《2022届高三数学一轮复习（原卷版）7．3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022届高三数学一轮复习（原卷版）7．3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题.doc（31页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、73 二元一次不等式二元一次不等式(组组)与简单的线性规划问题与简单的线性规划问题 1二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地，二元一次不等式 AxByC0 在平面直角坐标系中表示直线 AxByC0 某一侧所有点组成的_我们把直线画成虚线以表示区域_边界直线当我们在坐标系中画不等式 AxByC0 所表示的平面区域时，此区域应_边界直线， 则把边界直线画成_ (2)由于对直线 AxByC0 同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入 AxByC，所得的符号都_，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)(如原点)作为测试点，由 Ax0By0C 的_即可判断 AxByC0 表示的
2、是直线 AxByC0 哪一侧的平面区域 2线性规划 (1)不等式组是一组对变量 x，y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于 x，y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件ZAxBy 是要求最大值或最小值的函数，我们把它称为_由于 ZAxBy 是关于 x，y 的一次解析式，所以又可叫做_ 注：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示 (2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的_的问题， 统称为线性规划问题 (3)满足线性约束条件的解(x， y)叫做_，由所有可行解组成的集合叫做其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的_ 线性目标函数的最值常在可行域的边界上
3、，且通常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解首先要看它是否在可行域内 (4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： 首先，要根据_ (即画出不等式组所表示的公共区域) 设_，画出直线 l0 观察、分析、平移直线 l0，从而找到最优解 最后求得目标函数的_ (5)利用线性规划研究实际问题的解题思路： 首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出_条件，确定_函数 然后，用图解法求得数学模型的解，即_，在可行域内求得使目标函数_ 自查自纠： 1(1)平面区域 不包括 包括 实线 (2)相同 符号 2(1)目标函数 线性目标函数 (2)最大值或最小值 (3)可行解 可行域 最优解 (4)线性约束条件
4、画出可行域 z0 最大值或最小值 (5)约束 线性目标 画出可行域 取得最值的解 下列各点中，不在 xy10 表示的平面区域内的是 ( ) A(0，0) B(1，1) C(1，3) D(2，3) 解： 把各点的坐标代入可得(1， 3)不适合故选 C 不等式组x3y60，xy20表示的平面区域是以下哪项所示阴影部分 ( ) A B C D 解：x3y60 表示直线 x3y60 及其右下方部分，xy20 表示直线 xy20 左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项 B 所示阴影部分故选 B 不等式组xy20，x2y40，x3y20表示的平面区域的面积为 ( ) A3 B4 C5 D6 解：不等式组
5、所表示的平面区域如图中阴影部分所示， 易求得|BD|2，C 点坐标(8，2)， 所以 SABCSABDSBCD122(22)4故选 B (2017全国卷)设 x，y 满足约束条件x2y1，2xy1，xy0， 则z3x2y的最小值为_ 解：画出不等式组x2y1，2xy1，xy0 所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y32xz2过点 A 时，在 y 轴上的截距最大，此时 z最小，由x2y1，2xy1， 解得 A(1，1)所以 zmin5故填5 (2018石家庄质检)若 x，y 满足约束条件xy10，x20，xy20，则 zyx的最大值为_ 解：作出不等式组表示的平面区域如图阴影部
6、分所示，zyxy0 x0，表示区域内的点与原点连线的 斜 率 ， 易 知 zmax kOA由xy10，xy20，得A12，32，所以 kOA3，即 zmax3故填 3 类型一类型一 二元一次不等式二元一次不等式(组组)表表示的平面区域示的平面区域 (1)不等式(x2y1)(xy3)0 在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的( ) A B C D 解：(x2y1)(xy3)0 x2y10，xy30或x2y10，xy30画出平面区域后，只有 C 符合题意故选 C (2) 不等式组x0，x3y4，3xy4所表示的平面区域的面积为 ( ) A32 B23 C43 D34 解：不等式
7、组表示的平面区域如图阴影部分所示 由x3y4，3xy4，得交点 A 的坐标为(1，1) 又 B，C 两点的坐标分别为(0，4)，0，43，故SABC12|BC|xA|12443143故选 C 点 拨： 二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域(一般取坐标原点)求平面区域的面积：首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形或其他特殊图形分别求解再求和 (1)(2016
8、郑州模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，满足不等式组|x|y|，|x|1的点(x，y)的集合用阴影表示为下列图中的 ( ) 解：|x|y|把平面分成四部分，|x|y|表示含 y轴的两个区域；|x|1 表示 x 1 所夹含 y 轴的区域故选 C (2)(2018郑州预测)若不等式 x2y22 所表示的平面区域为 M，不等式组xy0，xy0，y2x6表示的平面区域为 N现随机向区域 N 内抛一粒豆子，则豆子落在区域 M 内的概率为_ 解：作出不等式组与不等式表示的可行域 N，M，如图所示，平面区域 N 的面积为123(62)12，区域 M 在区域 N 内的面积为14( 2)22，故所求概率 P21
9、224故填24 类型二类型二 利用线性规划求线性目利用线性规划求线性目标函数的最优解标函数的最优解 (2017天津)设变量 x， y 满足约束条件2xy0，x2y20，x0，y3， 则目标函数 zxy 的最大值为 ( ) A23 B1 C32 D3 解：可行域为四边形 ABCD 及其内部，所以直线 zxy 过点 B(0，3)时取最大值 3故选 D 点 拨： 线性规划问题有三类：简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；线性规划的实际应用 一般情况下， 目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或
10、边界上取得应注意目标函数 zaxby(ab0)中 b 的正负对 z 取最大还是最小的影响 (2018天津)设变量 x，y 满足约束条件xy5，2xy4，xy1，y0， 则目标函数 z3x5y 的最大值为 ( ) A6 B19 C21 D45 解：作出可行域如图中阴影部分所示， 结合目标函数的几何意义可知，目标函数在点A 处取得最大值联立直线方程xy5，xy1， 可得点 A 的坐标为 A(2，3)，据此可知目标函数的最大值 zmax325321故选 C 类型三类型三 含参数的线性规划问题含参数的线性规划问题 (1)(北京西城区2017届期末)实数 x，y满足x3，xy0，xy60 若 zaxy
11、的最大值为 3a9，最小值为 3a3，则 a 的取值范围是( ) A1，0 B0，1 C1，1 D(，11，) 解：作出不等式组对应的平面区域如图，由 zaxy 得 yaxz 因为 zaxy 的最大值为 3a9，最小值为 3a3， 所以当直线 yaxz 经过点 B(3，9)时直线截距最大， 当经过点 A(3，3)时，直线截距最小 则直线 yaxz 的斜率a 满足， 1a1，即1a1故选 C (2)( 2018惠州三调) 已 知 实 数 x ， y 满 足x3y50，xy10，xa0，若 zx2y 的最小值为4，则实数 a ( ) A1 B2 C4 D8 解：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴
12、影部分所示， 当直线 zx2y 经过点 Ca，a53时，z 取得最小值4，所以a2a534，解得 a2 另解：zx2y 的最小值为4，此时目标函数为 x2y40直线 x2y40 与直线 x3y50和直线xy10的交点分别为(2， 1)，(6，5)，则直线 xa 必过其中一点，所以 a6 或 a2经检验 a2 符合题意故选 B 点 拨： 利用可行域及最优解求参数的方法：若线性目标函数中含有参数，可对线性目标函数的斜率讨论从而确定其过哪个顶点时取得最值；也可直接求出线性目标函数过各个顶点时对应的参数的值，然后进行检验，从而找出符合题意的参数值；若限制条件中含有参数，则依据参数的不同范围将各种情况下
13、的可行域画出来，再寻求最优解，从而确定参数的值 (1)(2018新乡模拟)若实数 x， y 满足2xy20，2xy60，0y3，且 zmxy(m2)的最小值为52，则 m 等于 ( ) A56 B13 C1 D54 解：作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示， zmxy(m2)的最小值为52，当 m0， zmin3；当 m0 时，zmin3，均不合题意，故0m2 ， 即 目 标 函 数 的 最 优 解 过 点 A ， 由y3，2xy20，解得 A12，3 ，所以52m23，解得 m1故选 C (2)若不等式组xy20，x2y20，xy2m0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则 m
14、 的值为 ( ) A3 B1 C43 D3 解：如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则2m1 由xy20，xy2m0，解得x1m，y1m，即 A(1m，1m) 由x2y20，xy2m0，解得x2343m，y2323m，即 B(2343m，2323m)，所围成的区域为ABC，则 SABC SADCSBDC12(22m)(1m)12(22m)23(1m)13(1m)243，解得 m3(舍去)或 m1故选B 类型四类型四 非线性目标函数的最优非线性目标函数的最优解问题解问题 ( 2016山东 ) 若 变 量 x ， y 满 足xy2，2x3y9，x0， 则 x2y2的最大值是 ( ) A4 B
15、9 C10 D12 解：作出可行域如图所示，点 A(3，1)到原点距离最大，所以(x2y2)max10故选 C 点 拨： 线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等， 最后结合图形确定目标函数最值或范围 即：一画二移三求其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义常见的目标函数有：截距型：形如 zaxby，求这类目标函数的最值常将函数 zaxby 转化为直线的斜截式：yabxzb，通过求直线的截距的最值间接求出 z 的最值；距离型：形如 z(xa)2(yb)2或
16、z|cxdye|；斜率型：形如 zybxa，本题属于距离型 (2018湘中高三联考)已知实数 x，y满足yx1，x3，x5y4， 则xy的最小值是_ 解：作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示， 又xy表示平面区域内的点与原点连线的斜率的倒数由图知，斜率均为正且直线 OA 的斜率最大，此时xy取得最小值，所以xymin1kOA32故填32 类型五类型五 线性规划与整点问题线性规划与整点问题 设 实 数x ， y满 足 不 等 式 组x2y50，2xy70，x0，y0， 若 x，y 为整数，则 3x4y 的最小值为 ( ) A14 B16 C17 D19 解：画出可行域如图，令 3x4yz，
17、y 34xz4，过 x 轴上的整点(1，0)，(2，0)，(3，0)，(4，0)，(5，0)处作格子线， 可知当 y34xz4过(4，1)时有最小值(对可疑点(3，2)，(2，4)，(4，1)逐个试验)，此时 zmin34416故选 B 点 拨： 求解整点问题，对作图精度要求较高，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点，有时也可用不等式(组)确定整点 设不等式组x0，y0，ynx3n（nN*） 所表示的平面区域为 Dn，记 Dn内的整点(即横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为 an(anN*)，则数列an的通项公式为 an_ 解：直线 ynx3nn(x3)，过定点(3，0
18、)，由 ynx3n0 得 x3，又 x0，所以 x1 或 x2直线 x2 交直线 ynx3n 于点(2， n)， 直线 x1 交直线 ynx3n 于点(1， 2n)，所以整点个数 ann2n3n故填 3n 类型六类型六 线性规划在实际问题中线性规划在实际问题中的应用的应用 (2016全国卷)某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料生产一件产品 A 需要甲材料 15 kg，乙材料 1 kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 05 kg，乙材料 03 kg，用 3 个工时生产一件产品 A 的利润为 2 100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元该企业现有甲材
19、料 150 kg， 乙材料 90 kg， 则在不超过600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为_元 解： 设某高科技企业生产产品 A 和产品 B 分别为 x 件，y 件，生产产品 A、产品 B 的利润之和为 z元 ， 依 题 意 得15x05y150，x03y90，5x3y600，xN，yN， 即3xy300，10 x3y900，5x3y600，xN，yN， 目标函数 z2 100 x900y作出可行域如图所示当直线 z2 100 x900y 经过点 M(60，100)时，z 取得最大值zmax2 10060900100 216 000 故生产产品 A、产品 B 的利
20、润之和的最大值为216 000 元故填 216 000 点 拨： 对于此类有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形在第一象限的某个顶点 (2018黄冈联考)一个小型加工厂用一台机器生产甲、乙两种桶装饮料，生产一桶甲饮料需要白糖 4 千克、果汁 18 千克，用时 3 小时；生产一桶乙饮料需要白糖 1 千克、 果汁 15 千克， 用时1 小时现库存白糖 10 千克、果汁 66 千克，生产一桶甲饮料利润为 200 元，生产一桶乙饮料利润为100 元在使用该机器用时不超过 9 小时的条件下，生产甲、乙两种饮料利润之和的最大值为_元
21、 解：设生产甲、乙两种饮料分别为 x 桶、y 桶，利润为 z 元， 则4xy10，18x15y66，3xy9，x0，y0即4xy10，6x5y22，3xy9，x0，y0 目标函数 z200 x100y 作出可行域如图阴影部分所示当直线z200 x100y 经过可行域上点 B 时，z 取得最大值解方程组4xy10，6x5y22，得点 B 的坐标(2，2)，故 zmax20021002600故填 600 1解客观题可利用特殊点判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在位置，如果直线 AxByC0 不经过原点， 则把原点代入 AxByC， 通过 AxByC 的正负和不等号的方向， 来判断二元一次不等
22、式(组)表示的平面区域所在的位置 2求目标函数 zaxby(ab0)的最值，将函数 zaxby 转化为直线的斜截式：yabxzb，通过求直线的截距zb的最值间接求出 z 的最值最优解一般在顶点或边界取得但要注意：当 b0时，截距zb取最大值，z 也取最大值；截距zb取最小值，z 也取最小值；当 b0 时，截距zb取最大值，z 取最小值；截距zb取最小值时，z 取最大值 3如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处目标函数取得最大值或最小值最优解一般是多边形的某个顶点，到底是哪个顶点为最优解，有三种解决方法： 第一种方法：将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过可行域的一个便是 第二种方法：
23、利用围成可行域的直线斜率来判断 特别地，当线性目标函数的直线与可行域某条边重合时，其最优解可能有无数组 第三种方法：将可行域所在多边形的每一个顶点 Pi逐一代入目标函数iPZmxny，比较各个iPZ，得最大值或最小值 1不等式组yx2，yx1，y0所表示的平面区域的面积为 ( ) A1 B12 C13 D14 解：作出不等式组对应的区域为如图BCD，由题意知 xB1， xC2由yx2，yx1， 得 yD12，所以 SBCD12(xCxB)1214故选 D 2(2017全国卷)设 x，y 满足约束条件2x3y30，2x3y30，y30， 则 z2xy 的最小值是( ) A15 B9 C1 D9
24、解：作出不等式组2x3y30，2x3y30，y30 对应的可行域， 如图中阴影部分所示当直线 z2xy 过点B(6，3)时，z 取得最小值，zmin2(6)315故选 A 3(2017全国卷)设 x，y 满足约束条件3x2y60，x0，y0， 则 zxy 的取值范围是( ) A3，0 B3，2 C0，2 D0，3 解：绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点 A(0，3) 处取得最小值z033 在点 B(2，0) 处取得最大值 z202故选 B 4某企业生产甲、乙两种产品均需用 A，B 两种原料已知生产 1 吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示如果生产 1 吨甲、
25、乙产品可获得利润分别为 3 万元、4 万元，则该企业每天可获得最大利润为 ( ) 甲 乙 原料限额 A(吨) 3 2 12 B(吨) 1 2 8 A12 万元 B16 万元 C17 万元 D18 万元 解：设每天生产甲、乙两种产品分别为 x、y吨，利润为 z 元， 则3x2y12，x2y8，x0，y0， 目标函数为 z3x4y作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)，即可行域 由 z3x4y 得 y34xz4，平移直线 y 34x至经过点B时， 直线y34xz4的纵截距最大，此时 z 最大， 解方程组3x2y12，x2y8， 得x2，y3， 即 B(2，3) 所以 zmax3x4y61
26、218 即每天生产甲、乙两种产品分别为 2 吨、3 吨，能够获得最大利润， 最大的利润是 18 万元故选 D 5若变量 x， y 满足约束条件xy10，y1，x1，则(x2)2y2的最小值为 ( ) A3 22 B 5 C92 D5 解：作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示 设 z(x2)2y2， 则 z 的几何意义为区域内的点到定点 D(2，0)的距离的平方，由图知 C，D 间的距离最小，此时 z 最小，且 zmin(02)212415故选 D 6(2018河北石家庄质检)若 x，y 满足xy1，mxy0，3x2y20，且 z3xy 的最大值为 2， 则实数m 的值为 ( ) A13
27、 B23 C1 D2 解：若 z3xy 的最大值为 2，则此时目标函数为 y3x2，直线 y3x2 与直线 3x2y20 和直线 xy1 分别交于 A(2，4)，B34，14， mxy0 经过其中一点，所以 m2 或 m13，当 m13时，经检验不符合题意，故 m2 另解：作图，旋转 ymx(讨论 m)故选 D 7x，y 满足约束条件xy20，x2y20，2xy20，若 z yax 取得最大值的最优解不唯一，则实数 a 的值为_ 解：如图，由 yaxz 知 z 的几何意义是直线在 y 轴上的截距故当 a0 时，要使 zyax 取得最大值的最优解不唯一，则 a2；当 a0 时，要使zyax 取得
28、最大值的最优解不唯一，则 a1；当 a0 时，不满足题意故填 2 或1 8(2018南昌十校二模)已知 x，y 满足约束条件yx，xy1，y1，则 z|x2y2|的最小值为_ 解：作出可行域如图中阴影部分所示，z5|x2y2|12（2）2表示的几何意义是可行域内的点到直线 x2y20 的距离的 5倍易知点A12，12到直线 x2y20 的距离为区域内的点到直线的距离的最小值，且为325，所以 zmin 532532故填32 9(2018 上饶调研)若 1log2(xy1)2， |x3|1，求 x2y 的最大值与最小值之和 解： 1log2(xy1)2， |x3|1， 即变量 x，y 满足约束条
29、件2xy14，2x4，即xy30，xy10，2x4 作出可行域如图阴影部分所示，则直线 zx2y 经过 B，A 时分别取得最大值、最小值，分别为4，2，其和为 2 10变量 x，y 满足x4y30，3x5y250，x1 (1)设 z14x3y，求 z1的最大值； (2)设 z2yx，求 z2的最小值； (3)设 z3x2y2，求 z3的取值范围 解：作出可行域如图中阴影部分，联立易得A1，225，B(1，1)，C(5，2) (1)z14x3yy43xz13，易知平移 y43x 至过点 C 时，z1最大，且最大值为 453214 (2)z2yx表示可行域内的点与原点连线的斜率大小，显然直线 OC
30、 斜率最小故 z2的最小值为25 (3)z3x2y2表示可行域内的点到原点距离的平方，而 2OB2OA2OC229故 z32，29 11某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率大 025，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率小005 (1)分别求甲、 乙产品为一等品的概率 P甲， P乙； (2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人 32 名，可用资金 55 万元设 x，y 分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求 x，y 为何值时，zxP甲yP乙最大，最大值是多少？ 项目 用量 产
31、品 工人(名) 资金(万元) 甲 4 20 乙 8 5 解：(1)依题意得P甲P乙025，1P甲P乙005， 解得P甲065，P乙04， 故甲产品为一等品的概率 P甲065，乙产品为一等品的概率 P乙04 (2)依题意得 x，y 应满足的约束条件为4x8y32，20 x5y55，x0，y0， 且 z065x04y 作出以上不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分)，即可行域 作直线 l：065x04y0 即 13x8y0，把直线 l 向上方平移到 l1的位置时，直线经过可行域内的点 M，且 l1与原点的距离最大，此时 z 取最大值 解方程组x2y8，4xy11， 得x2，y3 故 M 的坐标为(
32、2，3)，所以 z 的最大值为 zmax065204325 (2018安徽江南十校联考)已知实数x，y 满足ylnx，x2y30，y10，则 zy1x的取值范围为_ 解：作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示zy1x表示区域内的点(x，y)与 A(0，1)连线的斜率 k，由图可知，kmin0，kmaxkAP，P 为切点，设 P(x0，lnx0)，kAP1x0， 所以lnx01x01x0，所以 x01，kAP1， 即 zy1x的取值范围为0，1故填0，1 73 二元一次不等式二元一次不等式(组组)与简单的线性规划问题与简单的线性规划问题 1二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地，二元
33、一次不等式 AxByC0 在平面直角坐标系中表示直线 AxByC0 某一侧所有点组成的_我们把直线画成虚线以表示区域_边界直线当我们在坐标系中画不等式 AxByC0 所表示的平面区域时，此区域应_边界直线， 则把边界直线画成_ (2)由于对直线 AxByC0 同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入 AxByC，所得的符号都_，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)(如原点)作为测试点，由 Ax0By0C 的_即可判断 AxByC0 表示的是直线 AxByC0 哪一侧的平面区域 2线性规划 (1)不等式组是一组对变量 x，y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于 x，y
34、的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件ZAxBy 是要求最大值或最小值的函数，我们把它称为_由于 ZAxBy 是关于 x，y 的一次解析式，所以又可叫做_ 注：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示 (2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的_的问题， 统称为线性规划问题 (3)满足线性约束条件的解(x， y)叫做_，由所有可行解组成的集合叫做其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的_ 线性目标函数的最值常在可行域的边界上，且通常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解首先要看它是否在可行域内 (4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： 首先，要根据_
35、 (即画出不等式组所表示的公共区域) 设_，画出直线 l0 观察、分析、平移直线 l0，从而找到最优解 最后求得目标函数的_ (5)利用线性规划研究实际问题的解题思路： 首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出_条件，确定_函数 然后，用图解法求得数学模型的解，即_，在可行域内求得使目标函数_ 自查自纠： 1(1)平面区域 不包括 包括 实线 (2)相同 符号 2(1)目标函数 线性目标函数 (2)最大值或最小值 (3)可行解 可行域 最优解 (4)线性约束条件画出可行域 z0 最大值或最小值 (5)约束 线性目标 画出可行域 取得最值的解 下列各点中，不在 xy10 表示的平面区域内的是 (
36、 ) A(0，0) B(1，1) C(1，3) D(2，3) 解： 把各点的坐标代入可得(1， 3)不适合故选 C 不等式组x3y60，xy20表示的平面区域是以下哪项所示阴影部分 ( ) A B C D 解：x3y60 表示直线 x3y60 及其右下方部分，xy20 表示直线 xy20 左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项 B 所示阴影部分故选 B 不等式组xy20，x2y40，x3y20表示的平面区域的面积为 ( ) A3 B4 C5 D6 解：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示， 易求得|BD|2，C 点坐标(8，2)， 所以 SABCSABDSBCD122(22)4故选 B
37、 (2017全国卷)设 x，y 满足约束条件x2y1，2xy1，xy0， 则z3x2y的最小值为_ 解：画出不等式组x2y1，2xy1，xy0 所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y32xz2过点 A 时，在 y 轴上的截距最大，此时 z最小，由x2y1，2xy1， 解得 A(1，1)所以 zmin5故填5 (2018石家庄质检)若 x，y 满足约束条件xy10，x20，xy20，则 zyx的最大值为_ 解：作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，zyxy0 x0，表示区域内的点与原点连线的 斜 率 ， 易 知 zmax kOA由xy10，xy20，得A12，32，所以
38、kOA3，即 zmax3故填 3 类型一类型一 二元一次不等式二元一次不等式(组组)表表示的平面区域示的平面区域 (1)不等式(x2y1)(xy3)0 在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的( ) A B C D 解：(x2y1)(xy3)0 x2y10，xy30或x2y10，xy30画出平面区域后，只有 C 符合题意故选 C (2) 不等式组x0，x3y4，3xy4所表示的平面区域的面积为 ( ) A32 B23 C43 D34 解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示 由x3y4，3xy4，得交点 A 的坐标为(1，1) 又 B，C 两点的坐标分别为(0，4)，0，4
39、3，故SABC12|BC|xA|12443143故选 C 点 拨： 二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域(一般取坐标原点)求平面区域的面积：首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形或其他特殊图形分别求解再求和 (1)(2016郑州模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，满足不等式组|x|y|，|x|1的点(x，y)的集合用阴影表示为下列图中的 ( ) 解：|x|
40、y|把平面分成四部分，|x|y|表示含 y轴的两个区域；|x|1 表示 x 1 所夹含 y 轴的区域故选 C (2)(2018郑州预测)若不等式 x2y22 所表示的平面区域为 M，不等式组xy0，xy0，y2x6表示的平面区域为 N现随机向区域 N 内抛一粒豆子，则豆子落在区域 M 内的概率为_ 解：作出不等式组与不等式表示的可行域 N，M，如图所示，平面区域 N 的面积为123(62)12，区域 M 在区域 N 内的面积为14( 2)22，故所求概率 P21224故填24 类型二类型二 利用线性规划求线性目利用线性规划求线性目标函数的最优解标函数的最优解 (2017天津)设变量 x， y
41、满足约束条件2xy0，x2y20，x0，y3， 则目标函数 zxy 的最大值为 ( ) A23 B1 C32 D3 解：可行域为四边形 ABCD 及其内部，所以直线 zxy 过点 B(0，3)时取最大值 3故选 D 点 拨： 线性规划问题有三类：简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；线性规划的实际应用 一般情况下， 目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得应注意目标函数 zaxby(ab0)中 b 的正负对 z 取最大还是最小的影响 (2018天津)设变量 x，y 满足约束条件
42、xy5，2xy4，xy1，y0， 则目标函数 z3x5y 的最大值为 ( ) A6 B19 C21 D45 解：作出可行域如图中阴影部分所示， 结合目标函数的几何意义可知，目标函数在点A 处取得最大值联立直线方程xy5，xy1， 可得点 A 的坐标为 A(2，3)，据此可知目标函数的最大值 zmax325321故选 C 类型三类型三 含参数的线性规划问题含参数的线性规划问题 (1)(北京西城区2017届期末)实数 x，y满足x3，xy0，xy60 若 zaxy 的最大值为 3a9，最小值为 3a3，则 a 的取值范围是( ) A1，0 B0，1 C1，1 D(，11，) 解：作出不等式组对应的
43、平面区域如图，由 zaxy 得 yaxz 因为 zaxy 的最大值为 3a9，最小值为 3a3， 所以当直线 yaxz 经过点 B(3，9)时直线截距最大， 当经过点 A(3，3)时，直线截距最小 则直线 yaxz 的斜率a 满足， 1a1，即1a1故选 C (2)( 2018惠州三调) 已 知 实 数 x ， y 满 足x3y50，xy10，xa0，若 zx2y 的最小值为4，则实数 a ( ) A1 B2 C4 D8 解：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示， 当直线 zx2y 经过点 Ca，a53时，z 取得最小值4，所以a2a534，解得 a2 另解：zx2y 的最小值为4，
44、此时目标函数为 x2y40直线 x2y40 与直线 x3y50和直线xy10的交点分别为(2， 1)，(6，5)，则直线 xa 必过其中一点，所以 a6 或 a2经检验 a2 符合题意故选 B 点 拨： 利用可行域及最优解求参数的方法：若线性目标函数中含有参数，可对线性目标函数的斜率讨论从而确定其过哪个顶点时取得最值；也可直接求出线性目标函数过各个顶点时对应的参数的值，然后进行检验，从而找出符合题意的参数值；若限制条件中含有参数，则依据参数的不同范围将各种情况下的可行域画出来，再寻求最优解，从而确定参数的值 (1)(2018新乡模拟)若实数 x， y 满足2xy20，2xy60，0y3，且 z
45、mxy(m2)的最小值为52，则 m 等于 ( ) A56 B13 C1 D54 解：作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示， zmxy(m2)的最小值为52，当 m0， zmin3；当 m0 时，zmin3，均不合题意，故0m2 ， 即 目 标 函 数 的 最 优 解 过 点 A ， 由y3，2xy20，解得 A12，3 ，所以52m23，解得 m1故选 C (2)若不等式组xy20，x2y20，xy2m0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则 m 的值为 ( ) A3 B1 C43 D3 解：如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则2m1 由xy20，xy2m0，解得x1m
46、，y1m，即 A(1m，1m) 由x2y20，xy2m0，解得x2343m，y2323m，即 B(2343m，2323m)，所围成的区域为ABC，则 SABC SADCSBDC12(22m)(1m)12(22m)23(1m)13(1m)243，解得 m3(舍去)或 m1故选B 类型四类型四 非线性目标函数的最优非线性目标函数的最优解问题解问题 ( 2016山东 ) 若 变 量 x ， y 满 足xy2，2x3y9，x0， 则 x2y2的最大值是 ( ) A4 B9 C10 D12 解：作出可行域如图所示，点 A(3，1)到原点距离最大，所以(x2y2)max10故选 C 点 拨： 线性规划问题
47、，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等， 最后结合图形确定目标函数最值或范围 即：一画二移三求其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义常见的目标函数有：截距型：形如 zaxby，求这类目标函数的最值常将函数 zaxby 转化为直线的斜截式：yabxzb，通过求直线的截距的最值间接求出 z 的最值；距离型：形如 z(xa)2(yb)2或 z|cxdye|；斜率型：形如 zybxa，本题属于距离型 (2018湘中高三联考)已知实数 x，y满足yx1，x3，x5y4， 则x
48、y的最小值是_ 解：作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示， 又xy表示平面区域内的点与原点连线的斜率的倒数由图知，斜率均为正且直线 OA 的斜率最大，此时xy取得最小值，所以xymin1kOA32故填32 类型五类型五 线性规划与整点问题线性规划与整点问题 设 实 数x ， y满 足 不 等 式 组x2y50，2xy70，x0，y0， 若 x，y 为整数，则 3x4y 的最小值为 ( ) A14 B16 C17 D19 解：画出可行域如图，令 3x4yz，y 34xz4，过 x 轴上的整点(1，0)，(2，0)，(3，0)，(4，0)，(5，0)处作格子线， 可知当 y34xz4过(4，
49、1)时有最小值(对可疑点(3，2)，(2，4)，(4，1)逐个试验)，此时 zmin34416故选 B 点 拨： 求解整点问题，对作图精度要求较高，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点，有时也可用不等式(组)确定整点 设不等式组x0，y0，ynx3n（nN*） 所表示的平面区域为 Dn，记 Dn内的整点(即横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为 an(anN*)，则数列an的通项公式为 an_ 解：直线 ynx3nn(x3)，过定点(3，0)，由 ynx3n0 得 x3，又 x0，所以 x1 或 x2直线 x2 交直线 ynx3n 于点(2， n)， 直线 x1 交直线
50、ynx3n 于点(1， 2n)，所以整点个数 ann2n3n故填 3n 类型六类型六 线性规划在实际问题中线性规划在实际问题中的应用的应用 (2016全国卷)某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料生产一件产品 A 需要甲材料 15 kg，乙材料 1 kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 05 kg，乙材料 03 kg，用 3 个工时生产一件产品 A 的利润为 2 100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元该企业现有甲材料 150 kg， 乙材料 90 kg， 则在不超过600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为_元 解： 设