高考数学一轮复习总教案:2.10 函数的综合应用.doc

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1、淘宝店铺:漫兮教育2.10函数的综合应用典例精析题型一抽象函数的计算或证明【例1】已知函数 f (x)对于任何实数x,y都有 f(xy)f(xy)2f(x)f(y),且f(0)0.求证: f(x)是偶函数.【证明】因为对于任何实数x、y都有 f(xy)f(xy)2f(x)f(y),令xy0,则f(0)f(0)2f(0)f(0),所以2f(0)2f(0)f(0),因为f(0)0,所以f(0)1,令x0,yx,则f(0x)f(0x)2f(0)f(x),所以f(x)f(x)2f(x),所以f(x)f(x),故f(x)是偶函数.【点拨】对于判断抽象函数的奇偶性问题常常采用“赋值法”探索求解途径;判断或

2、证明抽象函数的奇偶性单调性时,既要扣紧函数奇偶性单调性的定义,又要灵活多变,以创造条件满足定义的要求.【变式训练1】已知函数f(x)对任意的x,y有f(xy)f(x)f(y),且f(x)的定义域为R,请判定f(x)的奇偶性.【解析】取xy0,得f(0)0.取yx,得f(x)f(x),所以f(x)为奇函数.题型二函数与导数的综合应用来源:【例2】已知函数f(x)x32x2ax1.(1)若函数f(x)在点(1,f(1)处的切线斜率为4,求实数a的值;(2)若函数g(x)f(x)在区间(1,1)上存在零点,求实数a的取值范围.【解析】由题意得g(x)f(x)3x24xa.(1)f(1)34a4,所以

3、a3.(2)方法一:当g(1)a10,即a1时,g(x)f(x)的零点x(1,1);当g(1)7a0,即a7时,f(x)的零点x(1,1),不合题意;来源:数理化网当g(1)g(1)0时,1a7;当时,a1.综上所述,a,7).方法二:g(x)f(x)在区间(1,1)上存在零点,等价于3x24xa在区间(1,1)上有解,也等价于直线ya与曲线y3x24x,x(1,1)有公共点,作图可得a,7).方法三:等价于当x(1,1)时,求值域:a3x24x3(x)2,7).【变式训练2】二次函数yax2bxc(a0)的图象与坐标轴交于(1,0)和(0,1),且其顶点在第四象限,则abc的取值范围为.来源

4、:【解析】由已知c1,abc0,所以abc2a2.又0a1,所以abc(2,0).题型三化归求函数的最大值和最小值问题【例3】某个体经营者把开始6个月试销售A、B两种商品的逐月投资与所获得的纯利润列成下表:投资A商品(万元)123456获纯利(万元)0.651.391.8521.84来源:1.40投资B商品(万元)123456获纯利(万元)0.250.490.7611.261.51该经营者下月投入12万元经营这两种商品,但不知投入A、B两种商品各多少才能获得最大的利润,请你帮助制定一个资金投入方案,使该经营者能获得最大利润,并根据你的方案求出经营者下个月可能获得的最大利润(结果保留两个有效数字

5、).【解析】以投资金额为横坐标,纯利润为纵坐标,可以在直角坐标系中画出图象.据此可以考虑用下列函数描述上述两组数据之间的对应关系ya(x4)22 (a0),ybx,把x1,y0.65代入得a0.15,故前6个月所获得的纯利润关于投资A商品的金额函数关系式可近似的用y0.15(x4)22表示,再把x4,y1代入可得b0.25,故前6个月所获得的纯利润关于投资B商品的金额函数关系式可近似的用y0.25x表示,设下个月投资A商品x万元,则投资B商品(12x)万元,则可获得纯利润为y0.15(x4)220.25(12x)0.15x20.95x2.6,可得当x3.2时,y取最大值4.1万元.故下个月分别

6、投资A、B两种商品3.2万元和8.8万元可获得最大利润4.1万元.【点拨】本题可以用两个函数近似地表示两种投资方案,是估计思想的体现.根据表中所列数据,把近似函数的解析式求出来,由此求得最大利润.解决此类问题的关键在于根据列出的散点图来选取适当的函数模型,然后求出待定系数便可求得函数解析式,再由解析式求最优解.【变式训练3】求函数y的值域.【解析】x0时,y0;x0时,y,所以0y1;x0时,y,所以y0.综上,y1.总结提高1.函数把数学各个分支紧紧地连在一起,函数与方程、不等式、数列、几何、三角函数彼此渗透、互相融合,构成了函数应用的广泛性、解法的多样性、思维的创造性.解这类综合问题应注意

7、如下几点: (1)在解题时有些函数的性质并不明显,深入挖掘这些隐含条件,将获得简捷解法; (2)应坚持“定义域优先”的原则,先弄清自变量的取值范围; (3)函数思想处处存在,要重视对函数思想的研究和应用,在解题时,要有意识地引进变量,建立相关函数关系,利用有关函数知识解决问题.2.解函数应用题的基本步骤:(1)阅读理解,审清题意.读题要逐字逐句,读懂题中的文字叙述,理解叙述所表达的实际背景,在此基础上分析出已知什么,求什么,从中提炼出相应的数学问题;(2)引进数学符号,建立数学模型.一般地,设自变量为x,函数为y,必要时引进其他相关辅助变量,并用x、y和辅助变量表示各相关量,然后再根据问题已知条件,运用已掌握的数学知识、物理知识和其他相关知识建立关系式,在此基础上,将实际问题转化为函数问题,实现问题数学化,即建立数学模型;(3)利用数学方法将得到的常规函数问题予以解答,求出结果;来源:(4)将所得结果转译成具体问题的解答.

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