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1、1 对数与对数函数 建议用时：45 分钟 一、选择题 1函数 y log3（2x1）1的定义域是( ) A1，2 B1，2) C23， D(23，) C 由log3（2x1）10，2x10， 即log3（2x1）log313，x12，解得 x23. 2若函数 yf(x)是函数 yax(a0，且 a1)的反函数，且 f(2)1，则 f(x)( ) Alog2x B.12x Clog12x D2x2 A 由题意知 f(x)logax(a0，且 a1) f(2)1，loga21.a2.f(x)log2x. 3(2019 全国卷)已知 alog2 0.2，b20.2，c0.20.3，则( ) Aabc
2、 Bacb Ccab Dbca B alog20.20，b20.21，c0.20.3(0，1)，acb.故选 B. 4(2019 北京高考)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足 m2m152lgE1E2，其中星等为 mk的星的亮度为 Ek(k2 1，2)已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A1010.1 B10.1 Clg 10.1 D1010.1 A 由题意知，m126.7，m21.45， 所以52lg E1E21.45(26.7)25.25， 所以 lgE1E225.252510.1，所以E1E21010.
3、1.故选 A. 5设函数 f(x)loga|x|(a0，且 a1)在(，0)上单调递增，则 f(a1)与 f(2)的大小关系是( ) Af(a1)f(2) Bf(a1)f(2) Cf(a1)f(2) D不能确定 A 由已知得 0a1，所以 1a12，又易知函数 f(x)为偶函数，故可以判断 f(x)在(0，)上单调递减，所以 f(a1)f(2) 二、填空题 6计算：lg 0.001ln e21log23_ 1 原式lg 103ln e122log232312321. 7函数 f(x)loga(x24x5)(a1)的单调递增区间是_ (5，) 由函数 f(x)loga(x24x5)，得 x24x
4、50，得 x1 或 x5.令 m(x)x24x5，则 m(x)(x2)29，m(x)在2，)上单调递增，又由 a1 及复合函数的单调性可知函数 f(x)的单调递增区间为(5，) 8设函数 f(x)21x，x1，1log2x，x1，则满足 f(x)2 的 x 的取值范围是_ 0，) 当 x1 时，由 21x2，解得 x0，所以 0 x1； 当 x1 时，由 1log2x2，解得 x12，所以 x1. 综上可知 x0. 三、解答题 3 9设 f(x)loga(1x)loga(3x)(a0，且 a1)，且 f(1)2. (1)求 a 的值及 f(x)的定义域； (2)求 f(x)在区间0，32上的最
5、大值 解 (1)f(1)2，loga42(a0，且 a1)，a2. 由1x0，3x0，得1x3， 函数 f(x)的定义域为(1，3) (2)f(x)log2(1x)log2(3x) log2(1x)(3x)log2(x1)24， 当 x(1，1时，f(x)是增函数； 当 x(1，3)时，f(x)是减函数， 故函数 f(x)在0，32上的最大值是 f(1)log242. 10已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，f(0)0，当 x0 时，f(x)log12x. (1)求函数 f(x)的解析式； (2)解不等式 f(x21)2. 解 (1)当 x0 时，x0， 则 f(x)log12(x)
6、因为函数 f(x)是偶函数，所以 f(x)f(x) 所以 x0 时，f(x)log12(x)， 所以函数 f(x)的解析式为 f(x)log12x，x0，0，x0，log12（x），x0. (2)因为 f(4)log1242，f(x)是偶函数， 所以不等式 f(x21)2 可化为 f(|x21|)f(4) 又因为函数 f(x)在(0，)上是减函数， 所以 0|x21|4，解得 5x 5且 x 1， 而 x210 时，f(0)02， 4 所以 5x 5. 1已知 a，b0 且 a1，b1，若 logab1，则( ) A(a1)(b1)0 B(a1)(ab)0 C(b1)(ba)0 D(b1)(b
7、a)0 D 由 a，b0 且 a1，b1，及 logab1logaa 可得，当 a1 时，ba1，当 0a1 时，0ba1， 代入验证只有 D 项满足题意 2已知 f(x)lg(10 x)lg(10 x)，则( ) Af(x)是奇函数，且在(0，10)上是增函数 Bf(x)是偶函数，且在(0，10)上是增函数 Cf(x)是奇函数，且在(0，10)上是减函数 Df(x)是偶函数，且在(0，10)上是减函数 D 函数 f(x)的定义域为(10，10)， 又f(x)lg(10 x)lg(10 x)f(x)， f(x)为偶函数 又 f(x)lg(100 x2)， 令 t100 x2，易知 t 在(0，
8、10)上是减函数，结合复合函数可知，故 f(x)在(0，10)上是减函数，故选 D. 3关于函数 f(x)lg x21|x|(x0，xR)有下列命题： 函数 yf(x)的图象关于 y 轴对称； 在区间(，0)上，函数 yf(x)是减函数； 函数 f(x)的最小值为 lg 2； 在区间(1，)上，函数 f(x)是增函数 其中是真命题的序号为_ 函数 f(x)lgx21|x|(x0，xR)，显然 f(x)f(x)， 即函数 f(x)为偶函数，图象关于 y 轴对称，故正确； 当 x0 时，f(x)lgx21|x|lgx21xlg(x1x)， 5 令 t(x)x1x，x0，则 t(x)11x2，可知当
9、 x(0，1)时，t(x)0，t(x)单调递减，当 x(1，)时，t(x)0，t(x)单调递增，即 f(x)在 x1 处取得最小值 lg 2.由偶函数的图象关于 y 轴对称及复合函数的单调性可知错误， 正确，正确，故答案为. 4已知函数 f(x)loga(x1)loga(1x)，a0，且 a1. (1)求 f(x)的定义域； (2)判断 f(x)的奇偶性，并予以证明； (3)当 a1 时，求使 f(x)0 的 x 的取值范围 解 (1)因为 f(x)loga(x1)loga(1x)， 所以x10，1x0，解得1x1. 故所求函数的定义域为x|1x1 (2)f(x)为奇函数 证明如下：由(1)知
10、 f(x)的定义域为x|1x1，且 f(x)loga(x1)loga(1x)loga(x1)loga(1x)f(x)故 f(x)为奇函数 (3)因为当 a1 时， f(x)在定义域x|1x1上是增函数， 由 f(x)0， 得x11x1，解得 0 x1.所以 x 的取值范围是(0，1) 1设实数 a，b 是关于 x 的方程|lg x|c 的两个不同实数根，且 ab10，则 abc 的取值范围是_ (0，1) 由题意知，在(0，10)上，函数 y|lg x|的图象和直线 yc 有两个不同交点，所以 ab1，0clg 101，所以 abc 的取值范围是(0，1) 2若函数 f(x)loga(2xa)在区间12，23上恒有 f(x)0，求实数 a 的取值范围 解 当 0a1 时， 函数 f(x)在区间12，23上是减函数， 所以 loga(43a)0，即 043a1， 6 又 212a0，解得13a43，且 a1，故13a1； 当 a1 时，函数 f(x)在区间12，23上是增函数， 所以 loga(1a)0，即 1a1，且 212a0， 解得 a0，且 a1，此时无解 综上所述，实数 a 的取值范围是(13，1)