《2022届高三数学一轮复习（原卷版）2．6 对数函数.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022届高三数学一轮复习（原卷版）2．6 对数函数.doc（10页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、26 对数函数对数函数 1对数 (1)对数：如果 axN(a0，且 a1)，那么 x 叫做以 a 为底 N 的_，记作 x_.其中 a 叫做对数的，N 叫做_ (2)两类重要的对数 常用对数：以_为底的对数叫做常用对数，并把 log10N 记作_； 自然对数：以为底的对数称为自然对数，并把 logeN 记作_ 注：(i)无理数 e2.718 28； (ii)负数和零没有对数； (iii)loga1 _ ， logaa _. (3)对数与指数之间的关系 当 a0，a1 时，axNxlogaN. (4)对数运算的性质 如果 a0，且 a1，M0，N0，那么： loga(MN)_； logaMN_；
2、 logaMn_； 一般地，logamMn_； (5)换底公式及对数恒等式 对数恒等式：alogaN_； 换底公式：logab_ (a0且 a1；c0 且 c1；b0)特别地，logab_. 2对数函数的图象及性质 定义 一般地，函数 ylogax(a0，且 a1)叫做对数函数 图象 a1 0a1 定义域 _ 值域 _ 性 质 过定点_ 在(0，)上是_ 在(0，)上是_ 3.对数函数与指数函数的关系 对数函数 ylogax(a0，且 a1)与指数函数 yax(a0 且 a1)互为反函数；它们的图象关于直线_对称 自查自纠： 1(1)对数 logaN 底数 真数 (2)10 lgN e lnN
3、 (iii)0 1 (3) (4)logaMlogaN logaMlogaN nlogaM nmlogaM (5)N logcblogca 1logba 2(0，) R (1，0) 增函数 减函数 3yx log5352log122log5150log514 的值为 ( ) A.32 B2 C3 D4 解：原式log53550142log12212log55312.故选 B. (2018天津) 已知 alog2e，bln2，c log1213，则 a，b，c 的大小关系为 ( ) Aabc Bbac Ccba Dcab 解：由题意结合对数函数的性质可知：alog2e1， bln21log2e(
4、0， 1)， clog1213log23log2e.据此可得 cab.故选 D. (2017北京)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数 N 约为 1080.则下列各数中与MN最接近的是(参考数据：lg30.48) ( ) A1033 B1053 C1073 D1093 解：设 xMN33611080，两边取对数，lgxlg33611080lg3361lg1080361lg38093.28，所以 x1093.28，即MN最接近 1093.故选 D. ( 2018全国卷 ) 已 知 函 数f(x) ln( 1x2x)1，f(a)4，则 f(a
5、)_. 解：由题意得 f(x)f(x)ln( 1x2x)1ln(1x2x)1ln(1x2x2)22，所以 f(a)f(a)2，f(a)2.故填2. (2018禅城月考)已知函数 f(x)|lgx|，若0ab，且 f(a)f(b)，则 2ab 的取值范围是_ 解：画出 y|lgx|的图象如图因为 0ab，且f(a)f(b)，所以|lga|lgb|且 0a1，所以lgalgb，所以 ab1，所以 2ab2 2ab2 2，当且仅当2ab，ab1，即 a22，b 2时等号成立故填2 2，) 类型一类型一 对数的化简与求值对数的化简与求值 (1)已知 3a4b 12，则1a1b( ) A.12 B1 C
6、. 2 D2 解：因为 3a4b 12，所以 alog312，blog412，1a12log3，1b12log4，所以1a1b12log312log412log122.故选 D. (2)求值：lg8lg125lg2lg5lg 10lg0.1_. 解：lg8lg125lg2lg5lg 10lg0.1lg1000lg1012lg10（lg10）4.故填4. (3)若 loga2m，loga3n，则 a2mn_，用 m，n 表示 log46 为_ 解：因为 loga2m，loga3n，所以 am2，an3，a2mn(am)2an22312，log46loga6loga4loga2loga32loga
7、2mn2m.故填 12；mn2m. 点 拨： 对数式的化简、求值问题，要注意对数运算性质的逆向运用，但无论是正向还是逆向运用都要注意对数的底数须相同 (1)(2017北京东城区综合练习)已知函数 f(x)2x，x4，f（x1），x4， 则 f(2log23)的值为 ( ) A24 B16 C12 D8 解：因为 32log230，且 a1)的值域为y|y1，则函数 yloga|x|的图象大致是( ) A B C D 解：由于 ya|x|的值域为y|y1，所以 a1，则 ylogax 在(0， )上是增函数， 又函数 yloga|x|的图象关于 y 轴对称因此 yloga|x|的图象应大致为选项
8、 B.故选 B. (2)(2017 河北五校质监)函数 yloga(x3)1(a0，且 a1)的图象恒过定点 A，若点 A 在直线mxny20 上，其中 m0，n0，则2m1n的最小值为 ( ) A2 2 B4 C.52 D.92 解： 由函数 yloga(x3)1(a0， 且 a1)的解析式知：当 x2 时，y1，所以点 A 的坐标为(2，1)，又因为点 A 在直线 mxny20 上，所以2mn20，即 2mn2，又 m0，n0，所以2m1n2mnm2mn2n2nmmn1252292，当且仅当 mn23时等号成立，所以2m1n的最小值为92.故选 D. (3)( 2017衡水调研 ) 已 知
9、 函 数f(x) log2x，x0，3x，x0， 且关于 x 的方程 f(x)xa0 有且只有一个实根，则实数 a 的取值范围是_ 解：如图，在同一坐标系中分别作出 yf(x)与 yxa 的图象， 其中 a 表示直线在 y 轴上截距由图可知，当 a1 时，直线 yxa 与 ylog2x 只有一个交点故填(1，) 点 拨： 在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，数形结合求解 (1)(2018张家界三模)在同一直角坐标系中，函数 f(x)2ax，g(x)loga(x
10、2)(a0，且a1)的图象大致为( ) A B C D 解：B 中 f(x)图象与 x 轴交点横坐标2a2，则0a1，g(x)单调递减，矛盾，排除；C 中由 f(x)图象知 a0，排除；D 中2a1，g(x)单调递增，矛盾，排除，仅 A 正确故选 A. (2)已知 0m12m2， a0， 且 a1， 若 logam1m11，logam2m21，则实数 a 的取值范围是 ( ) A(2，3) B(0，1) C(1，2) D(3，4) 解：依题意，知方程式 logaxx1 有两个不等实根m1， m2， 在同一直角坐标系下， 作出函数ylogax与 yx1 的图象，显然 a1，由图可知 m11，要使
11、 m22，需满足 loga221，即 a2.综上知：实数 a 的取值范围是 1a2.故选 C. (3)(2017合肥月考)当 0 x12时，4x1 时 4x0，logax00 x12，不满足条件，当 0a1 时，画出两个函数在0，12上的图象，可知 f12g12，即 222，所以 a 的取值范围为22，1 .故选 B. 类型三类型三 对数函数的性质及应用对数函数的性质及应用 (1)(2017天津一模)已知 alog25，blog5(log25)， c120.52， 则 a， b， c 的大小关系为( ) Aabc Bbca Ccba Dbac 解：alog252，blog5(log25)(0，
12、1)，c 120.52(1，2)，可得 bca.故选 B. (2)设函数 f(x)21x，x1，1log2x，x1，则满足 f(x)2的 x 的取值范围是 ( ) A1，2 B0，2 C1，) D0，) 解：当 x1 时，21x2，解得 x0，所以0 x1；当 x1 时，1log2x2，解得 x12，所以x1.综上可知 x0.故选 D. (3)函数 f(x)log2x2log (2x)的最小值为_ 解：f(x)12log2x2 (log2x1)(log2x)2log2xlog2x12214(x0)， 所以当 log2x12， 即 x22时，f(x)取得最小值14.故填14. 点 拨： 在解决与
13、对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解在利用单调性时，一定要明确底数 a 的取值对函数增减性的影响，同时注意真数必须为正 (1)(2018全国卷)设 alog0.20.3， blog20.3，则 ( ) Aabab0 Babab0 Cab0ab Dab0ab 解：因为 alog0.20.3，blog20.3，所以1alog0.30.2，1blog0.32，1a1blog0.30.4， 所以 01a1b1，即 0abab0，b0，所以 ab0，即 abab0，log2alog2a或alog2（a）， 解得 a1 或1a0.故选 C. (3)设 a，b，c 均
14、为正数，且 2alog12a，12b log12b，12clog2c，则 ( ) Aabc Bcba Ccab Dbac 解：因为 a0，所以 2a1，所以 log12a1，所以 0a12.又因为 b0，所以 012b1，所以 0log12b1，所以12b1.又因为12c0，所以 log2c0，所以 c1，所以 0a12b1c.故选A. 类型四类型四 对数函数的综合问题对数函数的综合问题 已知函数 f(x)log12(x22ax3) (1)若 f(x)的定义域为 R，求实数 a 的取值范围； (2)若函数f(x)的值域为R， 求实数a的取值范围； (3)若函数 f(x)在1，)内有意义，求实数
15、 a的取值范围； (4)若函数 f(x)的值域为(，1，求实数 a 的值 解：(1)由 f(x)的定义域为 R， 知 x22ax30 的解集为 R， 则 4a2120，解得 3a 3. 所以 a 的取值范围为( 3， 3) (2)函数f(x)的值域为R等价于ux22ax3取(0，)上的一切值，所以只要 umin3a20 a 3或 a 3. 所以实数 a 的取值范围是(， 3 3，) (3)由 f(x)在1，)内有意义， 知 u(x)x22ax30 对 x1，)恒成立， 因为 yu(x)图象的对称轴为 xa， 所以当 a1 时，u(x)minu(1)0， 即a1，2a40， 解得2a1； 当 a
16、1 时， u(x)minu(a)3a20， 即 3a 3，所以1a 3. 综上可知，a 的取值范围为(2， 3) (4)因为 yf(x)1，所以 u(x)x22ax3 的值域为2，)， 又 u(x)(xa)23a23a2， 则有 u(x)min3a22， 解得 a 1. 点 拨： 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与 1 的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、化归与转化思想的使用 (1)(2016青海平安一中月考)已知函数
17、 f(x)log12(x2axa)在区间(2，)上是减函数，则实数 a 的取值范围是_ 解：令 t(x)x2axa， 则由函数 f(x)在区间(2，)上是减函数，可得函数 t(x)在区间(2，)上是增函数，且 t(2)0，所以a22，t（2）4a0， 解得a4， 所以实数 a 的取值范围是 a4.故填(， 4 (2)( 2016南京师大附中等四校联考 ) 若 函 数 f(x)12x3，x2，logax，x2(a0 且 a1)的值域是2， )，则实数 a 的取值范围是_ 解：当 x2 时，f(x)12232，即函数的值域为2，)；当 x2 且 a1 时，f(x)loga2，即函数的值域为(log
18、a2，)，由(loga2，)2，)，得 loga22，解得 12 且 0a1 时，f(x)1， g(x)|xk|x1|，若对任意的x1，x2R，都有 f(x1)g(x2)成立，则实数 k 的取值范围为_ 解：对任意的 x1，x2R，都有 f(x1)g(x2)成立，即 f(x)maxg(x)min，由 yf(x)的图象(如图)可知，当x12时，f(x)取最大值，且 f(x)max14；因为 g(x) |xk|x1|xk(x1)|k1|，所以 g(x)min|k1|，所以|k1|14，解得 k34或 k54.故填 ，34 54， . 已知函数 f(x)loga(3ax)(a0 且a1) (1)当
19、x0，2时，函数 f(x)恒有意义，求实数 a的取值范围； (2)是否存在这样的实数 a，使得函数 f(x)在区间1，2上为减函数，并且最大值为 1？如果存在，试求出 a 的值；如果不存在，请说明理由 解：(1)设 t(x)3ax，则 t(x)是关于 x 的一次函数， 从而t（0）0，t（2）0， 所以 a0 且 a1，所以 a(0，1)1，32. (2)t(x)3ax，因为 a0，所以函数 t(x)为减函数 因为 f(x)在区间1， 2上为减函数， 所以 ylogat为增函数， 所以 a1， x1， 2时， t(x)最小值为 32a， f(x)最大值为 f(1)loga(3a)， 所以32a
20、0，loga（3a）1， 即a32，a32. 故不存在这样的实数 a， 使得函数 f(x)在区间1，2上为减函数，并且最大值为 1. 点 拨： 确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解在利用单调性时，一定要明确底数 a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件 (2018安徽蚌埠月考)已知函数 f(x)log4(4x1)2kx(kR)是偶函数 (1)求 k 的值； (2)若方程 f(x)m 有解，求实数 m 的取值范围 解：(
21、1)由函数 f(x)是偶函数，可知 f(x)f(x)，所以 log4(4x1)2kxlog4(4x1)2kx，即log44x14x14kx，所以 log44x4kx，所以 x4kx，即(14k)x0 对一切 xR 恒成立，所以 k14. (2)由 mf(x)log4(4x1)12xlog44x12xlog42x12x， 因为 2x12x2， 当且仅当 x0 时等号成立，所以 mlog4212.故要使方程 f(x)m 有解，实数 m 的取值范围为12， . 1熟练掌握指数式与对数式的互化，它不仅体现了两者之间的相互关系，而且为对数的计算、化简、证明等问题提供了更多的解题途径 2比较两个对数的大小
22、的基本方法 (1)若底数为同一常数，则由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对这一字母进行分类讨论 (2)若底数不同真数相同，则可先换底再进行比较 (3)若底数与真数都不同，则常借助 1，0 等中间量进行比较 3作对数函数 ylogax(a0，且 a1)的图象应抓住三个点1a，1 ，(1，0)，(a，1) 1计算：lg14lg25 12100( ) A1 B.110 C10 D20 解：原式(lg22lg52)10012lg12252 10lg1021021020.故选 D. 2已知 lgalgb0， 则函数 f(x)ax与函数 g(x)logbx 的图象可能是( ) A B
23、C D 解：因为 lgalgb0，所以 ab1，所以 g(x)logbxlogax， 故 f(x)与 g(x)的单调性相同故选 B. 3(2016全国卷)若 ab0， 0c1， 则( ) Alogaclogbc Blogcalogcb Caccb 解：因为 0c1，所以 ylogcx 在(0，)上单调递减，又 0ba，所以 logcalogcb.故选 B. 4定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)f(x)，f(x2)f(x2)，且 x(1，0)时，f(x)2x15，则f(log220)的值为 ( ) A1 B.45 C1 D45 解：由 f(x2)f(x2)，得 f(x)f(x4)，因为
24、4log2200， 且a1)的值域是4， )， 则实数 a 的取值范围是_ 解： 当 x2 时， f(x)4； 又函数 f(x)的值域为4，)，所以a1，3loga24， 解 1a2，所以实数 a的取值范围为(1，2故填(1，2 9(2016衡阳月考)已知函数 f(x)是定义在 R上的偶函数，且 f(0)0，当 x0 时，f(x)log12x. (1)求函数 f(x)的解析式； (2)解不等式 f(x21)2. 解：(1)当 x0，则 f(x)log12(x) 因为函数 f(x)是偶函数，所以 f(x)f(x) log12(x)， 所以函数 f(x)的解析式为 f(x)log12x，x0，0，
25、x0，log12（x），x0. (2)因为 f(4)log1242，f(x)是偶函数， 所以不等式 f(x21)2 转化为 f(|x21|)f(4) 又因为函数 f(x)在(0，)上是减函数，且 f(0)0f(4)2. 所以|x21|4，解得 5x0，且 a1)的最大值是 1， 最小值是18，求 a 的值 解：由题意知 f(x)12(logax1) (logax2) 12(logax)23logax212logax32218. 当 f(x)取最小值18时，logax32. 又因为 x2，8，所以 a(0，1) 因为 f(x)是关于 logax 的二次函数， 所以函数f(x)的最大值必在x2或x
26、8时取得， 若12loga2322181，则 a213， 此时 f(x)取得最小值时， x(213)32 22，8，舍去. 若12loga8322181，则 a12， 此时 f(x)取得最小值时， x12322 22， 8， 符合题意，所以 a12. 11已知函数 f(x)32log2x，g(x)log2x. (1)当 x1，4时，求函数 h(x)(f(x)1) g(x)的值域； (2) 如 果 对 任 意 的x1 ， 4 ， 不 等 式f(x2) f( x)k g(x)恒成立，求实数 k 的取值范围 解：(1)h(x)(42log2x) log2x2(log2x1)22， 因为 x1，4，所
27、以 log2x0，2， 故函数 h(x)的值域为0，2 (2)由 f(x2) f( x)k g(x)，得 (34log2x)(3log2x)k log2x， 令 tlog2x，因为 x1，4，所以 tlog2x0，2， 所以(34t)(3t)k t 对一切 t0，2恒成立， 当 t0 时，kR； 当 t(0，2时，k（34t）（3t）t恒成立，即 k0 且 a1)，如果对于任意的 x13，2 都有|f(x)|1 成立，则 a 的取值范围为_ 解：由已知 f(x)logax， 当 0a0， 当 a1 时，f13|f(2)|loga13loga2 loga230，故f13|f(2)|总成立 作 y|f(x)|的图象如图(上述结论也可由图象给出) 要使 x13，2 时恒有|f(x)|1，只需f131，即1loga131，即 logaa1loga13logaa， 当 a1 时，得 a113a，即 a3； 当 0a1 时，得 a113a，得 0a13. 综上所述， a 的取值范围是0，133， )故填 0，133，)