(1)由题意可得解得或或6.(2)2rl8，S
10、扇lrl·2r·2×24，当且仅当2rl，即2时，扇形面积取得最大值，r2 cm，弦长AB2×2sin14sin1(cm)变式2、已知扇形的圆心角是，半径是r，弧长为l.(1)若100°，r2，求扇形的面积；(2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数【解析】(1)因为100°100×，所以S扇形lrr2××4.(2)由题意知，l2r20，即l202r，故S扇形l·r(202r)·r(r5)225，当r5时，S的最大值为25，此时l10，则2方法总结：有关弧
11、长及扇形面积问题的注意点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形考向三 三角函数的定义及应用例3、已知角的终边上一点P(，m)(m0)， 且sin ，求cos ，tan 的值【解析】：由题设知x，ym，r2|OP|22m2(O为原点)，rsin ，因为m0r2，即3m28，解得m±当m时，r2，x，y，cos ， tan ；当m时，r2，x，y，cos ， tan 变式1、（1）已知角的终边经过点P(x，6)，且
12、cos，则_（2）已知角的终边与单位圆的交点为P，则sin·tan_ _【答案】（1）.（2）【解析】（1）角的终边经过点P(x，6)，且cos，cos，解得x或x(舍去)，P，sin，tan，则.（2）由OP2y21，得y2，y±.当y时，sin，tan，此时sin·tan.当y时，sin，tan，此时sin·tan.变式2、(1)函数yloga(x3)2(a>0且a1)的图象过定点P，且角的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P，则sin cos 的值为()A. BC. D.(2)已知角的终边经过点P(x，6)，且cos ，则_.【答案
13、】（1）D （2）【解析】(1)因为函数yloga(x3)2的图象过定点P(4,2)，且角的终边过点P，所以x4，y2，r2，所以sin ，cos ，所以sin cos .故选D.(2)因为角的终边经过点P(x，6)，且cos ，所以cos ，即x或x(舍)所以P，r，所以 sin .所以tan ，则.方法总结：1明确用定义法求三角函数值的两种情况：(1)已知角终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；(2)已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解2三角函数值只与角的大小有关，与点P在角的终边上的
14、位置无关，由于P是除原点外的任意一点，故r恒为正，本题要注意对变量的讨论考向四 三角函数值的符号及判定例4、已知sin0，tan0(1) 求角的集合；(2) 求终边所在的象限；(3) 试判断tansincos的符号【解析】：(1) 由sin 0，知的终边在第三、四象限或y轴的负半轴上；由tan 0，知在第一、三象限，故角在第三象限，其集合为|(2k1)2k，kZ(2) 由(2k1)2k，得kk，kZ，故终边在第二、四象限(3) 当在第二象限时，tan0，sin0，cos0，所以tansincos取正号；当在第四象限时，tan0，sin0，cos0，所以tansincos也取正号因此，tansi
15、ncos取正号变式1、(2020·江西九江一模)若sin x<0，且sin(cos x)>0，则角x是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角【答案】D【解析】1cos x1，且sin(cos x)>0，0<cos x1，又sin x<0，角x为第四象限角，故选D.变式2、(多选)在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边经过点P(1，m)(m>0)，则下列各式的值一定为负的是()Asin cos Bsin cos Csin cos D.【答案】CD【解析】由已知得r|OP|，则sin >0，cos <0，tan m
16、<0，sin cos 的符号不确定，sin cos >0，sin cos <0，cos <0.故选C、D.方法总结：(1)区域角也称为范围角，表示的是一定范围内角的全体，它是高考的考点之一表示区域角时要注意考虑问题的范围以及边界的虚实线情况(2)准确掌握三角函数在各象限的符号1、在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，角的终边经过点M，且0<<2，则()A. B. C. D.【答案】D【解析】(1)因为角的终边经过点M，且0<<2，所以根据三角函数的定义，可知cos cos coscos ，则.故选D.2、已知角的终边过点P(8
17、m，6sin 30°)，且cos ，则m的值为()A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得点P(8m，3)，r，所以cos ，所以m>0，解得m.3、（2014新课标I，文2）若，则A. B C D 【答案】A【解析】由知，在第一、第三象限，即（），即在第一、第二象限，故只有，故选A4、（2011全国课标理5文7）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=（A） (B) (C) (D) 【答案】B【解析】在直线取一点P（1，2），则=，则=，=，故选B5、（2018新课标，文11）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，且，则ABCD1【答案】B【解析】角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，且，解得，故选6、若两个圆心角相同的扇形的面积之比为14，则这两个扇形的周长之比为_【答案】12【解析】设两个扇形的圆心角的弧度数为，半径分别为r，R(其中rR)，则，所以rR12，两个扇形的周长之比为12.7、（2018浙江）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点(1)求的值；(2)若角满足，求的值【解析】(1)由角的终边过点得，所以(2)由角的终边过点得，由得由得，所以或