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1、1 / 10【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习精选高考数学一轮复习 专题专题 4-14-1 任意角和弧度制及任任意角和弧度制及任意角的三角函数（讲）意角的三角函数（讲）【考纲解读考纲解读】考 点考纲内容5 年统计分析预测1.任意角的概念、弧度制了解角、角度制与弧度制的概念，掌握弧度与角度的换算.无2.三角函数的定义理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义.2018 年浙江卷 181.1.三角函数的定义； 2.2.扇形的面积、弧长及圆心角；3.在大题中考查三角函数的定义，主要考查：一是直接利用任意角三角函数的定义求其三角函数值；二是根据任意角三角函数的定义确定终边上一点的坐标4.
2、4.备考重点：备考重点：(1) 理解三角函数的定义；(2) 掌握扇形的弧长及面积计算公式.【知识清单知识清单】1 1象限角及终边相同的角象限角及终边相同的角1任意角、角的分类：按旋转方向不同分为正角、负角、零角按终边位置不同分为象限角和轴线角(2)终边相同的角：终边与角 相同的角可写成 k360(kZ)2.弧度制：1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|，l 是以角 作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径2 / 10用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制比值与所取的 r 的大小无关，仅与角的大小有关3.弧
3、度与角度的换算：3602 弧度；180 弧度2 2三角函数的定义三角函数的定义1.任意角的三角函数定义： 设 是一个任意角，角 的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么角 的正弦、余弦、正切分别是：sin y，cos x，tan ，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数2三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦3.三角函数线设角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点 P，过 P 作 PM 垂直于 x 轴于 M.由三角函数的定义知，点 P 的坐标为(cos_，sin_)，即 P(cos_，sin_)，其中 cos O
4、M，sin MP，单位圆与 x 轴的正半轴交于点 A，单位圆在 A 点的切线与 的终边或其反向延长线相交于点 T，则 tan AT.我们把有向线段 OM、MP、AT 叫做 的余弦线、正弦线、正切线.三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线3.3. 扇形的弧长及面积公式扇形的弧长及面积公式弧长公式：l|r，扇形面积公式：S 扇形lr|r2.【重点难点突破重点难点突破】考点 1 象限角及终边相同的角3 / 10【1-1】已知角 45，(1)在7200范围内找出所有与角 终边相同的角 ；(2)设集合，判断两集合的关系M=18045 ,N=18045 ,24kkx xkx
5、 xkZZ【答案】 （1）675或 315.(2).MN【1-2】终边在直线 yx 上的角的集合为_【答案】|k，kZ【解析】终边在直线 yx 上的角的集合为|k，kZ【1-3】若角是第二象限角，试确定，的终边所在位置22【答案】角的终边在第三象限或第四象限或轴的负半轴上,的终边在第一象限或第三象限.2y2【解析】角是第二象限角， ，22,2kkkZ（1） ，4242 ,kkkZ 角的终边在第三象限或第四象限或轴的负半轴上2y（2） ，当时， ,422kkkZ2 ,kn nZ ，22 ,422nnnZ的终边在第一象限2当时，21 ,knnZ，5322 ,422nnnZ的终边在第三象限2综上所述
6、，的终边在第一象限或第三象限2【领悟技法】4 / 101.对与角 终边相同的角的一般形式 k360(kZ)的理解;(1)kZ;(2) 任意角;(3)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.2.利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数 k 赋值来求得所需角3.已知角 的终边位置，确定形如 k， 等形式的角终边的方法：先表示角 的范围，再写出 k、 等形式的角范围，然后就 k 的可能取值讨论所求角的终边位置【触类旁通】【变式一】 【浙江省杭州第二中学三角函数】若是第三象限的角, 则是 （ ）2A. 第一或第二象限的角
7、B. 第一或第三象限的角 C. 第二或第三象限的角 D.第二或第四象限的角【答案】B【变式二】 【浙江省东阳中学 3 月月考】已知且，则角的终边所在的象限是A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B【解析】依据题设及三角函数的定义可知角终边上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，所以终边在第二象限，应选答案 B.考点 2 三角函数的定义【2-1】 【浙江省台州中学期中】已知角的终边过点,且，则的值为( )5 / 10A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：利用角的终边过点，结合，判断所在象限，利用三角函数的定义，求出的值即可.详解：由题意可知， ，是第三象限角
8、，可得，即，解得，故选 B. 【2-2】 【浙江省市第一中学期中】已知角的终边与单位圆交于点，则的值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：根据三角函数的定义求解即可详解：由三角函数的定义可得故选 B【2-3】 【福建省市期末】如图，在直角坐标系中，射线交单位圆于点，若，则点的坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：直接由三角函数的定义得到结果即可.详解：根据三角函数的定义得到点的坐标为：.故答案为：A.6 / 10【2-4】已知角 的终边上一点 P 的坐标为，则角 的最小正值为( )A. B. C. D.5 611 6【答案】D【解析】由题意知点 P 在第
9、四象限，根据三角函数的定义得 cos sin ，故 2k(kZ)，所以 的最小正值为.【领悟技法】1.已知角 终边上一点 P 的坐标，则可先求出点 P 到原点的距离 r，然后利用三角函数的定义求解2.已知角 的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角 的三角函数值【触类旁通】【变式一】已知角 的终边经过点(3a9，a2)，且 cos 0，sin 0，则实数 a 的取值范围是( )A(2,3 B(2,3)C2,3) D2,3【答案】A【解析】 cos 0，sin 0，角 的终边落在第二象限或
10、y 轴的正半轴上2a3.故选 A.【变式二】已知角的终边在射线上，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A7 / 10点睛：（1）本题主要考查直线的斜率和同角的三角函数关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)在中，存在着“知一求二”的解题规律，即只要知道了其中一个，就可以求出另外两个.考点考点 3 3 扇形的弧长及面积公式扇形的弧长及面积公式【3-1】 【浙江省诸暨中学 2017-2018 学年第二阶段】已知扇形的周长是，面积是，则扇形的中心角的弧度数是（ ）128A. B. C. 或 D. 或1414 2 4【答案】C【解析】设扇形的半径为，弧长为 ，则 rl121282lrSl
11、r，解得 或 28rl，44rl，41l r 或，故选 C【3-2】 【2018 届黑龙江省齐齐哈尔八中 8 月月考】若扇形的圆心角，弦长，则弧长_ 12012ABcml cm【答案】8 3 3【解析】画出图形，如图所示.设扇形的半径为 rcm，由 sin60=，得 r=4cm，6 r3l=4= cm.nr 1802 338 3 3【领悟技法】(1)弧度制下 l|r，Slr，此时 为弧度在角度制下，弧长 l，扇形面积 S，此时 n 为角度，它们之间有着必然的联系(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形【触类旁通】8 / 10【变式一】 【浙江省杭州第二中学三角函数 单
12、元测试题】若扇形的面积为,半径为 1，则扇形的圆心角为 （ ）3 8A. B. C. D. 3 23 43 83 16【答案】B【解析】设扇形的圆心角为 ，则扇形的面积为，半径为 1， 3 82313 824l故选 B【变式二】 【浙江省 9+1 高中联盟期中联考】如图，以正方形中的点 A 为圆心，边长 ABABCD为半径作扇形 EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则的弧度数大小为_.EAD【答案】 ；22【解析】设正方形的边长为，由已知可得 .a222112422aaa【易错试题常警惕易错试题常警惕】易错典例：已知角的终边过点,求角的的正弦值、余弦值.( ,2 )mm0m 易错分析：学生在
13、做题时容易遗忘的情况0m 正确解析：当时， ；0m 2 555 ,sin,cos55rm 当时，0m 2 555 ,sin,cos55rm 温馨提醒：本题主要考察了三角函数的定义以及分类讨论思想方法，这也是高考考查的一个重点.9 / 10【学科素养提升之思想方法篇学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合百般好，隔裂分家万事休。“数“与“形“反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数“或“以数解形“即通过
14、抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.【典例】 【2018 年 5 月 3 日 三角函数线每日一题 】作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：（1） ；（2）【答案】(1)见解析.(2)见解析.【解析】 （1）（，） ，作出角的终边如图所示，交单位圆于点 P，作 PMx 轴于 M，则有向线段 MP=sin，有向线段 OM=cos，设过 A（1，0）垂直于 x 轴的直线交 OP 的反向延长线于 T，则有向线段 AT=tan，综上所述，图（1）中的有向线段 MP、OM、AT 分别为角的正弦线、余弦线、正10 / 10切线；（2）（，） ，在第三象限内作出角的终边如图所示，交单位圆于点 P，用类似（1）的方法作图，可得图（2）中的有向线段 MP、OM、AT分别为角的正弦线、余弦线、正切线