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1、考点28 三角恒等变换（2）【命题解读】运用两角和与差以及二倍角进行化简求值；能熟练解决变角问题；能熟练的运用公式进行求角【基础知识回顾】 知识梳理1. 在三角函数式的化简、求值、证明等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数化成同名的三角函数，如遇到正切、正弦、余弦并存的情况，一般要切化弦2. 要注意对“1”的代换：如1sin2cos2tan，还有1cos2cos2，1cos2sin2.3. 对于sincos与sin±cos同时存在的试题，可通过换元完成：如设tsin±cos，则sincos±.4. 要注意角的变换，熟悉角的拆拼技巧，理解倍角与半角是相对的，如2
2、()()，()()，是的半角，是的倍角等5. 用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式：(1)yasinxbcosxsin(x)，其中cos，sin.则y.(2)yasin2xbsinxcosxccos2x可先降次，整理转化为上一种形式(3)y(或y)可转化为只有分母含sinx或cosx的函数式sinxf(y)的形式，由正、余弦函数的有界性求解6. 用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式：(1)yasin2xbcosxc可转化为关于cosx的二次函数式(2)yasinx(a，b，c0)，令sinxt，则转化为求yat(1t1)的最值，一般可用基本不等式或单调性求解1、若sin 2，sin()
3、，且，则的值是()A.B.C.或 D.或【答案】A【解析】，2，sin 2，2.且cos 2.又sin()，cos()，cos()cos()2cos()cos 2sin()sin 2××，又，.2、已知，若sin，cos，则sin()的值为_A B. C. D【答案】：A【解析】：由题意可得，所以cos，sin()，所以sin()sin()()3、已知sin ，sin()，均为锐角，则_.【答案】【解析】因为，均为锐角，所以<<.又sin()，所以cos().又sin ，所以cos ，所以sin sin()sin cos()cos sin()×
4、5;.所以.4、(一题两空)如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角与钝角的终边与单位圆分别交于A，B两点，x轴正半轴与单位圆交于点M，已知SOAM，点B的纵坐标是.则cos()_，2_.【答案】【解析】由题意，OAOM1，因为SOAM和为锐角，所以sin ，cos .又点B的纵坐标是，所以sin ，cos ，所以cos()cos cos sin sin ××.因为cos 22cos212×21，sin 22sin cos 2××，所以2.因为，所以2.因为sin(2)sin 2cos cos 2sin ，所以2.5、【江苏省南
5、通市海安高级中学2019-2020学年3月线上考试】若，则_【答案】【解析】，化为：，解得，故答案为考向一变角的运用例1、（2020江苏苏州五校12月月考）已知，则的值为_【答案】【解析】，又， =变式1、【江苏省南通市如皋市2019-2020学年高三下学期期初考】已知为锐角，且，则_【答案】【解析】因为为锐角，则，所以， .故答案为： .变式2、(2019通州、海门、启东期末）设，已知向量a(sin，)，b，且ab.(1) 求tan的值；(2) 求cos的值【解析】 (1) 因为a(sina，)，b，且ab.所以sinacos，所以sin.2分因为，所以，(4分)所以cos，故sin所以ta
6、n.(6分)(2) 由(1)得cos2cos212×1.(8分)因为，所以2，所以sin.(10分)所以coscoscossinsin(12分).(14分)方法总结：所谓边角就是用已知角表示所求的角，要重点把握住它们之间的关系，然后运用有关公式进行求解。考向二 求角例2、(2019苏州期初调查）已知cos，.(1) 求sin的值；(2) 若cos()，求的值【解析】 (1) 由cos，得sin.(2分)所以sinsincoscossin(4分)××.(6分)(2) 因为，所以(0，)又cos()，则sin().(8分)所以sinsin()sin()coscos()
7、sin(10分)××.(12分)因为，所以.(14分)变式1、如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，求：(1) tan()的值；(2) 2的大小【解析】： 由条件得cos，cos ，为锐角， sin，sin因此tan7，tan(1) tan()3(2) tan2， tan(2)1 ，为锐角， 0<2<， 2变式2、（2020江苏扬州高邮上学期开学考）在平面直角坐标系中，锐角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边上有一点(1)求的值；(2)若，且，求角的值【解析】(1)角的终
8、边上有一点P，(2)由，得，则，因，则方法总结：求角的步棸：1、求角的某一个三角函数值，（结合具体情况确定是正弦、余弦还是正切）2、确定角的范围（范围尽量缩小）3、根据范围和值确定角的大小。考向三 公式的综合运用 例3、【江苏省南通市西亭高级中学2019-2020学年高三下学期学情调研】已知函数，（1）求的最小正周期和单调递减区间。（2）若方程在区间上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围。【解析】（1） 由，解得：的单调递减区间为： （2）即在区间上的图象与直线有两个不同的交点由（1）知：在上单调减，在上单调增， 当时，在区间上的图象与直线有两个不同的交点，即方程在区间上两个不同的实数解的取
9、值范围为 变式1、（2020江苏淮安楚州中学月考）已知函数(1)求函数的最小值，并写出取得最小值时自变量x的取值集合；(2)若，求函数的单调增区间【解析】(1) 当，即时，取得最小值0此时，取得最小值时自变量x的取值集合为(2)因为，令， 解得，又，令，令，所以函数在的单调增区间是和变式2、（2020江苏如东高级中学月考）已知函数若，求函数的值域【解析】，由得，即函数的值域为方法总结：降幂公式是解决含有cos2x、sin2x式子的问题较常用的变形之一，它体现了逆用二倍角公式的解题技巧1、（2016新课标，理9）若，则ABCD【答案】D【解析】法，法，故选2、（2011浙江）若，则A B C D
10、【答案】C【解析】，而，因此，则3、（2015江苏）已知，则的值为_【答案】3【解析】4、（2012江苏）设为锐角，若，则的值为 【答案】【解析】 因为为锐角，cos(=，sin(=，sin2(cos2(，所以sin(5、（2013广东）已知函数(1) 求的值；(2) 若，求【解析】（1）（2）<<2，所以，因此6、（2019年高考浙江卷）设函数.（1）已知函数是偶函数，求的值；（2）求函数的值域【解析】（1）因为是偶函数，所以，对任意实数x都有，即，故，所以又，因此或（2）因此，函数的值域是7、（2017年高考浙江卷）已知函数（1）求的值（2）求的最小正周期及单调递增区间【解析】（1）由，得（2）由与得所以的最小正周期是由正弦函数的性质得，解得，所以，的单调递增区间是8、（2018年高考浙江卷）已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）（1）求sin（+）的值；（2）若角满足sin（+）=，求cos的值【解析】（1）由角的终边过点得，所以.（2）由角的终边过点得，由得.由得，所以或.9、【江苏省南通市如皋市2019-2020学年高三下学期期初考】已知（1）求函数的最小正周期；（2）求函数，的值域【答案】（1）最小正周期为（2）【解析】（1），所以函数的最小正周期为，（2），因为，所以，所以，所以函数的值域为.