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1、5.8 三角函数的综合应用典例精析题型一利用三角函数的性质解应用题【例1】如图，ABCD是一块边长为100 m的正方形地皮，其中AST是一半径为90 m的扇形小山，其余部分都是平地.一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在上，相邻两边CQ、CR分别落在正方形的边BC、CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值.【解析】如图，连接AP，过P作PMAB于M.设PAM，0，来源:则PM90sin ，AM90cos ，所以PQ10090cos ，PR10090sin ，于是S四边形PQCRPQ·PR(10090cos )(10090sin )8 100sin cos 9
2、 000(sin cos )10 000.设tsin cos ，则1t，sin cos .S四边形PQCR8 100·9 000t10 000来源:4 050(t)2950 (1t).当t时，(S四边形PQCR)max14 0509 000 m2；当t时，(S四边形PQCR)min950 m2.【点拨】同时含有sin cos ，sin ±cos 的函数求最值时，可设sin ±cos t，把sin cos 用t表示，从而把问题转化成关于t的二次函数的最值问题.注意t的取值范围.【变式训练1】若0x，则4x与sin 3x的大小关系是()A.4xsin 3xB.4xsi
3、n 3xC.4xsin 3xD.与x的值有关【解析】令f(x)4xsin 3x，则f(x)43cos 3x.因为f(x)43cos 3x0，所以f(x)为增函数.又0x，所以f(x)f(0)0，即得4xsin 3x0.所以4xsin 3x.故选A.题型二函数yAsin(x)模型的应用【例2】已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0t24，单位：小时)的函数，记作yf(t).下表是某日各时的浪花高度数据.经长期观测，yf(t)的曲线可近似地看成是函数yAcos tb.(1)根据以上数据，求出函数yAcos tb的最小正周期T、振幅A及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱
4、好者开放. 请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？来源:【解析】(1)由表中数据知，周期T12，所以.由t0，y1.5，得Ab1.5，由t3，y1.0，得b1.0，所以A0.5，b1，所以振幅为.所以ycos t1.(2)由题知，当y1时才可对冲浪者开放，所以cos t11，所以cos t0，所以2kt2k，即12k3t12k3.因为0t24，故可令中k分别为0,1,2，得0t3或9t15或21t24.故在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9：00至下午15：00.【点拨】用yAsin(x)模
5、型解实际问题，关键在于根据题目所给数据准确求出函数解析式.【变式训练2】如图，一个半径为10 m的水轮按逆时针方向每分钟转4圈，记水轮上的点P到水面的距离为d m(P在水面下则d为负数)，则d(m)与时间t(s)之间满足关系式：dAsin(t)k(A0，0，)，且当点P从水面上浮现时开始计算时间，有以下四个结论：A10；k5.其中正确结论的序号是.【解析】.题型三正、余弦定理的应用【例3】为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量，A、B、M、N在同一个铅垂平面内(如图所示)，飞机能测量的数据有俯角和A、B之间的距离，请设计一个方案，包括：(1)指出需测量的数据(用字母表
6、示，并在图中标示)；(2)用文字和公式写出计算M、N间距离的步骤.【解析】(1)如图所示：测AB间的距离a；测俯角MAB，NAB，MBA，NBA.(2)在ABM中 ，AMB，由正弦定理得BM，来源:同理在BAN中，BN，所以在BMN中，由余弦定理得MN.【变式训练3】一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是海里/小时.【解析】本题考查实际模型中的解三角形问题.依题意作出简图，易知AB10，OCB60°，OCA75°
7、.我们只需计算出OC的长，即可得出船速.在直角三角形OCA和OCB中，显然有tanOCBtan 60°且tanOCAtan 75°，因此易得ABOAOBOC(tan 75°tan 60°)，即有OC5.由此可得船的速度为5海里÷0.5小时10海里/小时.总结提高1.解三角形的应用题时应注意：来源:(1)生活中的常用名词，如仰角，俯角，方位角，坡比等；(2)将所有已知条件化入同一个三角形中求解；(3)方程思想在解题中的运用.2.解三角函数的综合题时应注意：(1)与已知基本函数对应求解，即将x视为一个整体X；(2)将已知三角函数化为同一个角的一种三角函数，如yAsin(x)B或yasin2xbsin xc；(3)换元方法在解题中的运用.