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1、结构稳定分析第1页，此课件共56页哦12-1.12-1.结构稳定分析基本概念结构稳定分析基本概念12-2.12-2.有限自由度体系稳定计算有限自由度体系稳定计算12-3.12-3.有限自由度体系的稳定有限自由度体系的稳定静力法和能量静力法和能量法法12-4.12-4.无限自由度体系临界荷载无限自由度体系临界荷载 静力法静力法12-5.12-5.无限自由度体系临界荷载无限自由度体系临界荷载 能量法能量法12-6.12-6.刚架稳定计算刚架稳定计算 目录第2页，此课件共56页哦12-1 结构稳定分析基本概念结构稳定分析基本概念一概念一概念q稳定平衡状态稳定平衡状态结构原来处于某个平衡状态结构原来处
2、于某个平衡状态,由于受到轻微干扰而偏离其原来由于受到轻微干扰而偏离其原来位置，当干扰消失后，结构位置，当干扰消失后，结构能够能够回到原来位置。回到原来位置。稳定平衡状态稳定平衡状态第3页，此课件共56页哦q不稳定平衡状态不稳定平衡状态12-1 12-1 两类稳定问题概述两类稳定问题概述结构原来处于某个平衡状态结构原来处于某个平衡状态,由于由于受到轻微干扰而偏离其原来位置，受到轻微干扰而偏离其原来位置，当干扰消失后，结构当干扰消失后，结构不能够不能够回到原回到原来位置。来位置。不稳定平衡状态不稳定平衡状态q中性平衡状态中性平衡状态结构由稳定平衡到不稳定平衡过渡结构由稳定平衡到不稳定平衡过渡的中间
3、状态。的中间状态。中性平衡状态中性平衡状态第4页，此课件共56页哦12-1 12-1 两类稳定问题概述两类稳定问题概述q失稳失稳随着荷载的逐渐增大随着荷载的逐渐增大,结构的原始平衡状态可能由稳定平衡状结构的原始平衡状态可能由稳定平衡状态转变为不稳定平衡状态态转变为不稳定平衡状态,这时原始平衡状态丧失其稳定性简这时原始平衡状态丧失其稳定性简称为失稳。称为失稳。基本形式有两种基本形式有两种：u分支点失稳分支点失稳 u极值点失稳极值点失稳第5页，此课件共56页哦12-1 12-1 两类稳定问题概述两类稳定问题概述q压杆的完善体系压杆的完善体系(理想体系）理想体系）杆件杆件轴线轴线是理想的直线是理想的
4、直线(没有初曲率没有初曲率），），荷载荷载 是理想的是理想的中心受压荷载中心受压荷载(没有偏心没有偏心)q压杆的非完善体系压杆的非完善体系具有具有初曲率初曲率或承受或承受偏心荷载偏心荷载的压杆的压杆第6页，此课件共56页哦完善体系完善体系A AB BC CD DD D(稳定稳定)(不稳定不稳定)(大挠度理论大挠度理论)(小挠度理论小挠度理论)0 0B B点点:分支点分支点 OB OB段段:稳定平衡稳定平衡 BC BC段段:不稳定平衡不稳定平衡12-1 12-1 两类稳定问题概述两类稳定问题概述二两类失稳二两类失稳q分支点失稳分支点失稳 ：第7页，此课件共56页哦非完善体系非完善体系A AB B
5、(极值点极值点)C C大挠度理论大挠度理论小挠度理论小挠度理论0 0B B点点:极值点极值点 OB OB段段:稳定平衡稳定平衡 BC BC段段:不不稳定平衡稳定平衡12-1 12-1 两类稳定问题概述两类稳定问题概述q2 2极值点失稳极值点失稳 ：第8页，此课件共56页哦fA AC CB BD DE EF F发生跳跃现象发生跳跃现象:AB:AB段为稳定平衡，段为稳定平衡，BCDBCD为不稳定平衡为不稳定平衡若无控制机构，实际曲线为若无控制机构，实际曲线为ABFGABFG段，段，B B点机构发生跳跃点机构发生跳跃12-1 12-1 两类稳定问题概述两类稳定问题概述q3 3扁拱式结构失稳扁拱式结构
6、失稳 ：第9页，此课件共56页哦12-2 12-2 有限自由度体系稳定计算有限自由度体系稳定计算 稳定自由度稳定自由度确定体系变形状态所需要的独立几何参数的数目确定体系变形状态所需要的独立几何参数的数目一单自由度完善体系的分支点失稳一单自由度完善体系的分支点失稳 k kA AB B图（图（a a）k kA AB BB B图（图（b b）第10页，此课件共56页哦12-2 12-2 两类稳定问题计算简例两类稳定问题计算简例q大挠度理论大挠度理论：图（图（b b）列平衡方程：）列平衡方程：代入上式代入上式解解A A0 0C C(稳定)(不稳定)(不稳定不稳定)第11页，此课件共56页哦12-2 1
7、2-2 两类稳定问题计算简例两类稳定问题计算简例解为解为:A A0 0C C(稳定稳定)(不稳定不稳定)(随遇平衡随遇平衡)q2 2小小挠度理论挠度理论：第12页，此课件共56页哦12-2 12-2 两类稳定问题计算简例两类稳定问题计算简例kAB图（图（a a）kAB图（图（b b）B二单自由度非完善体系的极值点失稳二单自由度非完善体系的极值点失稳第13页，此课件共56页哦12-2 12-2 两类稳定问题计算简例两类稳定问题计算简例q大挠度理论大挠度理论：图（图（b b）列平衡方程：）列平衡方程：代入上式代入上式第14页，此课件共56页哦解为解为:q2 2小小挠度理论挠度理论：12-2 12-
8、2 两类稳定问题计算简例两类稳定问题计算简例第15页，此课件共56页哦12-2 12-2 两类稳定问题计算简例两类稳定问题计算简例q结构的失稳存在结构的失稳存在两种基本形式两种基本形式。一般说来，。一般说来，完善体系是分支点失完善体系是分支点失稳稳，非完善体系是极值点失稳非完善体系是极值点失稳。q分支点失稳形式分支点失稳形式的特征是的特征是存在不同平衡路径的交叉存在不同平衡路径的交叉，在交叉点处出现，在交叉点处出现平衡形式的二重性。平衡形式的二重性。极值点失稳形式极值点失稳形式的特征是虽然只存在一个平衡的特征是虽然只存在一个平衡路径，但路径，但平衡路径上出现极值点平衡路径上出现极值点。q结构稳
9、定问题只有根据大挠度理论才能得出精确的结论，但从实用结构稳定问题只有根据大挠度理论才能得出精确的结论，但从实用的观点看，小挠度理论也有其优点，特别上分支点失稳问题中通常的观点看，小挠度理论也有其优点，特别上分支点失稳问题中通常也能得出临界荷载的正确值。也能得出临界荷载的正确值。三三.几点认识几点认识第16页，此课件共56页哦12-3.有限自由度体系的稳定有限自由度体系的稳定静力法和能量法静力法和能量法确定临界荷载的基本方法：确定临界荷载的基本方法：q静力法静力法根据临界状态的根据临界状态的静力特征静力特征而提出的方法而提出的方法q能量法能量法根据临界状态的根据临界状态的能量特征能量特征而提出的
10、方法而提出的方法一静力法一静力法在分支点失稳中，临界状态的在分支点失稳中，临界状态的静力特征静力特征是是平衡形式的二平衡形式的二重性。重性。静力法的静力法的要点要点是是在原始平衡路径在原始平衡路径之外寻找新的平之外寻找新的平衡路径衡路径，确定二者交叉的分支点，由此求出临界荷载。，确定二者交叉的分支点，由此求出临界荷载。第17页，此课件共56页哦12-12-有限自由度体系的稳定有限自由度体系的稳定静力法和能量法静力法和能量法图（图（a a）kA AB BA AB BB B图（图（b b）图（图（a a）为原始平衡形式，）为原始平衡形式，图（图（b b）为新的平衡形式。）为新的平衡形式。根据小挠度
11、理论，图根据小挠度理论，图（b b）的平衡方程为：）的平衡方程为：代入（代入（a a）解为解为:第18页，此课件共56页哦特征方程、稳定方程临界荷载：临界荷载：12-12-有限自由度体系的稳定有限自由度体系的稳定静力法和能量法静力法和能量法非零解：非零解：第19页，此课件共56页哦12-12-有限自由度体系的稳定有限自由度体系的稳定静力法和能量法静力法和能量法二能量法二能量法分支点失稳中分支点失稳中,临界状态的临界状态的能量特征能量特征是是势能为驻值且位移有非零解势能为驻值且位移有非零解.图（图（a a）kA AB BA AB BB B图（图（b b）把荷载把荷载F FP P看作重量看作重量,
12、体系的势能体系的势能E EP P为弹簧为弹簧应变能应变能U U与荷载势能与荷载势能U UP P之和。之和。第20页，此课件共56页哦临界荷载：临界荷载：12-12-有限自由度体系的稳定有限自由度体系的稳定静力法和能量法静力法和能量法A AB BB B图（图（b b）第21页，此课件共56页哦000讨论体系势能的变化12-12-有限自由度体系的稳定有限自由度体系的稳定静力法和能量法静力法和能量法第22页，此课件共56页哦q若若 则关系曲线如图（则关系曲线如图（a a）所示，当（）所示，当（00）时，势能时，势能 恒为正值，即恒为正值，即势能是正定势能是正定的。当体系处于原始的。当体系处于原始平衡
13、状态（平衡状态（=0=0）时，势能为最小。因而原始平衡状态是）时，势能为最小。因而原始平衡状态是稳定平衡状态。稳定平衡状态。q若若 则关系曲线如图（则关系曲线如图（c c）所示，当（）所示，当（00）时，势能恒为负值，即时，势能恒为负值，即势能是负定势能是负定的。当体系处于原始平的。当体系处于原始平衡状态（衡状态（=0=0）时，势能为最大。因而原始平衡状态是不）时，势能为最大。因而原始平衡状态是不稳定平衡状态。稳定平衡状态。q若若 则关系曲线如图（则关系曲线如图（b b）所示，势能恒为零，）所示，势能恒为零，体系处于中性平衡状态，即临界状态，这时的荷载称为临体系处于中性平衡状态，即临界状态，这
14、时的荷载称为临界荷载。因此，临界状态的能量特征也可表述为：界荷载。因此，临界状态的能量特征也可表述为：在荷载在荷载达到临界荷载的前后，势能由正定过渡到非正定。对于单达到临界荷载的前后，势能由正定过渡到非正定。对于单自由度体系，则由正定过渡到负定。自由度体系，则由正定过渡到负定。12-12-有限自由度体系的稳定有限自由度体系的稳定静力法和能量法静力法和能量法第23页，此课件共56页哦12-12-有限自由度体系的稳定有限自由度体系的稳定静力法和能量法静力法和能量法【例例12.112.1 】图示是具有两个变形自由度的体系，其中图示是具有两个变形自由度的体系，其中ABAB、BCBC、CDCD各杆为刚性
15、杆，试用两种方法求临界荷载各杆为刚性杆，试用两种方法求临界荷载kkABCD(a(a)kkABCD(b(b)BC第24页，此课件共56页哦12-12-有限自由度体系的稳定有限自由度体系的稳定静力法和能量法静力法和能量法解：体系由原始平衡状态（体系由原始平衡状态（a a）转到任意变形状态（）转到任意变形状态（b b），支座反力为：），支座反力为：静力法静力法1 1变形状态的平衡条件为变形状态的平衡条件为：第25页，此课件共56页哦12-12-有限自由度体系的稳定有限自由度体系的稳定静力法和能量法静力法和能量法q若系数行列式不等于若系数行列式不等于0 0，则零解是齐次方程（，则零解是齐次方程（a a
16、）的唯一解，原）的唯一解，原始平衡形式是体系唯一的平衡形式始平衡形式是体系唯一的平衡形式q若系数行列式等于若系数行列式等于0 0，齐次方程（，齐次方程（a a）有非零解，除原始平衡形式）有非零解，除原始平衡形式外，体系还有新的平衡形式。平衡形式具有二重性，这就是体系处外，体系还有新的平衡形式。平衡形式具有二重性，这就是体系处于临界状态的静力特征。所以稳定问题的特征方程（稳定方程）为：于临界状态的静力特征。所以稳定问题的特征方程（稳定方程）为：第26页，此课件共56页哦12-12-有限自由度体系的稳定有限自由度体系的稳定静力法和能量法静力法和能量法能量法能量法2 2kkABCD(b(b)BCD
17、D点的水平位移为：点的水平位移为：弹性支座的应变能为：弹性支座的应变能为：荷载势能为：荷载势能为：第27页，此课件共56页哦体系的势能为：体系的势能为：12-12-有限自由度体系的稳定有限自由度体系的稳定静力法和能量法静力法和能量法应用势能驻值条件：应用势能驻值条件：得得:第28页，此课件共56页哦稳定问题的特征方程（稳定方程）为：稳定问题的特征方程（稳定方程）为：12-12-有限自由度体系的稳定有限自由度体系的稳定静力法和能量法静力法和能量法第29页，此课件共56页哦讨论势能的正定性讨论势能的正定性12-12-有限自由度体系的稳定有限自由度体系的稳定静力法和能量法静力法和能量法第30页，此课
18、件共56页哦12-12-有限自由度体系的稳定有限自由度体系的稳定静力法和能量法静力法和能量法如果 ，则势能是正定的如果 ，则势能是半正定的如果 ，则势能是不定的如果 ，是半负定的如果 ，则势能是负定的 第31页，此课件共56页哦12-4 12-4 无限自由度体系的稳定无限自由度体系的稳定静力法静力法解题思路：解题思路：q对变形状态建立平衡微分方程对变形状态建立平衡微分方程q根据平衡形式的二重性建立特征方程根据平衡形式的二重性建立特征方程q由特征方程求出临界荷载由特征方程求出临界荷载第32页，此课件共56页哦xyyxEI在临界状态下，体系出现新的平衡，弹在临界状态下，体系出现新的平衡，弹性曲线的
19、微分方程为：性曲线的微分方程为：12-412-4无限自由度体系的稳定无限自由度体系的稳定静力法静力法令令 上式改写为：上式改写为：上式的解为：上式的解为：第33页，此课件共56页哦由边界条件确定由边界条件确定A A、B B及及F FR R：y(x)y(x)不能恒为不能恒为0 0，所以，所以y04.4934.49312-412-4无限自由度体系的稳定无限自由度体系的稳定静力法静力法第34页，此课件共56页哦12-412-4无限自由度体系的稳定无限自由度体系的稳定静力法静力法【例例12.212.2 】求图示排架的临界荷载求图示排架的临界荷载 和柱和柱ABAB的计算长度的计算长度A AB BD DC
20、 C刚性杆刚性杆图图(a)(a)yA AB By图图(c)(c)A AB B图图(b)(b)k k解：CDCD对的支撑表现为对的支撑表现为:第35页，此课件共56页哦yA AB By图图(c)(c)12-412-4无限自由度体系的稳定无限自由度体系的稳定静力法静力法图图(c)(c)弹性曲线的微分方程为：弹性曲线的微分方程为：上式的解为：上式的解为：令令 上式改写为：上式改写为：第36页，此课件共56页哦由边界条件确定由边界条件确定A A、B B及及F FR R：12-412-4无限自由度体系的稳定无限自由度体系的稳定静力法静力法yA AB By图图(c)(c)把把 代入上式代入上式第37页，此
21、课件共56页哦12-412-4无限自由度体系的稳定无限自由度体系的稳定静力法静力法y(x)y(x)不能恒为不能恒为0 0，所以，所以q 又 所以 第38页，此课件共56页哦q q 12-412-4无限自由度体系的稳定无限自由度体系的稳定静力法静力法第39页，此课件共56页哦求图示阶形柱的特征方程求图示阶形柱的特征方程x xy y0解：弹性曲线的微分方程为：弹性曲线的微分方程为：12-412-4无限自由度体系的稳定无限自由度体系的稳定静力法静力法【例例12.312.3 】令令 上式改写为：上式改写为：第40页，此课件共56页哦由边界条件确定由边界条件确定A A1 1、B B1 1及及A A2 2
22、、B B2 212-412-4无限自由度体系的稳定无限自由度体系的稳定静力法静力法上式的解上式的解第41页，此课件共56页哦由系数行列式等于零，得特征方程由系数行列式等于零，得特征方程12-412-4无限自由度体系的稳定无限自由度体系的稳定静力法静力法第42页，此课件共56页哦12-5 12-5 无限自由度体系的稳定无限自由度体系的稳定能量法能量法解题思路：解题思路：q对变形状态求出势能对变形状态求出势能E EP Pq由势能的驻值条件由势能的驻值条件 ，可得包含待定参数的，可得包含待定参数的 齐次方程组齐次方程组q为求非零解为求非零解,齐次方程的系数行列式应为零齐次方程的系数行列式应为零,由此
23、求由此求 出特征荷载值出特征荷载值q临界荷载是所有特征值的最小值临界荷载是所有特征值的最小值第43页，此课件共56页哦AByyAB设压杆有任意可能位移，变形曲线为：设压杆有任意可能位移，变形曲线为：其中其中 是满足位移边界条件的已知是满足位移边界条件的已知函数，函数，是任意参数。是任意参数。q弯曲变形能弯曲变形能U U：12-512-5无限自由度体系的稳定无限自由度体系的稳定能量法能量法第44页，此课件共56页哦12-512-5无限自由度体系的稳定无限自由度体系的稳定能量法能量法q荷载势能荷载势能U UP P：第45页，此课件共56页哦q体系势能体系势能E EP P：12-512-5无限自由度
24、体系的稳定无限自由度体系的稳定能量法能量法q势能驻值条件势能驻值条件第46页，此课件共56页哦令令12-512-5无限自由度体系的稳定无限自由度体系的稳定能量法能量法第47页，此课件共56页哦12-512-5无限自由度体系的稳定无限自由度体系的稳定能量法能量法式（式（12-812-8）的矩阵形式为：）的矩阵形式为：简写为：简写为：向量向量a a不能恒为不能恒为0 0向量，得向量，得稳定问题的特征方程（稳定方程）稳定问题的特征方程（稳定方程）第48页，此课件共56页哦12-512-5无限自由度体系的稳定无限自由度体系的稳定能量法能量法【例例12.412.4 】解：图示为两端简支的中心受压柱，试用
25、能量法求其临界荷载。图示为两端简支的中心受压柱，试用能量法求其临界荷载。EI图图(a)(a)F F图图(b)(b)位移边界条件为：位移边界条件为：假设挠曲线为抛物线假设挠曲线为抛物线1 1第49页，此课件共56页哦12-512-5无限自由度体系的稳定无限自由度体系的稳定能量法能量法求得求得:由势能驻值条件由势能驻值条件 得得:为求非零解，系数为零得为求非零解，系数为零得:第50页，此课件共56页哦12-512-5无限自由度体系的稳定无限自由度体系的稳定能量法能量法取图取图b b的挠曲线作为变形曲线的挠曲线作为变形曲线2 2求得求得:第51页，此课件共56页哦由势能驻值条件由势能驻值条件 得得:
26、为求非零解，系数为零得为求非零解，系数为零得:12-512-5无限自由度体系的稳定无限自由度体系的稳定能量法能量法第52页，此课件共56页哦求得求得:假设挠曲线为正弦曲线假设挠曲线为正弦曲线3 312-512-5无限自由度体系的稳定无限自由度体系的稳定能量法能量法第53页，此课件共56页哦12-512-5无限自由度体系的稳定无限自由度体系的稳定能量法能量法由势能驻值条件由势能驻值条件 得得:为求非零解，系数为零得为求非零解，系数为零得:讨论讨论4 4q假设挠曲线为抛物线时求得的临界荷载与精确解相比误差为假设挠曲线为抛物线时求得的临界荷载与精确解相比误差为20%20%q根据跨中横向集中力作用下的
27、挠曲线而求得的临界荷载与精确解相比误根据跨中横向集中力作用下的挠曲线而求得的临界荷载与精确解相比误差为差为1.3%1.3%，若采用均布荷载作用下的挠曲线进行计算，则精度还可提高。，若采用均布荷载作用下的挠曲线进行计算，则精度还可提高。q正弦曲线是失稳时的真实曲线，所求的临界荷载为精确解。正弦曲线是失稳时的真实曲线，所求的临界荷载为精确解。第54页，此课件共56页哦12-512-5无限自由度体系的稳定无限自由度体系的稳定能量法能量法【例例12.412.4 】解：图示为在均布荷载作用下的中心受压柱，试用能图示为在均布荷载作用下的中心受压柱，试用能量法求其临界荷载。量法求其临界荷载。yqo位移边界条件为：位移边界条件为：假设挠曲线为：假设挠曲线为：求得求得:第55页，此课件共56页哦12-512-5无限自由度体系的稳定无限自由度体系的稳定能量法能量法为求非零解，系数为零得为求非零解，系数为零得:与精确解与精确解 相比，误差为相比，误差为5.5%5.5%由势能驻值条件由势能驻值条件 得得:第56页，此课件共56页哦