《2022届高三数学一轮复习（原卷版）4．5 三角恒等变换.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022届高三数学一轮复习（原卷版）4．5 三角恒等变换.doc（9页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、45 三角恒等变换三角恒等变换 1两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin( )_. (2)cos( )_. (3)tan( )_. 2二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2_ (2)cos2 _ _ _ (3)tan2_. 3半角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin21cos2. (2)cos21cos2. (3)tan21cos1cossin1cos1cossin. 4几个常用的变形公式 (1)升幂公式：1 sin_； 1cos_；1cos_ (2)降幂公式：sin2_；cos2_ (3)tantan_； tantantantantan（）11tantantan（）. (4)辅
2、助角公式：asinbcosa2b2sin()，其中 cos_，sin_，或 tan_， 角所在象限与点(a，b)所在象限_， 角的终边经过点(a，b) 自查自纠： 1(1)sincoscossin (2)coscossinsin (3)tantan1tantan 2(1)2sincos (2)cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 (3)2tan1tan2 4(1)sin2cos22 2cos22 2sin22 (2)1cos22 1cos22 (3)tan( )(1tantan) (4)aa2b2 ba2b2 ba 相同 sin20cos10cos160sin10( ) A32
3、B.32 C12 D.12 解：原式sin20cos10cos20sin10sin3012.故选 D. (2018全国卷)若 sin13，则 cos2 ( ) A.89 B.79 C79 D89 解：cos212sin212979.故选 B. (2017全国卷)函数 f(x)15sinx3cosx6 的最大值为 ( ) A.65 B1 C.35 D.15 解：f(x)15sinx3cosx6 15sinx12cosx32cosx32sinx12 35sinx3 35cosx352sinx3 65sinx3，最大值为65.故选 A. (2017江苏)若 tan416，则 tan_. 解：tant
4、an44tan4tan41tan4tan416111675.故填75. ( 东莞2018考前冲刺 ) 化 简 cos2x4sin2x4_. 解：cos2x4sin2x41cos2x221cos2x2212(1sin2x1sin2x)1sin2x.故填 1sin2x. 类型一类型一 非特殊角求值问题非特殊角求值问题 (1)( 2017山东 ) 已 知 cosx 34， 则 cos2x ( ) A14 B.14 C18 D.18 解： 由 cosx34得 cos2x2cos2x12342118.故选 D. (2)(教材复习参考题)sin50(1 3tan10)_. 解：sin50(1 3tan10
5、) sin501 3sin10cos10 sin50cos10 3sin10cos10 sin50212cos1032sin10cos10 2sin50cos50cos10sin100cos10cos10cos101.故填 1. (3)( 福建漳州2017届八校联考 ) 已 知tan 2(0，)，则 cos522 ( ) A.35 B.45 C35 D45 解： 由 tan2 得 sin2cos， sin2cos21，得 4cos2cos21，cos215，cos522 cos22 sin22sincos4cos245.故选 D. 点 拨： 解决非特殊角求值问题的基本思路有：化非特殊角为特殊角
6、；化为正负相消的项，消去后求值；化分子、分母使之出现公约数，进行约分求值；当有 ，2，3，4 同时出现在一个式子中时，一般将 向 2，3(或 4)向 2 转化，再求关于2 式子的值 (1)( 2016四川 )cos28 sin28_. 解： 根据二倍角公式有cos28sin28cos422.故填22. (2)3tan12 3sin12（4cos2122）_. 解：3tan123sin12（4cos2122）3（sin12 3cos12）2cos24sin12cos122 3sin（1260）12sin484 3.故填4 3. (3)tan70tan50 3tan70tan50的值等于 ( )
7、A. 3 B.33 C33 D 3 解：因为 tan120tan70tan501tan70tan50 3， 所以 tan70tan50 3tan70tan50 3.故选 D. 类型二类型二 给值求值问题给值求值问题 (1)已知 tan2， tan()17， 则 tan的值为_ 解：tantan()tan（）tan1tan（）tan1721273.故填 3. (2)(2018全国卷)已知 sincos1，cossin0，则 sin()_ 解：因为 sincos1 ， cossin0 ， 所以22得 22(sincoscossin)1， 即 22sin()1，所以 sin()12.故填12. (3
8、)(2018全国卷)已知 tan5415，则tan_. 解：tan54tantan541tantan54tan11tan15，解得 tan32.故填32. 点 拨： 应用三角恒等变换公式求值的三个变换：变角，目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”；变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等；变式，根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”“逆用变换公式” “通分约分” “分解与组合” “配方与平方”等 (1)(2018 济南调研)已知 sin6cos13，则 cos23 ( ) A51
9、8 B.518 C79 D.79 解：由 sin6cos13， 得32sin12coscossin613， 得 cos2312sin2612979.故选D. (2)已知 tan23，则 cos ( ) A.45 B45 C.415 D35 解： coscos22sin22cos22sin22cos22sin221tan221tan22191945.故选 B. (3)已知 cos13，cos()13，且 ，0，2，则 cos()的值等于 ( ) A12 B.12 C13 D.2327 解：因为 0，2，2(0，)，cos13，所以 cos22cos2179，sin21cos224 29.而 ，0
10、，2，所以 (0，)，所以 sin() 1cos2（）2 23.所以 cos()cos2()cos2cos()sin2sin()79134 292 232327.故选 D. 类型三类型三 给值求角问题给值求角问题 (福州外校2017届高三适应性考试)已知A，B 均为钝角，sin2A2cosA35 1510，且 sinB1010，则 AB ( ) A.34 B.54 C.74 D.76 解：由题意知12(1cosA)12cosA32sinA121510，得 sinA55，sinB1010. A，B 均为钝角，AB0， 那么，32AB2，所以 AB74.故选 C. 点 拨： 给值求角问题，可转化为
11、“给值求值”问题，解得所求角的某一三角函数值，结合所求角的范围及函数的单调性可求得角 (2016苏北四市调研)已知 2， 0，tan13，tan17，则 2 等于_ 解：tan22tan1tan2213113234， tan(2)tan2tan1tan2tan3417134171. 因为2，1tan130， 所以34，3222. 又0，tan170，所以20. 由知，20，cos0， 因为 2cos2sin4， 所以 2(cos2sin2)22(sincos) 所以 cossin24， 式平方得12sincos18， 则2sincos78， 则(cossin)212sincos178158，
12、所以 cossin304， 联立，解得 cos30 28， 所以 cos22cos21158. 故选 D. 7(2017全国卷)函数 f(x)2cosxsinx 的最大值为_ 解 ： f(x) 2cosx sinx 2212sin(x ) 2212 5，其中 tan2.故填 5. 8(2017全国卷)已知 0，2，tan2，则 cos4_. 解：因为 0，2，且 tansincos2，所以sin2cos，又 sin2cos21，所以 sin2 55，cos55，则 cos4coscos4sinsin4 22(sincos)3 1010.故填3 1010. 9已知函数 f(x)sin2xsin2
13、x6，xR. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在区间3，4上的最大值和最小值 解 ： (1) 由 已 知 ， 有f(x) 1cos2x21cos2x321232sin2x12cos2x 12sin2x6， f(x)的最小正周期 T22. (2)因为 f(x)在区间3，6上是减函数， 在区间6，4上是增函数，f314，f612，f434，所以 f(x)在区间3，4上的最大值为34，最小值为12. 10(2018合肥质检)已知 cos6 cos314，3，2，求： (1)sin2； (2)tan1tan. 解：(1)cos6 cos3 cos6 sin6 12sin2314，
14、即 sin2312. 又因为 3，2，故 23，43， 从而 cos2332， 所以 sin2sin23cos3cos23sin312. (2)因为 3，2，所以 223， ，则由(1)知 cos232，所以 tan1tansincoscossinsin2cos2sincos2cos2sin2232122 3. 另解：由(1)知 2376，所以 512，所以 tan1tantan21tan2tan22 3. 11( 2018南昌调研 ) 已 知 函 数f(x) cosxsinx3 3sinx234. (1)若 f2512310，02，求 tan 的值； (2)求 f(x)的最小正周期及函数 g
15、(x)fx2的单调递增区间 解：f(x)cosxsinx3 3sinx234 cosx12sinx32cosx 3cosx 34 cosx12sinx32cosx 34 12sinxcosx32cos2x34 14sin2x34cos2x3434 14sin2x34cos2x 12sin2x3. (1)由于 f2512310，所以12sin563310， 即12cos310，所以 cos35. 又 0，2，所以 sin 1cos245， 从而 tansincos43. (2)f(x)的最小正周期 T22. 又 g(x)fx212sinx312sinx3，g(x)的单调递增区间即 ysinx3的
16、单调递减区间， 由 2k2x32k32， 得 2k6x2k76，kZ， 故 g(x)的单调递增区间是2k6，2k76(kZ) ( 2018广西南宁质检 ) 已 知f(x) 11tanxsin2x2sinx4sinx4. (1)若 tan2，求 f()的值； (2)若 x12，2，求 f(x)的取值范围 解：(1)f(x)(sin2xsinxcosx)2sinx4 cosx41cos2x212sin2x sin2x2 1212(sin2xcos2x)cos2x 12(sin2xcos2x)12. 由 tan2， 得 sin22sincossin2cos22tantan2145， cos2cos2sin2sin2cos21tan21tan235， 所以 f()12(sin2cos2)1235. (2)由(1)得 f(x)12(sin2xcos2x)12 22sin2x412. 由 x12，2，得5122x454. 所以22sin2x41，0f(x)212， 所以 f(x)的取值范围是0，212.