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1、考点08 函数的概念与运算【命题解读】通过函数概念和函数解析式的学习，从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征。学生能更好地理解数学概念、命题、方法和体系，能通过抽象、概括去认识、理解、把握事物的数学本质，能逐渐养成一般性思考问题的习惯，能在其他学科的学习中主动运用数学抽象的思维方式解决问题，逐步养成学习者的数学抽象能力。【基础知识回顾】 1函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合
2、f(x)|xA叫做函数的值域(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据2函数的三种表示法解析法图象法列表法就是把变量x，y之间的关系用一个关系式yf(x)来表示，通过关系式可以由x的值求出y的值.就是把x，y之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量x，y的值.就是将变量x，y的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系.3分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数1、下列各组函数中，表示同一函数的是()Af(x)eln x，g
3、(x)xBf(x)，g(x)x2Cf(x)，g(x)sin xDf(x)|x|，g(x)【答案】D【解析】A，B，C的定义域不同，所以答案为D.2、（江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高三9月月考）函数的定义域是_【答案】【解析】依题意，即，解得.3、设函数f(x)则f的值为() A B C D18【答案】A【解析】当x>1时，f(x)x2x2，则f(2)22224，当x1时，f(x)1x2，ff14、(2019南京三模）若函数f(x)，则f(log23) 【答案】【解析】因为12，所以f(log23)f(log232).5、已知f(x)是一次函数，且满足3f(x1)2f(x
4、1)2x17，则f(1)_【答案】9【解析】设f(x)axb(a0)，则3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2bax5ab，即ax5ab2x17不论x为何值都成立，解得f(x)2x7，从而得f(1)9.6、函数yf(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是_；值域是_；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是_【答案】3，02，31，51，2)(4，5【解析】观察图像结合函数的概念。考向一函数的概念例1(1)已知A1，2，3，k，B4，7，a4，a23a，aN*，kN*，xA，yB，f：xy3x1是从定义域A到值域B的一个函数，求a，k的值；(2)下列各选项给出的两个函数中，表
5、示相同函数的有A与B与C与D与【答案】【解析】(1)(定义法)由对应法则14，27，310，又k3k1，故a23a10(a410舍去)，解得a2或a5(舍去)，故3k1a416，解得k5.a2，k5.【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断是相同函数（2）对于，函数与的解析式不同，表示相同函数；对于，函数的定义域为，的定义域为，定义域相同，对应关系也相同，是相同函数；对于，函数的定义域为，的定义域为，定义域相同，对应关系也相同，是相同函数；对于，函数的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是相同函数故选：变式1、下列各对函数中是同一函数的是() Af(x)2x1与g(x)2xx
6、0 Bf(x)与g(x)|2x1|； Cf(n)2n2(nZ)与g(n)2n(nZ)； Df(x)3x2与g(t)3t2. 【答案BD【解析】函数g(x)2xx02x1，函数g(x)的定义域为x|x0，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；f(x)|2x1|与g(x)|2x1|的定义域和对应关系相同，是同一函数；f(n)2n2(nZ)与g(n)2n(nZ)的对应关系不相同，不是同一函数；f(x)3x2与g(t)3t2的定义域和对应关系相同，是同一函数变式2、已知集合Px|0x4，Qy|0y2，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是_(填序号)f：xyx；f：xyx；f：xyx；f：xy.【答案
7、】：【解析】：对于，因为当x4时，y×4Q，所以不是函数变式3、若一系列函数的解析：式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析：式为y2x21，值域为3,19的“孪生函数”共有_个【答案】：9【解析】：若y3，则由2x213，得x±1；若y19，则由2x2119，得x±3所以函数f(x)定义域可以是1，3，1,3，1,3，1，3，1,1,3，1,1，3，3,1,3，3，1,3，1，3,1,3，共有9个孪生函数方法总结：(1)定义是解题的重要依据，它有双重功能：一是判定；二是性质要判定一个对应是不是从定义域A到值域B的一个函数，就要看其是
8、否满足函数的定义，反之亦然；(2)函数的值域可由定义域和对应法则唯一确定，当且仅当定义域和对应法则都相同的函数才是同一函数，而定义域、值域和对应法则中有一个不同就不是同一函数考向二 函数的解析式例3、(1)已知flg x，求f(x)的解析式；(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)0，f(x1)f(x)x1，求f(x)的解析式；(3)已知函数f(x)满足f(x)2f(x)2x，求f(x)的解析式【解答】(1)(换元法)令1t，得x，代入得f(t)lg，又x>0，所以t>1，故f(x)的解析式是f(x)lg，x(1，)(2)(待定系数法)设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)0，
9、知c0，f(x)ax2bx，又由f(x1)f(x)x1，得a(x1)2b(x1)ax2bxx1，即ax2(2ab)xabax2(b1)x1，所以解得ab.所以f(x)x2x，xR.(3)(解方程组法)由f(x)2f(x)2x，得f(x)2f(x)2x，×2，得3f(x)2x12x.即f(x).故f(x)的解析式是f(x)，xR.变式1、已知f(x)是二次函数，且f(0)0，f(x1)f(x)x1，求f(x)的解析式【答案】f(x)x2x，【解析】设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)0，知c0，f(x)ax2bx，又由f(x1)f(x)x1，得a(x1)2b(x1)ax2bxx1
10、，即ax2(2ab)xabax2(b1)x1，所以解得ab.所以f(x)x2x，xR.变式2、若函数f（x）对于任意实数x恒有f（x）2f（x）3x1，则f（x）等于（）Ax+1Bx1C2x+1D3x+3【答案】A【解析】函数f（x）对于任意实数x恒有f（x）2f（x）3x1，令xx，则：f（x）2f（x）3（x）1则：，解方程组得：f（x）x+1故选：A变式3、如图，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BCDA由B点(起点)向A点(终点)移动，设点P移动的路程为x，ABP的面积为yf(x)(1)求ABP的面积与点P移动的路程间的函数关系式；(2)作出函数的图像，并根据图像求y的最大
11、值【解析】(1)考虑到点P在正方形ABCD四边上移动时ABP的面积y与路程x的解析式不同，应分段进行考虑，首先，这个函数的定义域为(0，12当0x4时，Sf(x)·4·x2x；当4x8时，Sf(x)8；当8x12时，Sf(x)·4·(12x)2(12x)242x.这个函数的解析式为f(x)(2)作出其图像如图所示，由图像可知，f(x)max8.y的最大值为8.方法总结：函数解析式的常见求法函数解析式的求法主要有以下几种：(1)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(2)配凑法：由已知条件f(g(x)f(x)，可将
12、f(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；(3)待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数f(x)可设为f(x)ax2bxc(a0)，其中a，b，c是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出a，b，c即可(4)解方程组法：已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如f(或f(x)等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)考向三 分段函数例3、（1）已知函数f(x)则f(f(3)_，f(x)的最小值是_.（2）、已知则f(7） =_.（3）(2019苏锡常镇调研）已知
13、函数f(x)若f(a1)，则实数a_（4）、(2018南京、盐城、连云港、徐州二模）已知函数f(x)则不等式f(x)1的解集是_【答案】（1）023；（2）6（3） log23（4） 4,2【解析】（1）f(3)lg(3)21lg 101，f(f(3)f(1)0，当x1时，f(x)x323，当且仅当x时，取等号，此时f(x)min23<0；当x<1时，f(x)lg(x21)lg 10，当且仅当x0时，取等号，此时f(x)min0.f(x)的最小值为23.（2）79，f(7)f(f(74)f(f(11)f(113)f(8)又89，f(8)f(f(12)f(9)936.即f(7)6.（
14、3）当a10，即a1时，f(a1)log2(4a)，解得a4(舍)；当a1>0，即a>1时，f(a1)2a11，解得alog23.（4）当x0时，不等式f(x)1可以化为x11，解之得x4，此时4x0；当x>0时，不等式f(x)1可以化为(x1)21，解之得0<x2，综上所述，不等式f(x)1的解集为4,2变式1、设函数f(x)则使得f(x)1的自变量x的取值范围为_【答案】(，20，10【解析】因为f(x)是分段函数，所以f(x)1应分段求解当x1时，f(x)1(x1)21x2或x0，所以x2或0x1.当x1时，f(x)141，即3，所以1x10.综上所述，x2或0x
15、10，即x(，20，10变式2、已知f（x）则不等式x+（x+2）f（x+2）5的解集是（）A2，1B（，2CD【答案】D【解析】当x+20时，即x2，f（x+2）1由x+（x+2）f（x+2）5可得x+x+25x 即2x当x+20即x2时，f（x+2）1由x+（x+2）f（x+2）5可得x（x+2）5即25x2综上，不等式的解集为x|x故选：D变式3、(1)(2018苏州暑假测试） 已知实数m0，函数f(x)若f(2m)f(2m)，则m的值为_(2)设函数f(x)则满足f(f(a)2f(a)的a的取值范围是 ；【答案】（1）m.（2）a.【解析】(1)11. 8或当m>0时，2m<
16、;2,2m>2，所以3(2m)m(2m)2m，所以m8；当m<0时，2m>2,2m<2，所以3(2m)m(2m)2m，所以m.(2)由f(f(a)2f(a)，得f(a)1.当a<1时，有3a11，a，a<1；当a1时，有2a1，a0，a1.综上，a的取值范围是a.方法总结：(1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，再通过分类讨论求解；(2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围1、(2014江西)已知函数，若，则A1 B2 C
17、3 D-1【答案】A【解析】因为，且，所以，即，解得2、.(2014山东)函数的定义域为（ ）A B C D【答案】C【解析】，解得3、（2017新课标）设函数，则满足的的取值范围是_【答案】【解析】当时，不等式为恒成立；当，不等式恒成立；当时，不等式为，解得，即；综上，的取值范围为 4、(2015新课标1，文10)已知函数，且，则A B C D【答案】A【解析】，当时，则，此等式显然不成立，当时，解得，=，故选A5、（2015新课标2，理5）设函数,( )A3 B6 C9 D12【答案】C【解析】由已知得，又，所以，故，故选C6、（2014卷1，文15）设函数则使得成立的的取值范围
18、是_.【答案】.【解析】原不等式等价于或，解得，故的取值范围是.7、德国数学家狄里克雷，在1837年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数”这个定义较清楚地说明了函数的内涵只要有一个法则，使得取值范围中的每一个，有一个确定的和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄里克雷函数，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0下列关于狄里克雷函数的性质表述正确的是AB的值域为，C的图象关于直线对称D的图象关于直线对称【答案】【解析】：由题意可得，由于为无理数，则，故正确；结合函数的定义及分段函数的性质可知，函数的值域
19、，故正确；结合函数可知，当时，关于，都对称，当为无理数时，关于，都对称故选：8、根据下列条件，求函数的解析式：(1)已知f(1)x2；(2)若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)f(x)3x1；(3)已知f(0)1，对任意的实数x，y都有f(xy)f(x)y(2xy1)【解】(1)(方法1)(换元法)：设t1，则x(t1)2(t1)代入原式有f(t)(t1)22(t1)t22t12t2t21.f(x)x21(x1)(方法2)(配凑法)：x2()2211(1)21，f(1)(1)21(11)，即f(x)x21(x1)(2)用x换x得2f(x)f(x)3x1，与原式联立消去f(x)得f(x)x1.(3)令x0，得f(y)f(0)y(y1)1y2y，f(y)y2y1，即f(x)x2x1.