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1、6.5数列的综合应用典例精析题型一函数与数列的综合问题【例1】已知f(x)logax(a0且a1)，设f(a1)，f(a2)，f(an)(nN*)是首项为4，公差为2的等差数列.(1)设a是常数，求证：an成等比数列；来源:(2)若bnanf(an)，bn的前n项和是Sn，当a时，求Sn.【解析】(1)f(an)4(n1)×22n2，即logaan2n2，所以ana2n2，所以a2(n2)为定值，所以an为等比数列. (2)bnanf(an)a2n2logaa2n2(2n2)a2n2，当a时，bn(2n2) ·()2n2(n1) ·2n2，Sn2·233
2、·244·25(n1) ·2n2，2Sn2·243·25n·2n2(n1)·2n3，两式相减得Sn2·2324252n2(n1)·2n316(n1)·2n3，来源:所以Snn·2n3.【点拨】本例是数列与函数综合的基本题型之一，特征是以函数为载体构建数列的递推关系，通过由函数的解析式获知数列的通项公式，从而问题得到求解.【变式训练1】设函数f(x)xmax的导函数f(x)2x1，则数列(nN*)的前n项和是()A. B. C. D.【解析】由f(x)mxm1a2x1得m2，a1.所以f
3、(x)x2x，则.所以Sn11.故选C.题型二数列模型实际应用问题【例2】某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2009年底全县的绿化率已达30%，从2010年开始，每年将出现这样的局面：原有沙漠面积的16%将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4%又被沙化.(1)设全县面积为1,2009年底绿化面积为a1，经过n年绿化面积为an1，求证：an1an；(2)至少需要多少年(取整数)的努力，才能使全县的绿化率达到60%？来源:【解析】(1)证明：由已知可得an确定后，an1可表示为an1an(14%)(1an)16%，即an180%an16%an.来源:数理化网(2)由an
4、1an有，an1(an)，又a10，所以an1·()n，即an1·()n，若an1，则有·()n，即()n1，(n1)lg lg 2，(n1)(2lg 2lg 5)lg 2，即(n1)(3lg 21)lg 2，所以n14，nN*，所以n取最小整数为5，故至少需要经过5年的努力，才能使全县的绿化率达到60%.【点拨】解决此类问题的关键是如何把实际问题转化为数学问题，通过反复读题，列出有关信息，转化为数列的有关问题.【变式训练2】规定一机器狗每秒钟只能前进或后退一步，现程序设计师让机器狗以“前进3步，然后再后退2步”的规律进行移动.如果将此机器狗放在数轴的原点，面向正
5、方向，以1步的距离为1单位长移动，令P(n)表示第n秒时机器狗所在的位置坐标，且P(0)0，则下列结论中错误的是()A.P(2 006)402B.P(2 007)403C.P(2 008)404D.P(2 009)405【解析】考查数列的应用.构造数列Pn，由题知P(0)0，P(5)1，P(10)2，P(15)3.所以P(2 005)401，P(2 006)4011402，P(2 007)40111403，P(2 008)4013404，P(2 009)4041403.故D错.题型三数列中的探索性问题【例3】an，bn为两个数列，点M(1,2)，An(2，an)，Bn(，)为直角坐标平面上的点
6、.(1)对nN*，若点M，An，Bn在同一直线上，求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足log2Cn，其中Cn是第三项为8，公比为4的等比数列，求证：点列(1，b1)，(2，b2)，(n，bn)在同一直线上，并求此直线方程.【解析】(1)由，得an2n.(2)由已知有Cn22n3，由log2Cn的表达式可知：2(b12b2nbn)n(n1)(2n3)，所以2b12b2(n1)bn1(n1)n(2n5).得bn3n4，所以bn为等差数列.故点列(1，b1)，(2，b2)，(n，bn)共线，直线方程为y3x4.【变式训练3】已知等差数列an的首项a1及公差d都是整数，前n项和为Sn(nN*).
7、若a11，a43，S39，则通项公式an.【解析】本题考查二元一次不等式的整数解以及等差数列的通项公式.由a11，a43，S39得令xa1，yd得在平面直角坐标系中画出可行域如图所示.符合要求的整数点只有(2,1)，即a12，d1.所以an2n1n1.故答案填n1.总结提高1.数列模型应用问题的求解策略(1)认真审题，准确理解题意；(2)依据问题情境，构造等差、等比数列，然后应用通项公式、前n项和公式以及性质求解，或通过探索、归纳构造递推数列求解；(3)验证、反思结果与实际是否相符.2.数列综合问题的求解策略(1)数列与函数综合问题或应用数学思想解决数列问题，或以函数为载体构造数列，应用数列的知识求解；(2)数列的几何型综合问题，探究几何性质和规律特征建立数列的递推关系式，然后求解问题.来源: