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1、考点17 函数与方程【命题解读】函数零点以及求参数范围等问题时高考重点考查的内容，不仅在大题中体现，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上。【基础知识回顾】 1、函数的零点(1)函数零点的定义：对于函数yf(x)，把使方程f(x)0的实数x称为函数yf(x)的零点(2)方程的根与函数零点的关系：函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根，也就是函数yf(x)的图像与x轴交点的横坐标所以函数yf(x)有零点等价于函数yf(x)的图像与x轴有交点，也等价于方程f(x)0有实根(3)零点存在性定理：如果函数yf(x)在区间(a，b)上的图像是一条连续的曲线，且有f(a)·f(b)&
2、lt;0，那么函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，此时c就是方程f(x)0的根但反之，不成立2、 二分法对于在区间上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法求方程f(x)0的近似解就是求函数f(x)零点的近似值3、 二次函数yax2bxc(a>0)的图像与零点的关系>00<0二次函数yax2bxc(a>0)的图像交点(x1，0),_(x2，0)(x1，0)无交点零点个数2104、有关函数零点的
3、结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号1、若函数f(x)axb有一个零点是2，那么函数g(x)bx2ax的零点为（ ）A. 0或 B. 0 C. D. 0或【答案】A 【解析】由已知得b2a，所以g(x)2ax2axa(2x2x)令g(x)0，得x10，x22、函数f(x)2xx32在区间(0，2)内的零点个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D.4【答案】A【解析】因为函数y2x，yx3在R上均为增函数，故函数f(x)2xx
4、32在R上为增函数，又f(0)0，f(2)0，故函数f(x)2xx32在区间(0，2)内只有一个零点3、若函数f(x)3ax12a在区间(1，1)内存在一个零点，则a的取值范围是（ ）A. B. C. (，1) D. (，1)【答案】D【解析】当a0时，f(x)1与x轴无交点，不合题意，所以a0；函数f(x)3ax12a在区间(1，1)内是单调函数，所以f(1)·f(1)0，即(5a1)(a1)0，解得a1或a4、函数f(x)的零点个数是_【答案】3 【解析】当x0时，令g(x)ln x，h(x)x22x画出g(x)与h(x)的图象如图：故当x0时，f(x)有2个零点当x0时，由4x
5、10，得x，综上函数f(x)的零点个数为3 5、已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x23x则函数g(x)f(x)x3的零点的集合为_【答案】2，1，3【解析】当x0时，f(x)x23x，令g(x)x23xx30，得x13，x21当x<0时，x>0，f(x)(x)23(x)，f(x)x23x，f(x)x23x令g(x)x23xx30，得x32，x42>0(舍)，函数g(x)f(x)x3的零点的集合是2，1，37、(一题两空)已知函数f(x)若f(x0)1，则x0_；若关于x的方程f(x)k有两个不同零点，则实数k的取值范围是_【答案】1(0，1)【解析】解方程
6、f(x0)1，得或解得x01.关于x的方程f(x)k有两个不同零点等价于yf(x)的图象与直线yk有两个不同交点，观察图象可知：当0k1时yf(x)的图象与直线yk有两个不同交点即k(0，1)考向一判断零点所在的区间例1、（2019·山东师范大学附中高三月考）函数的零点所在区间为（ ）ABCD【答案】C【解析】，由.故选：C变式1、（1）若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a，b)和(b，c)内 B(，a)和(a，b)内C(b，c)和(c，)内 D(，a)和(c，)（2）已知函数f(x)lnx的零点为x0，则x0所在的
7、区间是( )A. (0，1) B. (1，2) C. (2，3) D. (3，4)（3）若x0是方程x的解，则x0属于区间( )A. B.C. D.【答案】（1） A（2）C. （3） C【解析】（1）abc，f(a)(ab)(ac)0，f(b)(bc)(ba)0，f(c)(ca)(cb)0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A.(2)f(x)lnx在(0，)为增函数，又f(1)ln1ln12<0，f(2)ln2<0，f(3)ln3>
8、0，x0(2，3)（3）令g(x)，f(x)x，则g(0)1f(0)0，gf，gf，结合图象可得x0.方法总结：确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点.(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.2.函数的零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，不满足条件时，一定要综合函数性质进行分析判断.考向二 判断零点的个数 例2、（1）函数f(x)的零点个数为（ ）A. 1 B.
9、 2 C. 3 D.4（2）若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x0,1时，f(x)x，则函数yf(x)log3|x|的零点个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D.4（3）(2015·江苏卷)已知函数f(x)|ln x|，g(x)则方程|f(x)g(x)|1实根的个数为_【解析】（1）A 因为yx在x0，)上单调递增，y在xR上单调递减，所以f(x)x在x0，)上单调递增，又f(0)10，f(1)0，所以f(x)x在定义域内有唯一零点（2）D 由题意知，f(x)是周期为2的偶函数在同一坐标系内作出函数yf(x)及ylog3|x|的图象，如下：观察图象可以发
10、现它们有4个交点，即函数yf(x)log3|x|有4个零点（3）令h(x)f(x)g(x)，则h(x)当1x2时，h(x)2x0，故当1x2时h(x)单调递减，在同一坐标系中画出y|h(x)|和y1的图象如图所示由图象可知|f(x)g(x)|1的实根个数为4变式1、(2019苏州三市、苏北四市二调）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间2，4)上则函数的零点的个数为 【答案】： 5【解析】：因为f(x4)f(x)，可得f(x)是周期为4的奇函数，先画出函数f(x)在区间2，4)上的图像，根据奇函数和周期为4，可以画出f(x)在R上的图像，由yf(x)log5| x|0，得f
11、(x)log5| x|，分别画出yf(x)和ylog5|x|的图像，如下图，由f(5)f(1)1，而log551，f(3)f(1)1，log5|3|<1，而f(7)f(1)1，而log5|7|log57>1，可以得到两个图像有5个交点，所以零点的个数为5.变式2、（1）(2019·十堰调研)已知函数f(x)则f(x)的零点个数为()A0B1C2 D3（2）(2020·惠州质检)函数f(x)|x2|ln x在定义域内的零点的个数为()A.0 B.1 C.2 D.3【答案】（1）C（2）C【解析】（1）当x>1时，令f(x)ln(x1)0，得x2；当x1时，令
12、f(x)2x110，得x1.故选C.（2）由题意可知f(x)的定义域为(0，)，在同一直角坐标系中画出函数y|x2|(x>0)，yln x(x>0)的图象，如图所示.由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.方法总结：函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点，令f(x)0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.考向三 与零点有关的参数的范围例3、（1）已知函数f(x)若函数f(x)的图
13、象与x轴有且只有两个不同的交点，则实数m的取值范围是_（2）（2014·江苏卷）已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x0，3)时，f(x)若函数yf(x)a在区间3，4上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是_【答案】（1）(5，0)（2）【解析】（1）当x(0，1)时，f(x)6x26x>0，则f(x)2x33x2m在0，1单调递增，又函数f(x)的图象与x轴有且仅有两个不同的交点，所以在区间0，1和(1，)上分别有一个交点，则f(1)m<0，且f(1)m5>0，解得5<m<0（2）作出函数yf(x)与ya的图象，根据图象交点个数得出a
14、的取值范围作出函数yf(x)在3，4上的图象，f(3)f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)，观察图象可得0<a<变式1、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）设函数f(x)(其中e为自然对数的底数)有3个不同的零点，则实数m的取值范围是_【答案】 (1，)【解析】解法1(直接法) 当x>0时，令f(x)ex0，解得xln2>0，此时函数f(x)有1个零点，因为要求函数f(x)在R上有3个不同的零点，则当x0时，f(x)x33mx2有2个不同的零点，因为f(x)3x23m，令f(x)0，则x2m0，若m0，则函数f(x)为增函数，不合题
15、意，故m>0，所以函数f(x)在(，)上为增函数，在(，0上为减函数，即f(x)maxf()m3m22m2，f(0)2<0，要使f(x)x33mx2在(，0上有2个不同的零点，则f(x)max2m2>0，即m>1，故实数m的取值范围是(1，)解法2(分离参数) 当x>0时，令f(x)ex0，解得xln2>0，此时函数f(x)有1个零点，因为要求函数f(x)在R上有3个不同的零点，则当x0时，f(x)x33mx2有2个不同的零点，即x33mx20，显然x0不是它的根，所以3mx2，令yx2(x<0)，则y2x，当x(，1)时，y<0，此时函数单调递
16、减；当x(1，0)时，y>0，此时函数单调递增，故ymin3，因此，要使f(x)x33mx2在(，0)上有两个不同的零点，则需3m>3，即m>1.变式2、若函数f(x)(m2)x2mx(2m1)的两个零点分别在区间(1，0)和区间(1，2)内，则m的取值范围是_【答案】【解析】依题意，结合函数f(x)的图象分析可知m需满足即解得<m<.方法总结：函数零点求参数范围，其思路是把一个函数拆分为两个基本初等函数，将函数的零点问题转化为两函数图象问题，体现转化与化归思想及数形结合思想，从而体现核心素养中的直观想象考向四 零点的综合运用例4、已知函数f(x)若关于x的方程f
17、2(x)af(x)0恰有5个不同的实数解，则a的取值范围是（ ）A. (0,+ ) B. (0,1) C. (,0) D. (0,2)【答案】B【解析】 设tf(x)，则方程为t2at0，解得t0或ta，即f(x)0或f(x)a如图，作出函数f(x)的图象，由函数图象，可知f(x)0的解有两个，故要使方程f2(x)af(x)0恰有5个不同的解，则方程f(x)a的解必有三个，此时0<a<1所以a的取值范围是(0,1)变式1、设函数f(x)ax2(aR)(1)当a2时，求函数yf(x)的零点；(2)当a>0时，求证：函数yf(x)在区间(0，)内有且只有一个零点；(3)若函数yf
18、(x)有4个不同的零点，求实数a的取值范围【解析】(1)当a2时，f(x)2x2，由f(x)0，得2x20.当x0时，得2x20，即x(2x24x1)0，解得x0，或x(x<0舍去)；当x<0时，得2x20，即x(2x24x1)0(x2)，解得x，或x.综上所述，函数yf(x)的零点为0，.(2)证明：当a>0，且x(0，)时，由f(x)0，得ax20，即ax0，即ax22ax10.记g(x)ax22ax1，则函数yg(x)的图像是开口向上的抛物线，对称轴为x1，又g(0)1<0，函数yg(x)在区间(0，)内有且只有一个零点，即函数yf(x)在区间(0，)内有且只有一
19、个零点(3)易知x0是函数f(x)的一个零点当x>0时，由f(x)0得，ax20，即ax0，即ax22ax10，记g(x)ax22ax1，由a>0知函数g(x)的图像是开口向上的抛物线，又g(0)1<0，函数f(x)在(0，)内有且只有一个零点于是，问题等价于f(x)ax2(a>0)在(，0)上有且只有两个不同的零点当x<0时，由f(x)0得，ax20，即ax0，即ax22ax10(x2)，由a>0，得x22x0(x2)，即x22x(x2)作出函数h(x)x22x(x<0)图像，由图像易得：正数a必须满足1<<0，从而有a>1.变式2
20、：(2018镇江期末）已知k为常数，函数f(x)若关于x的方程f(x)kx2有且只有四个不同解，则实数k的取值构成的集合为_【答案】： (e，1)【解析】作函数yf(x)和ykx2的图像，如图所示，两图像除了(0，2)还应有3个公共点，当k0时，直线应与曲线yf(x)(x>1)相切，设切点(x0，lnx0)，则切线斜率为k，又k，则，解得x0e3，此时k，当k<0时，当ykx2与曲线y相切于点(0，2)时，函数yf(x)和ykx2的图像只有三个公共点，不符合题意，此时k1，当1<k<0时，函数yf(x)和ykx2的图像只有三个公共点，不符合题意，当直线ykx2与yf(x
21、)(0<x<1)相切时，两图像只有三个公共点，设切点(x0，lnx0)，则切线的斜率k，又k，则，解得x0e1，此时ke不符合题意，当k<e时，两图像只有两个公共点，不合题意，而当e<k<1时，两图像有4个公共点，符合题意，所以实数k的取值范围是(e，1)方法总结：函数零点与二次函数的综合问题，主要考查函数零点、方程的根以及不等式的解法等基础知识和基本方法，考查推理论证和运算求解的能力解决这类问题，一是用零点的定义转化为方程问题，二是利用零点存在定理转化为函数问题，三是利用数形结合的思想转化为图形问题1、(2018全国卷)已知函数若存在2个零点，则的取值范围是A
22、B C D【答案】C【解析】函数存在 2个零点，即关于的方程有2 个不同的实根，即函数的图象与直线有2个交点，作出直线与函数的图象，如图所示，由图可知，解得，故选C 2、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知函数.若函数在上无零点，则的最小值为_.【答案】【解析】因为在区间上恒成立不可能，故要使函数在上无零点，只要对任意的，恒成立，即对任意的，恒成立.令，则，再令，则，故在上为减函数，于是，从而，于是在上为增函数，所以，故要使恒成立，只要，综上，若函数在上无零点，则的最小值为.故答案为：3、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）已知函数在区间上有零点，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】不妨设，为函数的两个零点，其中，则，.则，由，所以，可令，当，恒成立，所以.则的最大值为，此时，还应满足，显然，时，.故选：B.4、（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）已知函数，若存在实数使在上有2个零点，则的取值范围为_【答案】【解析】已知实数使在上有2个零点，等价于与的函数图象在上有2个交点，显然与x轴的交点为，的图象关于对称，当时，若要有2个交点，由数形结合知m一定小于e，即；当时，若要有2个交点，须存在a使得在有两解，所以，因为，即，显然存在这样的a使上述不等式成立；由数形结合知m须大于在处的切线与x轴交点的横坐标，即综上所述，m的范围为故答案为：