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1、淘宝店铺：漫兮教育7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题典例精析来源:题型一平面区域【例1】已知函数f(x)的定义域为2，)，且f(4)f(2)1，f(x)为f(x)的导函数，函数yf(x)的图象如图所示，则平面区域所围成的面积是() A.2B.4C.5D.8【解析】选B.由f(x)的图象可知，f(x)在2,0上是减函数，在0，)上是增函数.因为f(2)f(4)1，所以当且仅当x(2,4)时，有f(x)f(2)f(4)1.来源:作出可行域如图所示，其围成的图形面积为4.来源:数理化网【点拨】不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公
2、共部分.【变式训练1】若a0，b0，且当时，恒有axby1，则以a，b为坐标的点P(a，b)所形成的平面区域的面积是()A.B.C.1D.【解析】选C.当ab1时，满足xy1，且可知0a1，0b1，所以点P(a，b)所形成的平面区域为边长为1的正方形，所以面积为1.本题关键是确定点所形成的区域形状.题型二利用线性规划求最值(1)zx2y4的最大值；(2)zx2y210y25的最小值；(3)z的取值范围.【解析】作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A(1,3)，B(3,1)，C(7,9).(1)易知直线x2y4z过点C时，z最大.所以x7，y9时，z取最大值21.(2)zx2(y5)2表示可行域
3、内任一点(x，y)到定点M(0,5)的距离的平方，过点M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故z的最小值是()2.(3)z2·表示可行域内任一点(x，y)与定点Q(1，)连线斜率的2倍.因为kQA，kQB，所以z的取值范围为，.【点拨】线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处或边界上取得，充分理解目标函数赋予的几何意义是本例的关键.【变式训练2】已知函数f(x)x3ax2bx1(a，bR)在区间1,3上是减函数，求ab的最小值.【解析】因为f(x)x22axb，f(x)在区间1,3上是减函数.所以f(x)0在1,3上恒成立.则作出点(a，b)表示的平面区域.令zab，求
4、出直线2ab10与6ab90的交点A的坐标为(1,3).当直线zab过点A(1,3)时，zab取最小值2.题型三线性规划的实际应用【例3】某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72 m3，第二种有56 m3.假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一张圆桌需要用第一种木料0.18 m3，第二种木料0.08m3，可获利润6元，生产一个衣柜需要用第一种木料0.09 m3，第二种木料0.28 m3，可获利润10元.木器厂在现有木料条件下，圆桌和衣柜应各生产多少时才能使所获利润最大？最大利润是多少？【解析】设圆桌生产的张数为x，衣柜生产的个数为y，所获利润为z，则z6x10y，来源:当直
5、线l：6x10y0平移到经过点M(350,100)时，z6x10y最大.zmax6×35010×1003 100，所以生产圆桌350张，衣柜100个可获得最大利润3 100元.【点拨】解实际线性规划问题，首先设出变量，建立不等式模型表示出约束条件，一定要注意问题的实际意义(如本题中x0，y0)，然后画出可行域，利用图形求解.【变式训练3】某实验室需购某种化工原料至少106千克，现在市场上该原料有两种包装：一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元.在满足需要的条件下，最少要花费元.【解析】500.设需35千克的x袋，24千克的y袋，则目标函数z140x120y，约束条件为当x1时，y，即y3，这时zmin140120×3500.总结提高1.用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知，找出约束条件和目标函数是关键.2.可行域是二元一次不等式组所表示的平面区域，可行域可以是封闭的多边形，亦可是一侧开放的无限大的平面区域.3.若可行域是一个多边形，那么一般在顶点处，使目标函数值取得最值，最优解一般是多边形的某个顶点.4.实际问题的最优解要求是整数解时，这时要对最优解(非整数解)进行适当调整，其方法是在边界直线的附近寻求与目标函数直线距离最近的整点，而不要在最优解的附近寻找.来源:数理化网