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1、考点14 指数函数【命题解读】在高考中指数函数部分往往与其他知识点交汇考查，也常与函数的图像结合考查。重点考查与此有关的性质。【基础知识回顾】 指数函数及其性质(1)概念：函数yax(a0且a1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数(2)指数函数的图象与性质a10a1图象定义域(1)R值域(2)(0，)性质(3)过定点(0，1)，即x0时，y1(4)当x0时，y1；当x0时，0y1(5)当x0时，y1；当x0时，0y1(6)在(，)上是增函数(7)在(，)上是减函数常用结论1指数函数图象的画法画指数函数yax(a0，且a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)
2、，.2.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为cd1ab0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数yax(a0，a1)的图象越高，底数越大3指数函数yax(a0，a1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a1与0a1来研究1、 设a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则a，b，c的大小关系是()Aabc BacbCbac Dbca【答案】C【解析】因为函数y0.6x在R上单调递减，所以b0.61.5a0.60.61.又c1.50.61，所以bac.2、函数f(x)a
3、xb的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A.a>1，b<0B.a>1，b>0C.0<a<1，b>0D.0<a<1，b<0【答案】D【解析】由f(x)axb的图象可以观察出，函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以0<a<1.函数f(x)axb的图象是在f(x)ax的基础上向左平移得到的，所以b<0.3、若函数y(a21)x是R上的减函数，则实数a的取值范围是( )A. 1<a<B. <a<1C. 1<a<，或<a<1D. <a<1，或1
4、<a<【答案】C【解析】由y(a21)x在(，)上为减函数，得0<a21<1，1<a2<2，即1<a<或<a<1.数a的取值范围是1<a<或<a<1.故选C.4、已知函数f(x)ax32的图像恒过定点A，则A的坐标为 【答案】(3，3)【解析】由a01知，当x30，即x3时，f(3)3，即图像必过定点(3，3)5、函数的值域为（）ABC（0，D（0，2【答案】A【解析】令t（x）2xx2（x1）2+11单调递减即y故选：A考向一指数函数的性质与应用例1、（1）已知定义在R上的函数f(x)2|xm|1(m为实数)
5、为偶函数，记af(log053)，bf(log25)，cf(2m)，则a，b，c的大小关系为（ ）Abac Bcab Ccba Dabc（2）如果函数ya2x2ax1(a0，a1)在区间1，1上的最大值是14，则a的值为（ ）A3 B C-5 D3或（3）已知函数f(x)2|2xm|(m为常数)，若f(x)在区间2，)上是增函数，则m的取值范围是_【解析】（1）B 由函数f(x)2|xm|1为偶函数，得m0，即f(x)2|x|1，其图象过原点，且关于y轴对称，在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增又af(log053)f(log23)f(log23)，bf(log25)，cf(0)，且0l
6、og23log25，所以cab（2）D 令axt，则ya2x2ax1t22t1(t1)22当a1时，因为x1，1，所以t，又函数y(t1)22在上单调递增，所以ymax(a1)2214，解得a3(负值舍去)当0a1时，因为x1，1，所以t，又函数y(t1)22在上单调递增，则ymax214，解得a(负值舍去)综上知a3或a（3）令t|2xm|，则t|2xm|在区间上单调递增，在区间上单调递减，而y2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)2|2xm|在2，)上单调递增，则有2，即m4，所以m的取值范围是(，4变式1、（1）函数f(x)的单调减区间为 （2）(一题两空)已知函数f(x)a|x1|(
7、a0，且a1)的值域为1，)，则a的取值范围为_，f(4)与f(1)的大小关系是_（3）（2019·福建泉州五中模拟）设a>0，且a1，函数ya2x2ax1在1，1上的最大值是14，则实数a的值为_【答案】（1） (，1 （2）(1，)f(4)f(1)（3）或3【解析】（1）设ux22x1，y在R上为减函数，函数f(x)的减区间即为函数ux22x1的增区间又ux22x1的增区间为(，1，f(x)的减区间为(，1（2）因为|x1|0，函数f(x)a|x1|(a0，且a1)的值域为1，)，所以a1.由于函数f(x)a|x1|在(1，)上是增函数，且它的图象关于直线x1对称，则函数f
8、(x)在(，1)上是减函数，故f(1)f(3)，f(4)f(1)（3）令tax(a>0，且a1)，则原函数化为yf(t)(t1)22(t>0)当0<a<1，x1，1时，tax，此时f(t)在上为增函数所以f(t)maxf214.所以16，解得a(舍去)或a.当a>1时，x1，1，tax，此时f(t)在上是增函数所以f(t)maxf(a)(a1)2214，解得a3或a5(舍去)综上得a或3.变式2、（江苏省南通市通州区2019-2020学年高三第一次调研抽测】不等式的解集为_.【答案】(1，2)【解析】由题则，故 故填(1，2)变式3、设函数f(x)若f(a)<
9、;1，则实数a的取值范围是 ；【答案】(3，1)【解析】当a<0时，不等式f(a)<1可化为7<1，即<8，即<，a>3.又a<0，3<a<0.当a0时，不等式f(a)<1可化为<1.0a<1，综上，a的取值范围为(3，1)变式4、(2020·包头模拟)已知实数a1，函数f(x)若f(1a)f(a1)，则a的值为_.【答案】.【解析】(1)当a<1时，41a21，解得a；当a>1时，代入不成立.故a的值为.方法总结：指数函数的性质有着广泛的应用，常见的有：比较大小，解不等式，求函数的单调区间和值域、最
10、值等等(1)比较两个幂值的大小问题是常见问题，解决这类问题首先要分清底数是否相同；若底数相同，则可利用函数的单调性解决；若底数不同，则要利用中间变量进行比较(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性问题，常常需要借助换元等手段将其化归于指数函数来解，体现化归与转化思想的运用(3)在利用指数函数的性质解决与指数函数相关的问题时，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时须分底数0<a<1和a>1两种情形进行分类讨论，防止错解考向二 指数函数的图像与性质例2、如图，过原点O的直线与函数y2x的图像交于A，B两点，过点B作y轴的垂线交函数y4x的图像于点C，
11、若AC平行于y轴，则点A的坐标是_【答案】(1,2)【解析】设C(a,4a)，则A(a,2a)，B(2a,4a)又O，A，B三点共线，所以，故4a2·2a，所以2a0(舍去)或2a2，即a1，所以点A的坐标是(1,2)变式1、（2020届江苏省南通市海安高级中学高三第二次模拟）已知过点的直线与函数的图象交于、两点，点在线段上，过作轴的平行线交函数的图象于点，当轴，点的横坐标是 【答案】【解析】根据题意，可设点，则,由于轴，故，代入，可得，即，由于在线段上，故，即，解得.变式2、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知，则a，b，c的大小关系是( )ABCD【答案】C【解析】在同一直角
12、坐标系内，作出函数，的图像如下：因为，所以是与交点的横坐标；是与交点的横坐标；是与交点的横坐标；由图像可得：.故选：C.变式3、（2019·广西北海一中月考）函数yax(a>0，且a1)的图象可能是()【答案】D【解析】当a>1时，yax是增函数当x0时，y1(0，1)，A，B不满足当0<a<1时，yax在R上是减函数当x0时，y1<0，C错，D项满足变式4、已知f(x)|2x1|.(1)求f(x)的单调区间；(2)比较f(x1)与f(x)的大小；(3)试确定函数g(x)f(x)x2的零点的个数【解析】(1)由f(x)|2x1|可作出函数的图像如图所示因
13、此函数f(x)的单调减区间是(，0)上，单调增区间是(0，)(2)在同一坐标系中，分别作出函数f(x)、f(x1)的图像如图所示由图像知，当11，即x0log2时，两图像相交，当x<时，f(x)>f(x1)；当x时，f(x)f(x1)；当x>时，f(x)<f(x1)(3)将g(x)f(x)x2的零点个数问题转化为函数f(x)与yx2的图像的交点个数问题，在同一坐标系中，分别作出函数f(x)|2x1|和yx2的图像(如图所示)，有四个交点，故g(x)有四个零点方法总结：指数函数的图像直观的刻画了指数函数的性质，在解题中有着十分广泛的应用(1)已知函数解析式判断其图像一般是
14、取特殊点，判断所给的图像是否过这些点，若不满足则排除；(2)对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论；(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数函数图像，数形结合求解考向三 指数函数的综合运用例3、关于函数f (x)的性质，下列说法中正确的是( )A函数f (x)的定义域为RB函数f (x)的值域为(0，)C方程f (x)x有且只有一个实根D函数f (x)的图象是中心对称图形【答案】ACD【解析】函数f (x)的定义域为R，所以A正确；因为y4x在定义域内单调递增，所以函数
15、f (x)在定义域内单调递减，所以函数的值域为，所以方程f (x)x只有一个实根，所以B不正确，C正确；因为f (x1)f (x)，f (x)关于对称，所以D正确变式1、（2020届江苏省南通市如皋市高三上学期教学质量调研(二)）已知函数，若，则实数 _【答案】【解析】函数,当时, ,解得 ,不合题意当时, ,当时,解得,当时,解得,不合题意综上,实数故答案为：变式2、已知定义域为R的函数f(x)是奇函数(1) 求a，b的值；(2) 若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)<0恒成立，求k的取值范围【解析】(1) f(x)是R上的奇函数，f(0)0，即0b1，f(x).又由f(
16、1)f(1)，得a2.经检验知，a2，b1为所求(2)(方法1)由(1)得f(x)，易知f(x)在(，)上为减函数f(x)是奇函数，f(t22t)f(2t2k)<0f(t22t)<f(2t2k)f(k2t2)t22t>k2t2，即对一切t有3t22tk>0.412k<0k<.(方法2)由(1)知f(x)，<0，即(2)(1)(2)(1<0，即1，故3t22tk>0.上式对一切tR均成立，从而412k<0k<.变式3、设a是实数，f(x)a(xR)(1) 试证明对于任意a，f(x)都为增函数；(2) 试确定a的值，使f(x)为奇函
17、数【证明】(1)设x1，x2R，且x1<x2，则f(x1)f(x2)=.由于指数函数y2x在R上是增函数，且x1<x2，<，即<0.又由2x>0，得1>0，1>0.f(x1)f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)此结论与a的取值无关，对于a取任意实数，f(x)均为增函数(2)f(x)为奇函数，f(x)f(x)，即a，变形得2a2，解得a1.方法总结：指数函数性质的综合应用，其方法是：首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解以上问题都是指数型函数问题，关键应判断其单调性，对于形如yaf(x)的函数的单调性，它的单调区间与f(x)的单调区间
18、有关：若a>1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数yaf(x)的单调增(减)区间；若0<a<1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数yaf(x)的单调减(增)区间1、(2018全国卷)函数的图像大致为【答案】B【解析】当时，因为，所以此时，故排除AD；又，故排除C，选B2、（2020届山东省烟台市高三上期末）设，则的大小关系为（ ）ABCD【答案】A【解析】由题,因为单调递减,则；因为单调递减,则；因为单调递增,则,所以,故选：A3、（2017北京）已知函数，则A是奇函数，且在R上是增函数 B是偶函数，且在R上是增函数C是奇函数，且在R上是减函数 D是偶函数，且在R上是减函
19、数【答案】A【解析】，得为奇函数，所以在R上是增函数选A4、（2012山东）若函数在上的最大值为4，最小值为，且函数在上是增函数，则a 【答案】【解析】 当时，有，此时，此时为减函数，不合题意若，则，故，检验知符合题意5、已知函数f(x)3x(1)若f(x)2，求x的值；(2)判断x>0时，f(x)的单调性；(3)若3tf(2t)mf(t)0对于t恒成立，求m的取值范围【解析】：(1)当x0时，f(x)3x3x0，不满足f(x)2当x>0时，f(x)3x，令3x2(3x)22·3x10，解得3x1±3x>1，3x1xlog3(1).(2)y3x在(0，)上单调递增，y在(0，)上单调递减，f(x)3x在(0，)上单调递增(3)t，f(t)3t>03tf(2t)mf(t)0化为3tm0，即3tm0，即m32t1令g(t)32t1，则g(t)在上递减，g(x)max4所求实数m的取值范围是4，)