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1、淘宝店铺：漫兮教育7.5不等式的综合应用典例精析题型一含参数的不等式问题【例1】若不等式组的解集中所含整数解只有2，求k的取值范围.【解析】由x2x20有x1或x2，由2x2(52k)x5k0有(2x5)(xk)0.因为2是原不等式组的解，所以k2.由(2x5)(xk)0有xk.因为原不等式组的整数解只有2，所以2k3，即3k2，故k的取值范围是3,2).【点拨】涉及到含参数的不等式解集的有关问题时，借助数轴分析，往往直观、简洁.【变式训练1】不等式(1)na2对任意nN*恒成立，求实数a的取值范围.【解析】当n为奇数时，a2，即a(2).而(2)2，则a2；当n为偶数时，a2，而22，所以a
2、.综上可得2a.【点拨】不等式中出现了(1)n的时候，常常分n为奇数和偶数进行分类讨论.题型二不等式在函数中的应用【例2】已知函数f(x)在区间1,1上是增函数.(1)求实数a的值组成的集合A；(2)设x1，x2是关于x的方程f(x)的两个相异实根，若对任意aA及t1,1，不等式m2tm1|x1x2|恒成立，求实数m的取值范围.【解析】(1)f(x)，因为f(x)在1,1上是增函数，所以当x1,1时，f(x)0恒成立，令(x)x2ax2，即x2ax20恒成立.来源:所以Aa|1a1.(2)由f(x)得x2ax20.设x1，x2是方程x2ax20的两个根，所以x1x2a，x1x22.来源:从而|
3、x1x2|，因为a1,1，所以3，即|x1x2|max3.不等式对任意aA及t1,1不等式恒成立，即m2tm20恒成立.设g(t)m2tm2mtm22，则解得m2或m2.来源:故m的取值范围是(，22，).【点拨】对于在给定区间上恒成立的不等式问题，通常可以转化为给定区间上的函数最大值(最小值)大于零(或小于零)，亦可分离变量或者利用数形结合的方法，分离变量和数形结合更加简单明了.【变式训练2】设a，b0，且ab1，不等式恒成立，则的取值范围是.来源:【解析】1，).因为ab1，所以1，所以1.题型三不等式在实际问题中的应用【例3】某森林出现火灾，火势正以100 m2/分钟的速度顺风蔓延，消防
4、站接到报警立即派消防队员前去，在火灾发生后5分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人灭火50 m2/分钟，所消耗的灭火材料，劳务津贴等费用为人均125元/分钟，另附加每次救火所耗损的车辆，器械和装备等费用人均100元，而烧毁森林的损失费60元/m2，问应该派多少消防队员前去救火才能使总损失最少？【解析】设派x名消防队员前去救火，用t分钟将火扑灭，总损失为y，则t，y灭火劳务津贴车辆、器械装备费森林损失费125xt100x60(500100t)125x×100x30 000100(x2)31 450231 45036 450，当且仅当100(x2)，即x27时，y有最小值36 45
5、0，故应派27人前去救火才能使总损失最少，最少损失36 450元.【点拨】本题需要把实际问题抽象为数学问题，建立不等式模型，利用基本不等式求最值，基本不等式是历年高考考查的重要内容.来源:学§科§网【变式训练3】某学校拟建一块周长为400 m的操场，如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？【解析】设中间矩形区域的长，宽分别为x m，y m，中间的矩形区域面积为S，则半圆的周长为，因为操场周长为400，所以2x2×400，即2xy400(0x200,0y)，所以Sxy
6、3;(2x)·(y)·2，由解得来源:学§科§网所以当且仅当时等号成立，即把矩形的长和宽分别设计为100 m和m时，矩形区域面积最大.总结提高1.不等式应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围，或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用基本不等式求最值问题.不等式的综合题主要是不等式与函数、解析几何、数列、三角函数等知识的综合.解决这些问题的关键是找出综合题的各部分知识及联系，充分利用数学思想和数学方法解题.2.建立不等式的主要途径有：利用基本不等式；利用问题的几何意义；利用判别式；利用函数的有界性；利用函数的单调性等.3.解答不等式的实际应用问题一般分四步，即审题、建模、求解、检验.